?2022年無錫市初中學業(yè)水平考試
數(shù)學試題
本試卷分試題和答題卡兩部分，所有答案一律寫在答題卡上，考試時間為120分鐘，試卷滿分為150分．
注意事項：
1. 答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡的相應(yīng)位置上，并認真核對條形碼上的姓名、準考證號是否與本人的相符合．
2. 答選擇題必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目中的選項標號涂黑，如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答非選擇題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆作答，請把答案填寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，在其他區(qū)域答題一律無效．
3. 作圖必須用2B鉛筆作答，并請加黑加粗、描寫清楚．
4. 卷中除要求近似計算的結(jié)果取近似值外，其他均應(yīng)給出精確結(jié)果．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題所給出的四個選項中，只有一項是正確的，請用2B鉛筆把答題卡上相應(yīng)的選項標號涂黑．）
1. -的倒數(shù)是（ ）
A. - B. -5 C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】倒數(shù)：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)．據(jù)此可得答案．
【詳解】解：-的倒數(shù)是-5．
故選：B．
【點睛】本題考查了倒數(shù)，掌握倒數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．
2. 函數(shù)y＝中自變量x的取值范圍是(　 　)
A. x＞4 B. x＜4 C. x≥4 D. x≤4
【答案】D
【解析】
【分析】因為當函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)為非負數(shù)，所以4-x≥0，可求x的范圍．
【詳解】解：4-x≥0，
解得x≤4，
故選：D．
【點睛】此題考查函數(shù)自變量的取值，解題關(guān)鍵在于掌握當函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)為非負數(shù)．
3. 已知一組數(shù)據(jù)：111，113，115，115，116，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù)分別是（ ）
A. 114，115 B. 114，114 C. 115，114 D. 115，115
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)眾數(shù)、平均數(shù)的概念求解．
【詳解】解：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：（1+3+5+5+6）÷5+110=114，
115出現(xiàn)了2次，出現(xiàn)次數(shù)最多，則眾數(shù)為：115，
故選：A．
【點睛】本題考查了平均數(shù)和眾數(shù)．平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個數(shù)．一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)．
4. 方程的解是（　　?。?br /> A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)解分式方程的基本步驟進行求解即可．先兩邊同時乘最簡公分母，化為一元一次方程；然后按常規(guī)方法，解一元一次方程；最后檢驗所得一元一次方程的解是否為分式方程的解．
【詳解】解：方程兩邊都乘，得

解這個方程，得

檢驗：將代入原方程，得
左邊，右邊，左邊=右邊．
所以，是原方程的根．
故選：A．
【點睛】本題考查解分式方程，熟練掌握解分式方程的基本步驟和驗根是解題的關(guān)鍵．
5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AC所在直線為軸，把△ABC旋轉(zhuǎn)1周，得到圓錐，則該圓錐的側(cè)面積為（ ）
A. 12π B. 15π C. 20π D. 24π
【答案】C
【解析】
【分析】先利用勾股定理計算出AB，再利用扇形的面積公式即可計算出圓錐的側(cè)面積．
【詳解】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB==5，
以直線AC為軸，把△ABC旋轉(zhuǎn)一周得到的圓錐的側(cè)面積=×2π×4×5
=20π．
故選：C．
【點睛】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．
6. 雪花、風車…．展示著中心對稱的美，利用中心對稱，可以探索并證明圖形的性質(zhì)，請思考在下列圖形中，是中心對稱圖形但不一定是軸對稱圖形的為（ ）
A. 扇形 B. 平行四邊形 C. 等邊三角形 D. 矩形
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
【詳解】解：A、扇形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
B、平行四邊形不一定是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項符合題意；
C、等邊三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
D、矩形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
故選：B．
【點睛】此題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義，熟練掌握如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．如果一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后能夠與自身重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心是解題關(guān)鍵．
7. 如圖，AB是圓O的直徑，弦AD平分∠BAC，過點D的切線交AC于點E，∠EAD＝25°，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）


