?2022 徐州市初中學(xué)業(yè)水平考試
數(shù)學(xué)試題
一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分．在每小題所給出的四個選項中，只有一項符合題意，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置）
1. ﹣3的絕對值是（　　）
A. ﹣3 B. 3 C. - D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，可得出答案．
【詳解】根據(jù)絕對值的性質(zhì)得：|-3|=3．
故選B．
【點睛】本題考查絕對值的性質(zhì)，需要掌握非負數(shù)的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)．
2. 下列圖案是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心，進行逐一判斷即可．
【詳解】解：A、是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故A選項不合題意；
B、是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故B選項不合題意；
C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故C選項不合題意；
D、是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故D選項不合題意；
故選：C．
【點睛】本題主要考查了中心對稱圖形，關(guān)鍵是找出對稱中心．
3. 要使得式子有意義，則的取值范圍是（????）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式有意義，被開方數(shù)大于等于，列不等式求解．
【詳解】解：根據(jù)題意，得
，
解得．
故選：B．
【點睛】本題主要考查二次根式有意義的條件的知識點，代數(shù)式的意義一般從三個方面考慮：當代數(shù)式是整式時，字母可取全體實數(shù)；當代數(shù)式是分式時，分式的分母不能為；當代數(shù)式是二次根式時，被開方數(shù)為非負數(shù)．
4. 下列計算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，合并同類項，積的乘方逐項分析判斷即可求解．
【詳解】解：A. ，故該選項正確，符合題意；
B. ，故該選項不正確，不符合題意；
C. ，故該選項不正確，不符合題意；
D. ，故該選項不正確，不符合題意；
故選A
【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，合并同類項，積的乘方，正確的計算是解題的關(guān)鍵．
5. 如圖，已知骰子相對兩面的點數(shù)之和為7，下列圖形為該骰子表面展開圖的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)骰子表面展開后，其相對面的點數(shù)之和是7，逐項判斷即可作答．
【詳解】A項，2的對面是4，點數(shù)之和不為7，故A項錯誤；
B項，2的對面是6，點數(shù)之和不為7，故B項錯誤；
C項，2的對面是6，點數(shù)之和不為7，故C項錯誤；
D項，1的對面是6，2的對面是5，3的對面是4，相對面的點數(shù)之和都為7，故D項正確；
故選：D．
【點睛】本題主要考查了立體圖形的側(cè)面展開圖的知識，解答時，找準相對面是解答本題的關(guān)鍵．沒有共同邊的兩個面即為相對的面．
6. 我國近十年的人口出生率及人口死亡率如圖所示．

已知人口自然增長率=人口出生率—人口死亡率，下列判斷錯誤的是（ ）
A. 與2012年相比，2021年的人口出生率下降了近一半
B. 近十年的人口死亡率基本穩(wěn)定
C. 近五年的人口總數(shù)持續(xù)下降
D. 近五年的人口自然增長率持續(xù)下降
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)折線統(tǒng)計圖逐項分析判斷即可求解．
【詳解】解：A. 與2012年相比，2021年的人口出生率下降了近一半，故該選項正確，不符合題意；
B. 近十年的人口死亡率基本穩(wěn)定，故該選項正確，不符合題意；
C. 近五年的人口總數(shù)持續(xù)上升，只是自然增長率在變小，故該選項不正確，符合題意；
D. 近五年的人口自然增長率持續(xù)下降，故該選項正確，不符合題意．
故選C．
【點睛】本題考查了折線統(tǒng)計圖，從統(tǒng)計圖獲取信息是解題的關(guān)鍵．
7. 將一枚飛鏢任意投擲到如圖所示的正六邊形鏢盤上，若飛鏢落在鏢盤上各點的機會相等，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如圖，將陰影部分分割成圖形中的小三角形，令小三角形的面積為a，分別表示出陰影部分的面積和正六邊形的面積，根據(jù)概率公式求解即可．
【詳解】解：如圖，

