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宿遷市2022年初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)
答題注意事項：
1．本試卷共6頁，考試時間為120分鐘．
2．答案全部寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．
3．答選擇題必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答非選擇題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆，在對應(yīng)題號的答題區(qū)域書寫答案，注意不要答錯位置，也不要超界．
4．作圖必須用2B鉛筆作答，并請加黑加粗，描寫清楚．
一、選擇題（本大題共8小題，在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）
1. -2的絕對值是（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)軸上某個數(shù)與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值的定義進(jìn)行求解即可．
【詳解】在數(shù)軸上，點-2到原點的距離是2，所以-2的絕對值是2，
故選：A．

2. 下列運算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由合并同類項可判斷A，由同底數(shù)冪的乘法可判斷B，由積的乘方運算可判斷C，由冪的乘方運算可判斷D，從而可得答案．
【詳解】解：， 故A不符合題意；
， 故B不符合題意；
， 故C符合題意；
， 故D不符合題意；
故選：C
【點睛】本題考查的是合并同類項，同底數(shù)冪的乘法，積的乘方運算，冪的乘方運算，掌握以上基礎(chǔ)運算是解本題的關(guān)鍵．
3. 如圖，AB∥ED，若∠1=70°，則∠2的度數(shù)是（ ）

A. 70° B. 80° C. 100° D. 110°
【答案】D
【解析】
【分析】利用平行線的性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)計算即可．
【詳解】解：∵AB∥ED，
∴∠3+∠2=180°，
∵∠3=∠1，∠1=70°，
∴∠2=180°-∠3=180°-∠1=180°-70°=110°，
故選：D．
．
【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵熟練掌握平行線的性質(zhì)，找到互補(bǔ)的兩個角．
4. 下列展開圖中，是正方體展開圖的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)正方體的表面展開圖共有11種情況，A，D是“田”型，對折不能折成正方體，B是“凹”型，不能圍成正方體，由此可進(jìn)行選擇．
【詳解】解：根據(jù)正方體展開圖特點可得C答案可以圍成正方體，
故選：C．
【點睛】此題考查了正方體的平面展開圖．關(guān)鍵是掌握正方體展開圖特點．
5. 若等腰三角形的兩邊長分別是3cm和5cm，則這個等腰三角形的周長是（ ）
A. 8cm B. 13cm C. 8cm或13cm D. 11cm或13cm
【答案】D
【解析】
【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為3和5，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形．
【詳解】解：當(dāng)3是腰時，
∵3＋3＞5，
∴3，3，5能組成三角形，
此時等腰三角形的周長為3＋3＋5＝11（cm），
當(dāng)5是腰時，
∵3＋5＞5，
5，5，3能夠組成三角形，
此時等腰三角形的周長為5＋5＋3＝13（cm），
則三角形的周長為11cm或13cm．
故選：D
【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵．
6. 我國古代《算法統(tǒng)宗》里有這樣一首詩：“我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”詩中后面兩句的意思是：如果一間客房住7人，那么有7人無房可??；如果一間客房住9人，那么就空出一間客房，若設(shè)該店有客房x間，房客y人，則列出關(guān)于x、y的二元一次方程組正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)該店有客房x間，房客y人；根據(jù)題意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程組即可．
詳解】解：設(shè)該店有客房x間，房客y人；
根據(jù)題意得：，
故選：B．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用；根據(jù)題意得出方程組是解決問題的關(guān)鍵．
7. 如果，那么下列不等式正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)對各選項分析判斷后利用排除法求解．
【詳解】解：A、由x＜y可得：，故選項成立；
B、由x＜y可得：，故選項不成立；
C、由x＜y可得：，故選項不成立；
D、由x＜y可得：，故選項不成立；
故選A.
【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)：（1）不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變．（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變．（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．
8. 如圖，點A在反比例函數(shù)的圖像上，以為一邊作等腰直角三角形，其中∠=90°，，則線段長的最小值是（ ）