A. AE⊥DE B. AE//OD C. DE=OD D. ∠BOD=50°
【答案】C
【解析】
【分析】過點D作DF⊥AB于點F，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥DE，證明OD∥AE，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)逐一判斷即可．
【詳解】解：∵DE是⊙O的切線，
∴OD⊥DE，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠ODA，
∴OD∥AE，
∴AE⊥DE．故選項A、B都正確；
∵∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，∠EAD=25°，
∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=50°，故選項D正確；
∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，DF⊥AB，
∴DE=DF3
【解析】
【分析】先求得原拋物線的頂點坐標為（-2，m-4），再求得平移后的頂點坐標為（1，m-3），根據(jù)題意得到不等式m-3>0，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：∵y=x2+4x+m=(x+2)2+m-4，
此時拋物線的頂點坐標為（-2，m-4），
函數(shù)的圖象向上平移1個單位長度，再向右平移3個單位長度后的頂點坐標為（-2+3，m-4+1），即（1，m-3），
∵平移后所得拋物線與坐標軸有且只有一個公共點，
∴m-3>0，
解得：m>3，
故答案為：m>3．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，解決本題的關(guān)鍵是得到新拋物線的頂點坐標．
18. △ABC是邊長為5的等邊三角形，△DCE是邊長為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點F．如圖，若點D在△ABC內(nèi)，∠DBC=20°，則∠BAF＝________°；現(xiàn)將△DCE繞點C旋轉(zhuǎn)1周，在這個旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF長度的最小值是________．

【答案】 ①. 80 ②. ##
【解析】
【分析】利用SAS證明△BDC≌△AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，據(jù)此可求得∠BAF的度數(shù)；利用全等三角形的性質(zhì)可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四個點在同一個圓上，當BF是圓C的切線時，即當CD⊥BF時，∠FBC最大，則∠FBA最小，此時線段AF長度有最小值，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，
即∠DCB =∠ECA，
在△BCD和△ACE中，，
∴△ACE≌△BCD（ SAS），
∴∠EAC=∠DBC，
∵∠DBC=20°，
∴∠EAC=20°，
∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°；
設(shè)BF與AC相交于點H，如圖：

∵△ACE≌△BCD
∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC，
∴∠AFB=∠ACB=60°，
∴A、B、C、F四個點在同一個圓上，
∵點D在以C為圓心，3為半徑的圓上，當BF是圓C的切線時，即當CD⊥BF時，∠FBC最大，則∠FBA最小，
∴此時線段AF長度有最小值，
在Rt△BCD中，BC=5，CD=3，
∴BD=4，即AE=4，
∴∠FDE=180°-90°-60°=30°，
∵∠AFB=60°，
∴∠FDE=∠FED=30°，
∴FD=FE，
過點F作FG⊥DE于點G，
∴DG=GE=，
∴FE=DF==，
∴AF=AE-FE=4-，
故答案為：80；4-．
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理，切線的性質(zhì)，解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．
三、解答題（本大題共10小題，共96分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟等．）
19. 計算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）1 （2）2a+3b
【解析】
【分析】（1）先化簡絕對值和計算乘方，并把特殊角的三角函數(shù)值代入，再計算乘法，最后算加減即可求解；
（2）先運用單項式乘以多項式法則和平方差公式計算，再合并同類項即可．
【小問1詳解】
解：原式=
=
=1；
【小問2詳解】
解：原式=a2+2a-a2+b2-b2+3b
=2a+3b．
【點睛】本題考查實數(shù)混合運算，整式混合運算，熟練掌握實數(shù)運算法則和單項式乘以多項式法則，熟記特殊角的三角函數(shù)值、平方差公式是解題的關(guān)鍵．
20. （1）解方程；
（2）解不等式組：．
【答案】（1）x1=1+，x2=1-；（2）不等式組的解集為1＜x≤．
【解析】
【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；
（2）分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分即可．
【詳解】解：（1）方程移項得：x2-2x=5，
配方得：x2-2x+1=6，即（x-1）2=6，
開方得：x-1=±，
解得：x1=1+，x2=1-；
（2）．
由①得：x＞1，
由②得：x≤，
則不等式組的解集為1＜x≤．
【點睛】此題考查了解一元二次方程-配方法，以及解一元一次不等式組，熟練掌握方程及不等式組的解法是解本題的關(guān)鍵．
21. 如圖，在?ABCD中，點O為對角線BD的中點，EF過點O且分別交AB、DC于點E、F，連接DE、BF．