根據(jù)題意得：圖中每個小三角形的面積都相等，
設(shè)每個小三角形的面積為a，則陰影的面積為6a，正六邊形的面積為18a，
∴將一枚飛鏢任意投擲到鏢盤上，飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為．
故選：B
【點睛】本題主要考查幾何概率，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得到圖中每個小三角形的面積都相等是解題的關(guān)鍵．
8. 如圖，若方格紙中每個小正方形的邊長均為1，則陰影部分的面積為（ ）

A. 5 B. 6 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】證明△ABE∽△CDE，求得AE：CE，再根據(jù)三角形的面積關(guān)系求得結(jié)果．
【詳解】解：∵CD∥AB，
∴△ABE∽△CDE，
∴=2，
∴，

故選：C．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形的面積公式，關(guān)鍵在于證明三角形相似．
二、填空題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分．不需要寫出解答過程， 請將答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置）
9. 因式分解：______．
【答案】##（x-1）（x+1）
【解析】
【分析】平方差公式： 直接利用平方差公式分解因式即可．
【詳解】解：
故答案為：
【點睛】本題考查的是利用平方差公式分解因式，掌握“平方差公式：”是解本題的關(guān)鍵．
10. 正十二邊形每個內(nèi)角的度數(shù)為 ．
【答案】
【解析】
【分析】首先求得每個外角的度數(shù)，然后根據(jù)外角與相鄰的內(nèi)角互為鄰補角即可求解．
【詳解】試題分析：正十二邊形的每個外角的度數(shù)是：=30°，
則每一個內(nèi)角的度數(shù)是：180°﹣30°=150°．
故答案為150°．
11. 方程的解是x=__．
【答案】6
【解析】
【詳解】試題分析：兩邊同乘以x(x-2)可得：3(x-2)=2x，解得：x=6，經(jīng)檢驗：x=6是方程的根.
12. 我國2021年糧食產(chǎn)量約為13700億斤，創(chuàng)歷史新高，其中13700億斤用科學(xué)記數(shù)法表示為________億斤．
【答案】
【解析】
【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為，其中，為整數(shù)．
【詳解】解：．
故答案為：．
【點睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原來的數(shù)，變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值時，是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值時，是負數(shù)，確定與的值是解題的關(guān)鍵．
13. 如圖，A、B、C點在圓O上， 若∠ACB=36°， 則∠AOB=________．

【答案】72°##72度
【解析】
【分析】利用一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵∠ACB=∠AOB，∠ACB=36°，
∴∠AOB=2×∠ACB=72°．
故答案為：72°．
【點睛】本題主要考查了圓周角定理，利用一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半解答是解題的關(guān)鍵．
14. 如圖，圓錐的母線AB＝6，底面半徑CB＝2，則其側(cè)面展開圖扇形的圓心角α＝_______．

【答案】120°．
【解析】
【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和弧長公式得到＝2π?2，然后解方程即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得＝2π?2，
解得α＝120，
即側(cè)面展開圖扇形的圓心角為120°．
故答案為120°．
【點睛】本題考查圓的周長公式，弧長公式，方程思想在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中非常重要，是中考的熱點，在各種題型中均有出現(xiàn)，要特別注意．
15. 若一元二次方程x2＋x－c＝0沒有實數(shù)根，則c的取值范圍是________．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式進行判斷即可求解．
【詳解】解：∵一元二次方程x2＋x－c＝0沒有實數(shù)根，
∴，
解得，
故答案為：．
【點睛】本題考查了一元二次方程 (為常數(shù))的根的判別式，理解根的判別式對應(yīng)的根的三種情況是解題的關(guān)鍵．當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根．
16. 如圖，將矩形紙片ABCD沿CE折疊，使點B落在邊AD上的點F處．若點E在邊AB上，AB＝3，BC＝5，則AE＝________．