A. 1 B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】如圖，過作軸，交y軸于M，過作軸，垂足為D，交MA于H，則 證明 可得 設(shè) 則 可得 再利用勾股定理建立函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合完全平方公式的變形可得答案．
【詳解】解：如圖，過作軸，交y軸于M，過作軸，垂足為D，交MA于H，則






設(shè) 則


而當(dāng)時，則

∴的最小值是8，
∴的最小值是
故選：C．

【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，完全平方公式的變形應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，掌握“的變形公式”是解本題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共10小題，不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上)
9. 分解因式：3a2﹣12=___．
【答案】3（a+2）（a﹣2）
【解析】
【詳解】要將一個多項式分解因式的一般步驟是首先看各項有沒有公因式，若有公因式，則把它提取出來，之后再觀察是否是完全平方式或平方差式，若是就考慮用公式法繼續(xù)分解因式．因此，
3a2﹣12=3（a2﹣4）=3（a+2）（a﹣2）．

10. 2022年5月，國家林業(yè)和草原局濕地管理司在第二季度側(cè)行發(fā)布會上表示，到“十四五”末，我國力爭將濕地保護(hù)率提高到55%，其中修復(fù)紅樹林146200畝，請將146200用科學(xué)記數(shù)法表示是____．
【答案】
【解析】
【分析】科學(xué)記數(shù)法就是把絕對值大于1的數(shù)表示成的形式，其中n就等于原數(shù)的位數(shù)減1．
【詳解】解：．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，牢記科學(xué)記數(shù)法的定義并準(zhǔn)確求出中的n是做出本題的關(guān)鍵．
11. 已知一組數(shù)據(jù)：4，5，5，6，5，4，7，8，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是___．
【答案】5
【解析】
【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義求解即可．
【詳解】解：這組數(shù)據(jù)中5出現(xiàn)3次，次數(shù)最多，
所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是5，
故答案為：5．
【點睛】本題主要考查眾數(shù)，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)．熟練掌握眾數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
12. 滿足的最大整數(shù)是_______．
【答案】3
【解析】
【分析】先判斷從而可得答案．
【詳解】解：

滿足的最大整數(shù)是3．
故答案為：3．
【點睛】本題考查的是無理數(shù)的估算，掌握“無理數(shù)的估算方法”是解本題的關(guān)鍵．
13. 若關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是_____．
【答案】
【解析】
【分析】由關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，可得再解不等式可得答案．
【詳解】解： 關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，
∴， 即
解得： ．
故答案為：．
【點睛】本題考查的是一元二次方程根的判別式的應(yīng)用，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與Δ=b2-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程無實數(shù)根．
14. 將半徑為6cm，圓心角是120°的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐底面圓的半徑為______cm．
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)弧長公式、圓錐的性質(zhì)分析，即可得到答案．
【詳解】解：根據(jù)題意，得圓錐底面周長cm，
∴這個圓錐底面圓的半徑cm，
故答案為：2．
【點睛】本題考查了扇形、圓錐的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握弧長公式、圓錐的性質(zhì)，從而完成求解．
15. 按規(guī)律排列的單項式：，，，，，…，則第20個單項式是_____．
【答案】
【解析】
【分析】觀察一列單項式發(fā)現(xiàn)偶數(shù)個單項式的系數(shù)為：奇數(shù)個單項式的系數(shù)為：而單項式的指數(shù)是奇數(shù)，從而可得答案．
詳解】解：，，，，，…，
由偶數(shù)個單項式的系數(shù)為： 所以第20個單項式的系數(shù)為
第1個指數(shù)為：
第2個指數(shù)為：
第3個指數(shù)為：

