?江西省2023年初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題卷
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是最符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填涂在答題卡相應(yīng)位置．錯(cuò)選、多選或未選均不得分．
1. 下列各數(shù)中，正整數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類即可求解．
【詳解】解：是正整數(shù)，是小數(shù)，不是整數(shù)，不是正數(shù)，不是正數(shù)，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的分類，熟練掌握有理數(shù)的分類是解題的關(guān)鍵．
2. 下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形可得答案．
【詳解】解：選項(xiàng)A、C、D均不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以不是中心對(duì)稱圖形；
選項(xiàng)B能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以是中心對(duì)稱圖形；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了中心對(duì)稱圖形，關(guān)鍵是找出對(duì)稱中心．
3. 若有意義，則的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件即可求解．
【詳解】解：∵有意義，
∴，
解得：，則的值可以是
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．
4. 計(jì)算的結(jié)果為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)積的乘方計(jì)算法則求解即可．
【詳解】解：，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了積的乘方計(jì)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．
5. 如圖，平面鏡放置在水平地面上，墻面于點(diǎn)，一束光線照射到鏡面上，反射光線為，點(diǎn)在上，若，則的度數(shù)為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得，進(jìn)而根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余即可求解．
【詳解】解：依題意，，
∴，
∵，
∴，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形中兩個(gè)銳角互余，入射角等于反射角，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
6. 如圖，點(diǎn)，，，均在直線上，點(diǎn)在直線外，則經(jīng)過其中任意三個(gè)點(diǎn)，最多可畫出圓的個(gè)數(shù)為（ ）

A. 3個(gè) B. 4個(gè) C. 5個(gè) D. 6個(gè)
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)不共線三點(diǎn)確定一個(gè)圓可得，直線上任意2個(gè)點(diǎn)加上點(diǎn)可以畫出一個(gè)圓，據(jù)此列舉所有可能即可求解．
【詳解】解：依題意，；；；；，加上點(diǎn)可以畫出一個(gè)圓，
∴共有6個(gè)，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了確定圓的條件，熟練掌握不共線三點(diǎn)確定一個(gè)圓是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
7. 單項(xiàng)式的系數(shù)為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)單項(xiàng)式系數(shù)的定義：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)，得出結(jié)果即可．
【詳解】解：?jiǎn)雾?xiàng)式的系數(shù)是．
故答案是：．
【點(diǎn)睛】本題考查單項(xiàng)式的系數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握單項(xiàng)式系數(shù)的定義．
8. 我國海洋經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇態(tài)勢(shì)強(qiáng)勁．在建和新開工海上風(fēng)電項(xiàng)目建設(shè)規(guī)模約1800萬千瓦，比上一年同期翻一番，將18000000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為_______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查科學(xué)記數(shù)法，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的表示形式為（，a為整數(shù)）的形式，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同是解題的關(guān)鍵．
9. 計(jì)算：（a+1）2﹣a2=_____．
【答案】2a+1
【解析】
【詳解】【分析】原式利用完全平方公式展開，然后合并同類項(xiàng)即可得到結(jié)果．
【詳解】（a+1）2﹣a2
=a2+2a+1﹣a2
=2a+1，
故答案為2a+1.
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握完全平方公式以及合并同類項(xiàng)的法則是解題的關(guān)鍵.
10. 將含角的直角三角板和直尺按如圖所示的方式放置，已，點(diǎn)，表示的刻度分別為，則線段的長(zhǎng)為_______cm．

【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，進(jìn)而可得是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：∵直尺的兩邊平行，
∴，
又，
∴是等邊三角形，
∵點(diǎn)，表示的刻度分別為，
∴，
∴
∴線段的長(zhǎng)為,
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，得出是解題的關(guān)鍵．
11. 《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測(cè)量物體的高度如圖，點(diǎn)，，在同一水平線上，和均為直角，與相交于點(diǎn)．測(cè)得，則樹高_(dá)_____m．