【答案】##
【解析】
【分析】由折疊性質(zhì)可得CF=BC=5，BE=EF，由矩形性質(zhì)有CD=AB=3，BC=AD=5，勾股定理求得DF，AF．設(shè)BE=EF=x，則AE=AB-BE，直角三角形AEF中，根據(jù)勾股定理，建立方程，解方程即可求解．
【詳解】解：由折疊性質(zhì)可得CF=BC=5，BE=EF，
由矩形性質(zhì)有CD=AB=3，BC=AD=5，
∵∠D=90°，
∴，
所以，
所以 BE=EF=x，則AE=AB-BE=3-x，在直角三角形AEF中:
，
∴，
解得，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了圖形折疊的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，在直角三角形AEF中運用勾股定理建立方程求解是關(guān)鍵．
17. 若一次函數(shù)y＝kx＋b的圖像如圖所示，則關(guān)于kx＋b＞0的不等式的解集為________．

【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)圖像得出，然后解一元一次不等式即可求解．
【詳解】解：∵根據(jù)圖像可知y＝kx＋b與軸交于點，且，
∴，
解得，
，
∴，
即，
解得，
故答案為：．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)與坐標軸的交點問題，解一元一次不等式，求得一次函數(shù)與坐標軸的交點是解題的關(guān)鍵．
18. 若二次函數(shù)的圖象上有且只有三個點到x軸的距離等于m，則m的值為________．
【答案】4
【解析】
【分析】由拋物線解析式可得拋物線對稱軸為直線x=1，頂點為（1，-4），由圖象上恰好只有三個點到x軸的距離為m可得m=4．
詳解】解：∵，
∴拋物線開口向上，拋物線對稱軸為直線x=1，頂點為（1，-4），
∴頂點到x軸的距離為4，
∵函數(shù)圖象有三個點到x軸的距離為m，
∴m=4，
故答案為：4．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，能夠理解題意是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共有10小題，共86分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19. 計算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先用乘方、絕對值、負整數(shù)次冪、算術(shù)平方根化簡，然后再計算即可；
（2）按照分式混合運算法則計算即可．
【小問1詳解】
解：
=
=．
【小問2詳解】
解：
=
=
=．
【點睛】本題主要考查了實數(shù)的混合運算、分式的混合運算、負整數(shù)次冪等知識點，靈活運用相關(guān)運算法則成為解答本題的關(guān)鍵．
20. （1）解方程：；
（2）解不等式組：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)配方法解一元二次方程即可求解；
（2）分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
【詳解】（1）解：，
，
∴，
；
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為：．
【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，解一元二次方程，正確的計算是解題的關(guān)鍵．
21. 如圖，將下列3張撲克牌洗勻后數(shù)字朝下放在桌面上．

（1）從中隨機抽取1張，抽得撲克牌上的數(shù)字為3的概率為 ；
（2）從中隨機抽取2張，用列表或畫樹狀圖的方法，求抽得2張撲克牌的數(shù)字不同的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）列表或畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中抽到2張撲克牌的數(shù)字不同的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．
【小問1詳解】
解：根據(jù)題意，3張撲克牌中，數(shù)字為2的撲克牌有一張，數(shù)字為3的撲克牌有兩張，
從中隨機抽取1張，抽得撲克牌上的數(shù)字為3的概率為，
故答案為：；
【小問2詳解】
解：畫樹狀圖如下：

如圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中抽到2張撲克牌的數(shù)字不同的結(jié)果有4種，
抽得2張撲克牌的數(shù)字不同的概率為．
【點睛】本題考查用列表或畫樹狀圖求概率，列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏地列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件，解題的關(guān)鍵是能準確利用列表法或畫樹狀圖法找出總情況數(shù)及所求情況數(shù)．
22. 《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，該書第三卷記載：“今有獸六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，問禽、獸各幾何？”譯文：今有一種6頭4腳的獸與一種4頭2腳的鳥，若獸與鳥共有76個頭與46只腳．問獸、鳥各有多少？
根據(jù)譯文，解決下列問題：
（1）設(shè)獸有x個，鳥有y只，可列方程組為 ；
（2）求獸、鳥各有多少．
【答案】（1）
（2）獸有8只，鳥有7只．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)“獸與鳥共有76個頭與46只腳”，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組；
（2）解方程組，即可得出結(jié)論．
【小問1詳解】
解：∵獸與鳥共有76個頭，
∴6x+4y=76；
∵獸與鳥共有46只腳，
∴4x+2y=46．
∴可列方程組為．
故答案為：；
【小問2詳解】
解：原方程組可化簡為，
由②可得y=23-2x③，
將③代入①得3x+2（23-2x）=38，
解得x=8，
∴y=23-2x=23-2×8=7．
答：獸有8只，鳥有7只．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
23. 如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、F在對角線BD上，且BE＝DF．求證：

（1）△ABE≌△CDF；
（2）四邊形AECF是平行四邊形．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，結(jié)合已知條件根據(jù)SAS即可證明；
（2）根據(jù)可得，根據(jù)鄰補角的意義可得，可得，根據(jù)一組對邊平行且相等即可得出．
【小問1詳解】
證明：解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
又，
∴（SAS）；
【小問2詳解】
證明：∵，
∴

∴，
∴四邊形AECF是平行四邊形
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
24. 如圖，如圖，點A、B、C在圓O上，，直線，，點O在BD上．

（1）判斷直線AD與圓O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若圓的半徑為6，求圖中陰影部分的面積．
【答案】（1）直線AD與圓O相切，理由見解析
（2）
【解析】
分析】（1）連接OA，根據(jù)和AB=AD，可得∠DBC=∠ABD=∠D=30°，從而得到∠BAD=120°，再由OA=OB，可得∠BAO=∠ABD=30°，從而得到∠OAD=90°，即可求解；
（2）連接OC，作OH⊥BC于H，根據(jù)垂徑定理可得，進而得到，再根據(jù)陰影部分的面積為，即可求解．
【小問1詳解】
解：直線AD與圓O相切，理由如下：
如圖，連接OA，
∵，
∴∠D=∠DBC，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABD，
∵，
∴∠DBC=∠ABD=∠D=30°，
∴∠BAD=120°，
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠ABD=30°，
∴∠OAD=90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是圓的半徑，
∴直線AD與園O相切，
【小問2詳解】
解：如圖，連接OC，作OH⊥BC于H，
∵OB=OC=6，
∴∠OCB=∠OBC=30°，
∴∠BOC=120°，
∴，
∴，
∴，
∴扇形BOC的面積為，
∵，
∴陰影部分的面積為．
【點睛】本題主要考查了切線的判定，求扇形面積，垂徑定理，熟練掌握切線的判定定理，并根據(jù)題意得到陰影部分的面積為是解題的關(guān)鍵．
25. 如圖，下列裝在相同的透明密封盒內(nèi)的古錢幣，其密封盒上分別標有古錢幣的尺寸及質(zhì)量，例如：錢幣“文星高照”密封盒上所標“”是指該枚古錢幣的直徑為，厚度為，質(zhì)量為．已知這些古錢幣的材質(zhì)相同．