指數(shù)為
所以第20個單項式是：
故答案為：
【點睛】本題考查的是單項式的系數(shù)與次數(shù)的含義，數(shù)字的規(guī)律探究，掌握“從具體到一般的探究方法”是解本題的關(guān)鍵．
16. 甲、乙兩位同學(xué)各給出某函數(shù)的一個特征，甲：“函數(shù)值y隨自變量x增大而減小”；乙：“函數(shù)圖像經(jīng)過點(0，2)”，請你寫出一個同時滿足這兩個特征的函數(shù)，其表達(dá)式是____．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根據(jù)題意的要求，結(jié)合常見的函數(shù)，寫出函數(shù)解析式即可，最好找有代表性的、特殊的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等．
【詳解】解：根據(jù)題意，甲：“函數(shù)值y隨自變量x增大而減小”；
可設(shè)函數(shù)為：
又滿足乙：“函數(shù)圖像經(jīng)過點(0，2)”，
則函數(shù)關(guān)系式為，
故答案為：（答案不唯一）
【點睛】本題考查學(xué)生對函數(shù)圖象的掌握程度與靈活運用的能力，屬于開放性題．
17. 如圖，在正六邊形ABCDEF中，AB=6，點M在邊AF上，且AM=2．若經(jīng)過點M的直線l將正六邊形面積平分，則直線l被正六邊形所截的線段長是_____．

【答案】
【解析】
【分析】如圖，連接AD，CF，交于點O，作直線MO交CD于H，過O作OP⊥AF于P，由正六邊形是軸對稱圖形可得： 由正六邊形是中心對稱圖形可得： 可得直線MH平分正六邊形的面積，O為正六邊形的中心，再利用直角三角形的性質(zhì)可得答案．
【詳解】解：如圖，連接AD，CF，交于點O，作直線MO交CD于H，過O作OP⊥AF于P，
由正六邊形是軸對稱圖形可得：
由正六邊形是中心對稱圖形可得：
∴直線MH平分正六邊形的面積，O為正六邊形的中心，
由正六邊形的性質(zhì)可得：為等邊三角形， 而


則


故答案為：

【點睛】本題考查的是正多邊形與圓的知識，掌握“正六邊形既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形”是解本題的關(guān)鍵．
18. 如圖，在矩形中，=6，=8，點、分別是邊、的中點，某一時刻，動點從點出發(fā)，沿方向以每秒2個單位長度的速度向點勻速運動；同時，動點從點出發(fā)，沿方向以每秒1個單位長度的速度向點勻速運動，其中一點運動到矩形頂點時，兩點同時停止運動，連接，過點作的垂線，垂足為．在這一運動過程中，點所經(jīng)過的路徑長是_____．

【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)題意知EF在運動中始終與MN交于點Q，且 點H在以BQ為直徑的上運動，運動路徑長為的長，求出BQ及的圓角，運用弧長公式進(jìn)行計算即可得到結(jié)果．
【詳解】解：∵點、分別是邊、的中點，
連接MN，則四邊形ABNM是矩形，
∴MN=AB=6，AM=BN=AD==4，
根據(jù)題意知EF在運動中始終與MN交于點Q，如圖，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴
∴
∴
當(dāng)點E與點A重合時，則NF=，
∴BF=BN+NF=4+2=6，
∴AB=BF=6
∴是等腰直角三角形，
∴
∵BP⊥AF，
∴
由題意得，點H在以BQ為直徑的上運動，運動路徑長為長，取BQ中點O，連接PO，NO，
∴∠PON=90°，
又
∴，
∴，
∴的長為=
故答案為：
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，以及弧長等知識，判斷出點H運動的路徑長為長是解答本題的關(guān)鍵．
三、簡答題（本大題共10小題，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟)
19. 計算：4°．
【答案】2
【解析】
【分析】先計算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，二次根式的化簡，特殊角的三角函數(shù)值，再計算乘法，再合并即可．
【詳解】解：