【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得，然后相似三角形的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：∵和均為直角
∴，
∴，
∴
∵，
∴,
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
12. 如圖，在中，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（）得到，連接，．當(dāng)為直角三角形時(shí)，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為_______．

【答案】或或
【解析】
【分析】連接，根據(jù)已知條件可得，進(jìn)而分類討論即可求解．
【詳解】解：連接，取的中點(diǎn)，連接，如圖所示，

∵在中，，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
又∵
∴，
∴
∴，
如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，此時(shí)，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為，

當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖所示，則

當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為，如圖所示，
∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵
∴四邊形矩形，
∴
即是直角三角形，

綜上所述，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為或或
故答案為：或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）
13. （1）計(jì)算：
（2）如圖，，平分．求證：．

【答案】（1）2；（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）先計(jì)算立方根，特殊角三角函數(shù)值和零指數(shù)冪，再計(jì)算加減法即可；
（2）先由角平分線的定義得到，再利用證明即可．
【詳解】解：（1）原式
；
（2）∵平分，
∴，
在和中，
，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)冪，特殊角三角函數(shù)值，全等三角形的判定，角平分線的定義等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
14. 如圖是的正方形網(wǎng)格，請(qǐng)僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．

（1）在圖1中作銳角，使點(diǎn)C在格點(diǎn)上；
（2）在圖2中的線段上作點(diǎn)Q，使最短．
【答案】（1）作圖見解析
（2）作圖見解析
【解析】
【分析】（1）如圖，取格點(diǎn)，使，在的左上方的格點(diǎn)滿足條件，再畫三角形即可；
（2）利用小正方形的性質(zhì)取格點(diǎn)，連接交于，從而可得答案．
【小問1詳解】
解：如圖，即為所求作的三角形；
【小問2詳解】
如圖，即為所求作的點(diǎn)；
【點(diǎn)睛】本題考查的是復(fù)雜作圖，同時(shí)考查了三角形的外角的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，垂線段最短，熟記基本幾何圖形的性質(zhì)再靈活應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵．
15. 化簡(jiǎn)．下面是甲、乙兩同學(xué)的部分運(yùn)算過程：

解：原式
……

解：原式
……


（1）甲同學(xué)解法的依據(jù)是________，乙同學(xué)解法的依據(jù)是________；（填序號(hào)）
①等式的基本性質(zhì)；②分式的基本性質(zhì)；③乘法分配律；④乘法交換律．
（2）請(qǐng)選擇一種解法，寫出完整的解答過程．
【答案】（1）②，③ （2）見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)所給的解題過程即可得到答案；
（2）甲同學(xué)的解法：先根據(jù)分式的基本性質(zhì)把小括號(hào)內(nèi)的分式先同分，然后根據(jù)分式的加法計(jì)算法則求解，最后根據(jù)分式的乘法計(jì)算法則求解即可；
乙同學(xué)的解法：根據(jù)乘法分配律去括號(hào)，然后計(jì)算分式的乘法，最后合并同類項(xiàng)即可．
【小問1詳解】
解：根據(jù)解題過程可知，甲同學(xué)解法的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，乙同學(xué)解法的依據(jù)是乘法分配律，
故答案為：②，③；
【小問2詳解】
解：甲同學(xué)的解法：
原式


；
乙同學(xué)的解法：
原式


．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的混合計(jì)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．
16. 為了弘揚(yáng)雷鋒精神，某校組織“學(xué)雷鋒，爭(zhēng)做新時(shí)代好少年”的宣傳活動(dòng)根據(jù)活動(dòng)要求，每班需要2名宣傳員某班班主任決定從甲、乙、丙、丁4名同學(xué)中隨機(jī)選取2名同學(xué)作為宣傳員．
（1）“甲、乙同學(xué)都被選為宣傳員”是_______事件：（填“必然”、“不可能”或“隨機(jī)”）
（2）請(qǐng)用畫樹狀圖法或列表法，求甲、丁同學(xué)都被選為宣傳員概率．
【答案】（1）隨機(jī) （2）
【解析】
【分析】（1）由確定事件與隨機(jī)事件的概念可得答案；
（2）先畫樹狀圖得到所有可能的情況數(shù)與符合條件的情況數(shù)，再利用概率公式計(jì)算即可．
【小問1詳解】
解：“甲、乙同學(xué)都被選為宣傳員”是隨機(jī)事件；
【小問2詳解】
畫樹狀圖為：