根據(jù)圖中信息，解決下列問題．
（1）這5枚古錢幣，所標直徑的平均數(shù)是 ，所標厚度的眾數(shù)是 ，所標質(zhì)量的中位數(shù)是 g；
（2）由于古錢幣無法從密封盒內(nèi)取出，為判斷密封盒上所標古錢幣的質(zhì)量是否有錯，桐桐用電子秤測得每枚古錢幣與其密封盒的總質(zhì)量如下：
名稱
文星高照
狀元及第
鹿鶴同春
順風(fēng)大吉
連中三元
總質(zhì)量/g
58.7
58.1
55.2
54.3
55.8
請你應(yīng)用所學(xué)的統(tǒng)計知識，判斷哪枚古錢幣所標的質(zhì)量與實際質(zhì)量差異較大，并計算該枚古錢幣的實際質(zhì)量約為多少克．
【答案】（1）45.74，2.3，21.7；
（2）“鹿鶴同春”的實際質(zhì)量約為21.0克．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)定義求解即可；
（2）根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)求出每一枚古錢幣的密封盒質(zhì)量，即可判斷出哪枚古錢幣所標的質(zhì)量與實際質(zhì)量差異較大，計算其余四個密封盒的平均數(shù)，即可求得所標質(zhì)量有錯的古錢幣的實際質(zhì)量．
【小問1詳解】
解：平均數(shù)：；
這5枚古錢幣的厚度分別為：2.8mm，2.4mm，2.3mm，2.1mm，2.3mm，
其中2.3mm出現(xiàn)了2次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，
∴這5枚古錢幣的厚度的眾數(shù)為2.3mm；
將這5枚古錢幣的重量按從小到大的順序排列為：13.0g，20.0g，21.7g，24.0g，24.4g，
∴這5枚古錢幣質(zhì)量的中位數(shù)為21.7g；
故答案為：45.74，2.3，21.7；
【小問2詳解】
名稱
文星高照
狀元及第
鹿鶴同春
順風(fēng)大吉
連中三元
總質(zhì)量/g
58.7
58.1
55.2
54.3
55.8
盒標質(zhì)量
24.4
24.0
13.0
20.0
21.7
盒子質(zhì)量
34.3
34.1
42.2
34.3
34.1

∴“鹿鶴同春”密封盒的質(zhì)量異常，故“鹿鶴同春”所標質(zhì)量與實際質(zhì)量差異較大．
其余四個盒子質(zhì)量的平均數(shù)為：，
552-34.2=21.0g
故“鹿鶴同春”的實際質(zhì)量約為21.0克．
【點睛】本題考查了平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的求解，平均數(shù)的應(yīng)用，將一組數(shù)據(jù)按照由小到大（或由大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；眾數(shù)就是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)．一組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)可能不止一個．
26. 如圖，公園內(nèi)有一個垂直于地面的立柱AB，其旁邊有一個坡面，坡角．在陽光下，小明觀察到在地面上的影長為，在坡面上的影長為．同一時刻，小明測得直立于地面長60cm的木桿的影長為90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．

【答案】(170+60)cm
【解析】
【分析】延長AD交BN于點E，過點D作DF⊥BN于點F，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DF，根據(jù)余弦的定義求出CF，根據(jù)題意求出EF，再根據(jù)題意列出比例式，計算即可．
【詳解】解：延長AD交BN于點E，過點D作DF⊥BN于點F，

在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°，
則DF=CD=90（cm），CF=CD?cos∠DCF=180×=90（cm），
由題意得：=，即=，
解得：EF=135，
∴BE=BC+CF+EF=120+90+135=(255+90)cm，
則=，
解得：AB=170+60，
答：立柱AB的高度為(170+60)cm．
【點睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題、平行投影的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，正確作出輔助線，利用銳角三角函數(shù)和成比例線段計算．
27. 如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點，與軸交于點，與軸交于點，軸于點，，點關(guān)于直線的對稱點為點．
（1）點是否在這個反比例函數(shù)的圖像上？請說明理由；
（2）連接、，若四邊形為正方形．
①求、的值；
②若點在軸上，當最大時，求點的坐標．


【答案】（1）點在這個反比例函數(shù)的圖像上，理由見解析
（2）①，；②點的坐標為
【解析】
【分析】（1）設(shè)點的坐標為，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到，平分，如圖，連接交于，得到，再結(jié)合等腰三角形三線合一得到為邊上的中線，即，求出，進而求得，于是得到點在這個反比例函數(shù)的圖像上；
（2）①根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，垂直平分，求得，設(shè)點的坐標為，得到（負值舍去），求得，，把，代入得，解方程組即可得到結(jié)論；②延長交軸于，根據(jù)已知條件得到點與點關(guān)于軸對稱，求得，則點即為符合條件的點，求得直線的解析式為，于是得到結(jié)論．
【小問1詳解】
解：點在這個反比例函數(shù)的圖像上．
理由如下：
一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點，
設(shè)點的坐標為，
點關(guān)于直線的對稱點為點，
，平分，
連接交于，如圖所示：