【點睛】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值的運算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的含義，二次根式的化簡，掌握“運算基礎(chǔ)運算”是解本題的關(guān)鍵．
20. 解方程：．
【答案】x＝﹣1
【解析】
【分析】根據(jù)解分式方程的步驟，先去分母化為整式方程，再求出方程的解，最后進(jìn)行檢驗即可．
【詳解】解：，
2x＝x﹣2+1，
x＝﹣1，
經(jīng)檢驗x＝﹣1是原方程的解，
則原方程的解是x＝﹣1．
【點睛】本題考查解分式方程，得出方程的解之后一定要驗根．
21. 如圖，在平行四邊形中，點、分別是、的中點．求證：．

【答案】見詳解
【解析】
【分析】根據(jù)“平行四邊形ABCD的對邊平行且相等的性質(zhì)”證得四邊形AECF為平行四邊形，然后由“平行四邊形的對邊相等”的性質(zhì)證得結(jié)論．
【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC；
又∵點E、F分別是AD、BC的中點，
∴AE∥CF，AE=CF=AD，
∴四邊形AECF為平行四邊形（對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形），
∴AF=CE（平行四邊形的對邊相等）．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)．平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時要認(rèn)真領(lǐng)會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．
22. 為了解某校九年級學(xué)生開展“綜合與實踐”活動的情況，抽樣調(diào)查了該校名九年級學(xué)生上學(xué)期參加“綜合與實踐”活動的天數(shù)，并根據(jù)調(diào)查所得的數(shù)據(jù)繪制了如下尚不完整的兩幅統(tǒng)計圖．根據(jù)圖表信息，解答下列問題：

（1） ， ；
（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；
（3）根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果，請你估計該校九年級2000名學(xué)生中上學(xué)期參加“綜合與實踐”活動4天及以上的人數(shù)．
【答案】（1）200，30
（2）補(bǔ)全圖形見解析 （3）1600人
【解析】
【分析】（1）利用活動天數(shù)為2天的人數(shù)占比，可得總?cè)藬?shù)，再扇形圖的信息可得n的值；
（2）先求解活動3天的人數(shù)，再補(bǔ)全圖形即可；
（3）由2000乘以活動4天及以上部分所占的百分比即可得到答案．
小問1詳解】
解：由題意可得：（人），

故答案為：200，30
【小問2詳解】
活動3天的人數(shù)為：（人），
補(bǔ)全圖形如下：
【小問3詳解】
該校九年級2000名學(xué)生中上學(xué)期參加“綜合與實踐”活動4天及以上的人數(shù)為：
（人）．
答：估計該校九年級2000名學(xué)生中上學(xué)期參加“綜合與實踐”活動4天及以上的有1600人．
【點睛】本題考查的是從條形圖與扇形圖中獲取信息，補(bǔ)全條形圖，利用樣本估計總體，理解題意，獲取兩個圖中相關(guān)聯(lián)的信息是解本題的關(guān)鍵．
23. 從甲、乙、丙、丁4名學(xué)生中選2名學(xué)生參加一次乒乓球單打比賽，求下列事件發(fā)生的概率．
（1）甲一定參加比賽，再從其余3名學(xué)生中任意選取1名，恰好選中丙的概率是 ；
（2）任意選取2名學(xué)生參加比賽，求一定有乙的概率．（用樹狀圖或列表的方法求解）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用例舉法例舉所有等可能的情況數(shù)，再利用概率公式進(jìn)行計算即可；
（2）先列表得到所有的等可能的情況數(shù)以及符合條件的情況數(shù)，再利用概率公式進(jìn)行計算即可．
【小問1詳解】
解：由甲一定參加比賽，再從其余3名學(xué)生中任意選取1名，共有甲、乙，甲、丙，甲、丁三種等可能，符合條件的情況數(shù)有1種，
∴甲一定參加比賽，再從其余3名學(xué)生中任意選取1名，恰好選中丙的概率是
【小問2詳解】
列表如下：