共有12種等可能的結(jié)果，其中選中的兩名同學(xué)恰好是甲，丁的結(jié)果數(shù)為2，
所以選中的兩名同學(xué)恰好是甲，丁的概率．
【點(diǎn)睛】本題考查是事件的含義，利用畫樹狀圖求解隨機(jī)事件的概率，熟記事件的概念與分類以及畫樹狀圖的方法是解本題的關(guān)鍵．
17. 如圖，已知直線與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，過點(diǎn)B作x軸的平行線交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)C．

（1）求直線和反比例函數(shù)圖象的表達(dá)式；
（2）求的面積．
【答案】（1）直線的表達(dá)式為，反比例函數(shù)的表達(dá)式為
（2）6
【解析】
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）由一次函數(shù)解析式求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)軸，可得點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1，再利用反比例函數(shù)表達(dá)式求得點(diǎn)C坐標(biāo)，即可求得結(jié)果．
【小問1詳解】
解：∵直線與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)，
∴，，即，
∴直線的表達(dá)式為，反比例函數(shù)的表達(dá)式為．
【小問2詳解】
解：∵直線的圖象與y軸交于點(diǎn)B，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴，
∵軸，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)C，
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)、一次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)，熟練掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）
18. 今年植樹節(jié)，某班同學(xué)共同種植一批樹苗，如果每人種3棵，則剩余20棵；如果每人種4棵，則還缺25棵．
（1）求該班的學(xué)生人數(shù)；
（2）這批樹苗只有甲、乙兩種，其中甲樹苗每棵30元，乙樹苗每棵40元．購買這批樹苗的總費(fèi)用沒有超過5400元，請(qǐng)問至少購買了甲樹苗多少棵？
【答案】（1）該班的學(xué)生人數(shù)為45人
（2）至少購買了甲樹苗80棵
【解析】
【分析】（1）設(shè)該班的學(xué)生人數(shù)為x人，根據(jù)兩種方案下樹苗的總數(shù)不變列出方程求解即可；
（2）根據(jù)（1）所求求出樹苗的總數(shù)為155棵，設(shè)購買了甲樹苗m棵，則購買了乙樹苗棵樹苗，再根據(jù)總費(fèi)用不超過5400元列出不等式求解即可．
【小問1詳解】
解：設(shè)該班的學(xué)生人數(shù)為x人，
由題意得，，
解得，
∴該班的學(xué)生人數(shù)為45人；
【小問2詳解】
解：由（1）得一共購買了棵樹苗，
設(shè)購買了甲樹苗m棵，則購買了乙樹苗棵樹苗，
由題意得，，
解得，
∴m得最小值為80，
∴至少購買了甲樹苗80棵，
答：至少購買了甲樹苗80棵．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意找到等量關(guān)系列出方程，找到不等關(guān)系列出不等式是解題的關(guān)鍵．
19. 如圖1是某紅色文化主題公園內(nèi)的雕塑，將其抽象成加如圖2所示的示意圖，已知點(diǎn)，，，均在同一直線上，，測(cè)得．（結(jié)果保小數(shù)點(diǎn)后一位）

（1）連接，求證：；
（2）求雕塑的高（即點(diǎn)E到直線BC的距離）．
（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】（1）見解析 （2）雕塑的高約為米
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出，進(jìn)而得出，即可得證；
（2）過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，在中，得出，則，在中，根據(jù)，即可求解．
【小問1詳解】
解：∵，
∴
∵
即
∴
即
∴；
【小問2詳解】
如圖所示，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

在中，
∴，
∴
∴
在中，，
∴



（米）．
答：雕塑的高約為米．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
20. 如圖，在中，，以為直徑的與相交于點(diǎn)D，E為上一點(diǎn)，且．