，
軸于，
軸，，
，
，
，
在Rt中，，
，
為邊上的中線，即，
，
，
，
點在這個反比例函數(shù)的圖像上；
【小問2詳解】
解：①四邊形為正方形，
，垂直平分，
，
設(shè)點的坐標為，
，，
，
（負值舍去），
，，
把，代入得，
；
②延長交軸于，如圖所示：

，，
點與點關(guān)于軸對稱，
，則點即為符合條件的點，
由①知，，，
，，
設(shè)直線的解析式為，
，解得，
直線的解析式為，
當時，，即，故當最大時，點的坐標為．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
28. 如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，點P在邊AB上，D、E分別為BC、PC的中點，連接DE．過點E作BC的垂線，與BC、AC分別交于F、G兩點．連接DG，交PC于點H．

（1）∠EDC的度數(shù)為 ；
（2）連接PG，求△APG 的面積的最大值；
（3）PE與DG存在怎樣的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系？請說明理由；
（4）求的最大值．
【答案】（1）45° （2）9
（3）PE=DG，理由見解析
（4）
【解析】
【分析】（1）先說明∠B=45°，再說明DE是△CBP的中位線可得DEBP，然后由平行線的性質(zhì)即可解答；
（2）先說明△EDF和△GFC是等腰直角三角形可得DF=EF= 、GF=CF= ；設(shè)AP=x，則BP=12-x，BP=12-x=2DE，然后通過三角形中位線、勾股定理、線段的和差用x表示出AG，再根據(jù)三角形的面積公式列出表達式，最后運用二次函數(shù)求最值即可；
（3）先證明△GFD≌△CFE，可得DG=CE，進而可得PE=DG；由△GFD≌△CFE可得∠ECF=∠DGF，進而得到∠GHE=∠CFE=90°，即可說明DG、PE的位置關(guān)系；
（4）先說明△CEF∽△CDH得到，進而得到，然后將已經(jīng)求得的量代入可得，然后根據(jù)求最值即可．
【小問1詳解】
解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12
∴∠B=∠ACB=45°
∵，D、E分別為BC、PC的中點
∴DEBP，DE=
∴∠EDC=∠B=45°．
【小問2詳解】
解：如圖：連接PG
∵∠EDC=∠ACB=45°，GF⊥DC
∴△EDF和△GFC是等腰直角三角形
∴DF=EF= ，GF=CF= ，
設(shè)AP=x，則BP=12-x，BP=12-x=2DE
∴DE=，EF=
∵Rt△APC，
∴PC=
∴CE=
∵Rt△EFC
∴FC=FG=
∴CG=CF=
∴AG=12-CG=12-=
∴S△APG=
所以當x=6時，S△APG有最大值9．
【小問3詳解】
解：DG=PE，DG⊥PE，理由如下：
∵DF=EF，∠CFE=∠GFD，GF=CF
∴△GFD≌△CFE(SAS)
∴DG=CE
∵E是PC的中點
∴PE=CE
∴PE=DG；
∵△GFD≌△CFE
∴∠ECF=∠DGF
∵∠CEF=∠PEG
∴∠GHE=∠EFC=90°，即DG⊥PE．
【小問4詳解】
解：∵△GFD≌△CFE
∴∠CEF=∠CDH
又∵∠ECF=∠DCH
∴△CEF∽△CDH
∴，即
∴
∵FC= ，CE=，CD=
∴

∴的最大值為．
【點睛】本題主要考查了三角形中位線、平行線的性質(zhì)、二次函數(shù)求最值、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，綜合應(yīng)用所學(xué)知識成為解答本題的關(guān)鍵．

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