甲
乙
丙
丁
甲

甲、乙
甲、丙
甲、丁
乙
乙、甲

乙、丙
乙、丁
丙
丙、甲
丙、乙

丙、丁
丁
丁、甲
丁、乙
丁、丙

所有所有的等可能的情況數(shù)有12種，符合條件的情況數(shù)有6種，
所以一定有乙的概率為：
【點睛】本題考查的是利用例舉法，列表的方法求解簡單隨機(jī)事件的概率，概率公式的應(yīng)用，掌握“例舉法與列表法求解概率”是解本題的關(guān)鍵．
24. 如圖，某學(xué)習(xí)小組在教學(xué)樓的頂部觀測信號塔底部的俯角為30°，信號塔頂部的仰角為45°．已知教學(xué)樓的高度為20m，求信號塔的高度（計算結(jié)果保冒根號）．

【答案】（20＋20）m．
【解析】
【分析】過點A作AE⊥CD于點E，則四邊形ABDE是矩形，DE＝AB＝20m，在Rt△ADE中，求出AE的長，在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，求出CE的長，即可得到CD的長，得到信號塔的高度．
【詳解】解：過點A作AE⊥CD于點E，
由題意可知，∠B＝∠BDE＝∠AED＝90°，
∴四邊形ABDE是矩形，
∴DE＝AB＝20m，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∠DAE＝30°，DE＝20m，
∵tan∠DAE＝，
∴m，
在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，∠CAE＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴ m，
∴CD＝CE＋DE＝（20＋20）m，
∴信號塔的高度為（20＋20）m．

【點睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題、矩形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、特殊角的銳角三角函數(shù)等知識，借助仰角俯角構(gòu)造直角三角形與矩形是解題的關(guān)鍵．
25. 如圖，在中，∠ =45°，，以為直徑的⊙與邊交于點．

（1）判斷直線與⊙的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若，求圖中陰影部分的面積．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)與三角形的內(nèi)角和定理證明 從而可得結(jié)論；
（2）如圖，記BC與的交點為M，連接OM，先證明 再利用陰影部分的面積等于三角形ABC的面積減去三角形BOM的面積，減去扇形AOM的面積即可．
【小問1詳解】
證明： ∠ =45°，，

即
在上，
為的切線．
【小問2詳解】
如圖，記BC與的交點為M，連接OM，
，

，
，
，，
，
．

【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定，扇形面積的計算，掌握“切線的判定方法與割補(bǔ)法求解不規(guī)則圖形面積的方法”是解本題的關(guān)鍵．
26. 某單位準(zhǔn)備購買文化用品，現(xiàn)有甲、乙兩家超市進(jìn)行促銷活動，該文化用品兩家超市的標(biāo)價均為10元/件，甲超市一次性購買金額不超過400元的不優(yōu)惠，超過400元的部分按標(biāo)價的6折售賣；乙超市全部按標(biāo)價的8折售賣．
（1）若該單位需要購買30件這種文化用品，則在甲超市的購物金額為 元；乙超市的購物金額為 元；
（2）假如你是該單位的采購員，你認(rèn)為選擇哪家超市支付的費用較少？
【答案】（1）300，240
（2）當(dāng)時，選擇乙超市更優(yōu)惠，當(dāng)時，兩家超市的優(yōu)惠一樣，當(dāng)時，選擇乙超市更優(yōu)惠，當(dāng)時，選擇甲超市更優(yōu)惠．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)甲、乙兩家超市的優(yōu)惠方案分別進(jìn)行計算即可；
（2）設(shè)單位購買x件這種文化用品，所花費用為y元， 可得當(dāng)時， 顯然此時選擇乙超市更優(yōu)惠，當(dāng)時 再分三種情況討論即可．
【小問1詳解】
解： 甲超市一次性購買金額不超過400元的不優(yōu)惠，超過400元的部分按標(biāo)價的6折售賣；
∴該單位需要購買30件這種文化用品，則在甲超市的購物金額為（元），
∵乙超市全部按標(biāo)價的8折售賣，
∴該單位需要購買30件這種文化用品，則在甲超市的購物金額為（元），
故答案：
【小問2詳解】
設(shè)單位購買x件這種文化用品，所花費用為y元，又當(dāng)10x=400時，可得
當(dāng)時，
顯然此時選擇乙超市更優(yōu)惠，
當(dāng)時，