（1）求的長(zhǎng)；
（2）若，求證：為的切線．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）如圖所示，連接，先求出，再由圓周角定理得到，進(jìn)而求出，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可；
（2）如圖所示，連接，先由三角形內(nèi)角和定理得到，則由圓周角定理可得，再由是的直徑，得到，進(jìn)而求出，進(jìn)一步推出，由此即可證明是的切線．
【小問1詳解】
解：如圖所示，連接，
∵是的直徑，且，
∴，
∵E為上一點(diǎn)，且，
∴，
∴，
∴的長(zhǎng)；
【小問2詳解】
證明：如圖所示，連接，
∵，，
∴，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵是的半徑，
∴是的切線．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，求弧長(zhǎng)，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵
．
五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）
21. 為了解中學(xué)生的視力情況，某區(qū)衛(wèi)健部門決定隨機(jī)抽取本區(qū)部分初、高中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并對(duì)他們的視力數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到如下統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖．
整理描述
初中學(xué)生視力情況統(tǒng)計(jì)表
視力
人數(shù)
百分比
0.6及以下
8

0.7
16

0.8
28

0.9
34


m

及以上
46
n
合計(jì)
200

高中學(xué)生視力情況統(tǒng)計(jì)圖

（1）_______，_______；
（2）被調(diào)查的高中學(xué)生視力情況的樣本容量為_______；
（3）分析處理：①小胡說：“初中學(xué)生的視力水平比高中學(xué)生的好．”請(qǐng)你對(duì)小胡的說法進(jìn)行判斷，并選擇一個(gè)能反映總體的統(tǒng)計(jì)量說明理由：
②約定：視力未達(dá)到為視力不良．若該區(qū)有26000名初中學(xué)生，估計(jì)該區(qū)有多少名初中學(xué)生視力不良？并對(duì)視力保護(hù)提出一條合理化建議．
【答案】（1）；；
（2）；
（3）①小胡的說法合理，選擇中位數(shù)解析，理由見解析；②11180人，合理化建議見解析，合理即可．
【解析】
【分析】（1）由總?cè)藬?shù)乘以視力為的百分比可得的值，再由視力1．1及以上的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)可得的值；
（2）由條形統(tǒng)計(jì)圖中各數(shù)據(jù)之和可得答案；
（3）①選擇視力的中位數(shù)進(jìn)行比較即可得到小胡說法合理；②由初中生總?cè)藬?shù)乘以樣本中視力不良的百分比即可，根據(jù)自身體會(huì)提出合理化建議即可．
【小問1詳解】
解：由題意可得：初中樣本總?cè)藬?shù)為：人，
∴（人），；
【小問2詳解】
由題意可得：，
∴被調(diào)查的高中學(xué)生視力情況的樣本容量為；
【小問3詳解】
①小胡說：“初中學(xué)生的視力水平比高中學(xué)生的好．”
小胡的說法合理；
初中學(xué)生視力的中位數(shù)為第100個(gè)與第101個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，落在視力為這一組，
而高中學(xué)生視力的中位數(shù)為第160個(gè)與第161個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，落在視力為的這一組，
而，
∴小胡的說法合理．
②由題意可得：（人），
∴該區(qū)有26000名中學(xué)生，估計(jì)該區(qū)有名中學(xué)生視力不良；
合理化建議為：學(xué)?？梢远嚅_展用眼知識(shí)的普及，規(guī)定時(shí)刻做眼保健操．
【點(diǎn)睛】本題考查是從頻數(shù)分布表與頻數(shù)分布直方圖中獲取信息，中位數(shù)的含義，利用樣本估計(jì)總體，理解題意，確定合適的統(tǒng)計(jì)量解決問題是解本題的關(guān)鍵．
22. 課本再現(xiàn)
思考
我們知道，菱形的對(duì)角線互相垂直．反過來，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？
可以發(fā)現(xiàn)并證明菱形的一個(gè)判定定理；
對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．
（1）定理證明：為了證明該定理，小明同學(xué)畫出了圖形（如圖1），并寫出了“已知”和“求證”，請(qǐng)你完成證明過程．
已知：在中，對(duì)角線，垂足為．
求證：是菱形．