當(dāng)時，則 解得：
∴當(dāng)時，兩家超市的優(yōu)惠一樣，
當(dāng)時，則 解得：
∴當(dāng)時，選擇乙超市更優(yōu)惠，
當(dāng)時，則 解得：
∴當(dāng)時，選擇甲超市更優(yōu)惠．
【點睛】本題考查的是列代數(shù)式，一次函數(shù)的實際應(yīng)用，一元一次不等式的實際應(yīng)用，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．
27. 如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點，點、、、、均為格點．
【操作探究】在數(shù)學(xué)活動課上，佳佳同學(xué)在如圖①的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺畫了兩條互相垂直的線段、，相交于點并給出部分說理過程，請你補(bǔ)充完整：
解：在網(wǎng)格中取格點，構(gòu)建兩個直角三角形，分別是△ABC和△CDE．
在Rt△ABC中，
在Rt△CDE中， ，
所以．
所以∠=∠．
因為∠ ∠ =∠ =90°，
所以∠ +∠ =90°，
所以∠ =90°，
即⊥．

（1）【拓展應(yīng)用】如圖②是以格點為圓心，為直徑的圓，請你只用無刻度的直尺，在上找出一點P，使=，寫出作法，并給出證明：
（2）【拓展應(yīng)用】如圖③是以格點為圓心的圓，請你只用無刻度的直尺，在弦上找出一點P．使=·，寫出作法，不用證明．
【答案】（1）；見解析
（2）見解析
【解析】
【分析】（1）取BM的中點Q，作射線OQ交于點P，點P即為所求作，利用全等三角形的判定和性質(zhì)證得MO=BO，再利用等腰三角形的性質(zhì)即可證明；
（2）取格點I，連接MI交AB于點P，點P即為所求作．利用正切函數(shù)證得∠FMI=∠MNA，利用圓周角定理證得∠B=∠MNA，再推出△PAM∽△MAB，即可證明結(jié)論．
【小問1詳解】
解：【操作探究】在網(wǎng)格中取格點，構(gòu)建兩個直角三角形，分別是△ABC和△CDE．
在Rt△ABC中，
在Rt△CDE中，，
所以．
所以∠=∠．
因為∠ ∠ =∠ =90°，
所以∠ +∠ =90°，
所以∠ =90°，
即⊥．
故答案為：；
取BM的中點Q，作射線OQ交于點P，點P即為所求作；
證明：在△OGM和△OHB中，
OG=OH=1，∠OGM=∠OHB=90°，MG=BH=3，
∴△OGM≌△OHB，
∴MO=BO，
∵點Q是BM的中點，
∴OQ平分∠MOB，即∠POM=∠POB，
∴=；
【小問2詳解】
解：取格點I，連接MI交AB于點P，點P即為所求作；
證明：作直徑AN，連接BM、MN，
在Rt△FMI中，，
在Rt△MNA中，，
所以．
∴∠FMI=∠MNA，
∵∠B=∠MNA，
∴∠AMP=∠B，
∵∠PAM=∠MAB，
∴△PAM∽△MAB，
∴，
∴=·．

【點睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．
28. 如圖，二次函數(shù)與軸交于 (0，0)， (4，0)兩點，頂點為，連接、，若點是線段上一動點，連接，將沿折疊后，點落在點的位置，線段與軸交于點，且點與、點不重合．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）①求證：；
②求；
（3）當(dāng)時，求直線與二次函數(shù)的交點橫坐標(biāo)．
【答案】（1）
（2）①證明見解析，②
（3）或．
【解析】
【分析】（1）二次函數(shù)與軸交于 (0，0)，A(4，0)兩點，代入求得b，c的值，即可得到二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）①由＝，得到頂點C的坐標(biāo)是（2，﹣2），拋物線和對稱軸為直線x＝2，由拋物線的對稱性可知OC＝AC，得到∠CAB＝∠COD，由折疊的性質(zhì)得到△ABC≌△BC，得∠CAB＝∠，AB＝B，進(jìn)一步得到∠COD＝∠，由對頂角相等得∠ODC＝∠BD，證得結(jié)論；
②由，得到，設(shè)點D的坐標(biāo)為（d，0），由兩點間距離公式得DC＝，在0＜d＜4的范圍內(nèi)，當(dāng)d＝2時，DC有最小值為，得到的最小值，進(jìn)一步得到的最小值；
（3）由和得到 ，求得B＝AB＝1，進(jìn)一步得到點B的坐標(biāo)是（3，0），設(shè)直線BC的解析式為y＝x＋，把點B（3，0），C（2，﹣2）代人求出直線BC的解析式為y＝2x－6，設(shè)點的坐標(biāo)是（p，q），則線段A的中點為（，），由折疊的性質(zhì)知點（，）在直線BC上，求得q＝2p－4，由兩點間距離公式得B＝，解得p＝2或p＝，求得點的坐標(biāo)，設(shè)直線的解析式為y＝x＋，由待定系數(shù)法求得直線的解析式為y＝x＋4，聯(lián)立直線和拋物線，解方程組即可得到答案．
【小問1詳解】
解：∵二次函數(shù)與軸交于 (0，0)， (4，0)兩點，
∴代入 (0，0)， (4，0)得，，
解得：，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；
【小問2詳解】
①證明：∵ ＝，
∴頂點C的坐標(biāo)是（2，﹣2），拋物線的對稱軸為直線x＝2，
∵二次函數(shù)與軸交于(0，0)，(4，0)兩點，
∴由拋物線的對稱性可知OC＝AC，
∴∠CAB＝∠COD，
∵沿折疊后，點落在點的位置，線段與軸交于點，
∴ △ABC≌△BC，
∴∠CAB＝∠，AB＝B，
∴∠COD＝∠，
∵∠ODC＝∠BD，
∴；
②∵，
∴，
設(shè)點D的坐標(biāo)為（d，0），
由兩點間距離公式得DC＝，
∵點與、點不重合，
∴0＜d＜4，
對于 ＝來說，
∵ a＝1＞0，
∴拋物線開口向上，在頂點處取最小值，當(dāng)d＝2時，的最小值是4，
∴當(dāng)d＝2時，DC有最小值為，
由兩點間距離公式得OC＝，
∴有最小值為，
∴的最小值為；
【小問3詳解】
解：∵，
∴，
∵，
∴ ，
∵OC＝2，
∴B＝AB＝1，
∴點B的坐標(biāo)是（3，0），
設(shè)直線BC的解析式為y＝x＋，
把點B（3，0），C（2，﹣2）代人得，
解得，
∴直線BC的解析式為y＝2x－6，
設(shè)點的坐標(biāo)是（p，q），
∴線段A的中點為（，），
由折疊的性質(zhì)知點（，）在直線BC上，
∴＝2×－6，
解得q＝2p－4，
由兩點間距離公式得B＝，
整理得＝1，
解得p＝2或p＝，
當(dāng)p＝2時，q＝2p－4＝0，此時點（2，0），很顯然不符合題意，
當(dāng)p＝時，q＝2p－4＝，此時點（，），符合題意，
設(shè)直線的解析式為y＝x＋，
把點B（3，0），（，）代人得，，
解得，
∴直線的解析式為y＝x＋4，
聯(lián)立直線和拋物線得到，，
解得，，
∴直線與二次函數(shù)的交點橫坐標(biāo)為或．
【點睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)求函數(shù)的表達(dá)式、兩點間距離公式、相似三角形的判定和性質(zhì)、中點坐標(biāo)公式、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、圖形的折疊等知識，難度較大，屬于中考壓軸題，數(shù)形結(jié)合是解決此問題的關(guān)鍵．

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