（2）知識(shí)應(yīng)用：如圖，在中，對(duì)角線和相交于點(diǎn)，．

①求證：是菱形；
②延長(zhǎng)至點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，求的值．
【答案】（1）見解析 （2）①見解析；②
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明得出，同理可得，則， ，進(jìn)而根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形，即可得證；
（2）①勾股定理的逆定理證明是直角三角形，且，得出，即可得證；
②根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合已知條件得出，則，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)平行線分線段成比例求得，然后根據(jù)平行線分線段成比例即可求解．
【小問1詳解】
證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴， ，
∵
∴，
在中，

∴
∴，
同理可得，則，
又∵
∴
∴四邊形是菱形；
【小問2詳解】
①證明：∵四邊形是平行四邊形，．
∴
在中，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴四邊形是菱形；
②∵四邊形是菱形；
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
如圖所示，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，

∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理以及勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例，熟練掌握菱形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
六、解答題（本大題共12分）
23. 綜合與實(shí)踐
問題提出：某興趣小組開展綜合實(shí)踐活動(dòng)：在中，，D為上一點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從C點(diǎn)出發(fā)，在三角形邊上沿勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止，以為邊作正方形設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，正方形的而積為S，探究S與t的關(guān)系

（1）初步感知：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，
①當(dāng)時(shí)，_______．
②S關(guān)于t的函數(shù)解析式為_______．
（2）當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于t的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所示的圖象請(qǐng)根據(jù)圖象信息，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式及線段的長(zhǎng)．
（3）延伸探究：若存在3個(gè)時(shí)刻（）對(duì)應(yīng)的正方形的面積均相等．
①_______；
②當(dāng)時(shí)，求正方形的面積．
【答案】（1）①3；②
（2），
（3）①4；②
【解析】
【分析】（1）①先求出，再利用勾股定理求出，最后根據(jù)正方形面積公式求解即可；②仿照（1）①先求出，進(jìn)而求出，則；
（2）先由函數(shù)圖象可得當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，，由此求出當(dāng)時(shí)，，可設(shè)S關(guān)于t的函數(shù)解析式為，利用待定系數(shù)法求出，進(jìn)而求出當(dāng)時(shí)，解得或，則；
（3）①根據(jù)題意可得可知函數(shù)可以看作是由函數(shù)向右平移四個(gè)單位得到的，設(shè)是函數(shù)上的兩點(diǎn)，則，是函數(shù)上的兩點(diǎn)，由此可得，則，根據(jù)題意可以看作，則；②由（3）①可得，再由，得到，則．
【小問1詳解】
解：∵動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從C點(diǎn)出發(fā)，在三角形邊上沿勻速運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在上，且，
∵，，
∴，
∴，
故答案為：3；
②∵動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從C點(diǎn)出發(fā)，在勻速運(yùn)動(dòng)，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小問2詳解】
解：由圖2可知當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，，
∴，
解得，
∴當(dāng)時(shí)，，
由圖2可知，對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴可設(shè)S關(guān)于t的函數(shù)解析式為，
把代入中得：，
解得，
∴S關(guān)于t的函數(shù)解析式為，
在中，當(dāng)時(shí)，解得或，
∴；
【小問3詳解】
解：①∵點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)， ，點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
∴可知函數(shù)可以看作是由函數(shù)向右平移四個(gè)單位得到的，
設(shè)是函數(shù)上的兩點(diǎn)，則，是函數(shù)上的兩點(diǎn)，
∴，
∴，
∵存在3個(gè)時(shí)刻（）對(duì)應(yīng)的正方形的面積均相等．
∴可以看作，
∴，
故答案為：4；
②由（3）①可得，
∵，
∴，
∴，
∴．
.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與圖形運(yùn)動(dòng)問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理等等，正確理解題意利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．

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