求證：
（1）△DOF≌△BOE；
（2）DE=BF．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形ABCD的性質(zhì)，利用ASA即可證明△DOF≌△BOE；
（2）證明四邊形BEDF的對角線互相平分，進而得出結(jié)論．
【小問1詳解】
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，O是BD的中點，
∴AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF．
在△BOE和△DOF中，，
∴△BOE≌△DOF（ASA）；
【小問2詳解】
證明：∵△BOE≌△DOF，
∴EO=FO，
∵OB=OD，
∴四邊形BEDF是平行四邊形．
∴DE=BF．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解決問的關(guān)鍵．
22. 建國中學有7位學生的生日是10月1日，其中男生分別記為，，，，女生分別記為，，．學校準備召開國慶聯(lián)歡會，計劃從這7位學生中抽取學生參與聯(lián)歡會的訪談活動．
（1）若任意抽取1位學生，且抽取的學生為女生的概率是 ；
（2）若先從男生中任意抽取1位，再從女生中任意抽取1位，求抽得的2位學生中至少有1位是或的概率．（請用“畫樹狀圖”或“列表”等方法寫出分析過程）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)概率計算公式計算即可；
（2）格局題意，列出表格，再根據(jù)概率計算公式計算即可．
【小問1詳解】
解：任意抽取1位學生，且抽取的學生為女生的概率是，
故答案為：．
【小問2詳解】
解：列出表格如下：




















一共有12種情況，其中至少有1位是或的有6種，
∴抽得的2位學生中至少有1位是或的概率為．
【點睛】本題考查概率計算公式，畫樹狀圖或列表得出所有的情況，找出符合條件的情況數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．
23. 育人中學初二年級共有200名學生，2021年秋學期學校組織初二年級學生參加30秒跳繩訓練，開學初和學期末分別對初二年級全體學生進行了摸底測試和最終測試，兩次測試數(shù)據(jù)如下：
育人中學初二學生30秒跳繩測試成績的頻數(shù)分布表
跳繩個數(shù)（x）
x≤50
50＜x≤60
60＜x≤70
70＜x≤80
x＞80
頻數(shù)（摸底測試）
19
27
72
a
17
頻數(shù)（最終測試）
3
6
59
b
c
育人中學初二學生30秒跳繩最終測試成績的扇形統(tǒng)計圖

（1）表格中a＝ ；
（2）請把下面的扇形統(tǒng)計圖補充完整；（只需標注相應(yīng)的數(shù)據(jù)）
（3）請問經(jīng)過一個學期的訓練，該校初二年級學生最終測試30秒跳繩超過80個的人數(shù)有多少？
【答案】（1）65 （2）見解析
（3）50名
【解析】
【分析】（1）用全校初二年級總?cè)藬?shù)200名減去非70＜x≤80的總?cè)藬?shù)即可求得a；
（2）用戶減去小于等于80個點的百分比，即可求出大于80個占的百分比，據(jù)此可補全扇形統(tǒng)計圖；
（3）用總?cè)藬?shù)200名乘以大于80個占的百分比，即可求解．
小問1詳解】
解：a=200-19-27-72-17=65，
故答案為：65；
【小問2詳解】
解：x>80的人數(shù)占的百分比為：1-1.5%-3%-29.5%-41%=25%，
補充扇形統(tǒng)計圖為：
【小問3詳解】
解：最終測試30秒跳繩超過80個的人數(shù)有：200×25%=50（名），
答：最終測試30秒跳繩超過80個的人數(shù)有50名．
【點睛】本題考查頻數(shù)分布表與扇形統(tǒng)計圖，頻數(shù)與頻率，能從統(tǒng)計表與統(tǒng)計圖中獲取有用的信息是解題的關(guān)鍵．
24. 如圖，△ABC為銳角三角形．


（1）請在圖1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：在AC右上方確定點D，使∠DAC＝∠ACB，且；（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）的條件下，若，，，則四邊形ABCD的面積為 ．（如需畫草圖，請使用試卷中的圖2）
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先作∠DAC＝∠ACB，再利用垂直平分線的性質(zhì)作，即可找出點D；
（2）由題意可知四邊形ABCD是梯形，利用直角三角形性質(zhì)求出AE、BE、CE、AD的長，求出梯形的面積即可．
【小問1詳解】
解：如圖，


∴點D為所求點．
【小問2詳解】
解：過點A作AE垂直于BC，垂足為E，




∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵∠DAC＝∠ACB，
∴，四邊形ABCD是梯形，
∴，
∴四邊形AECD是矩形，
∴，
∴四邊形ABCD的面積為，
故答案為：．
【點睛】本題考查作圖，作相等的角，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)做垂線，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求線段的長，正確作出圖形是解答本題的關(guān)鍵．
25. 如圖，邊長為6的等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，點D為AC上的動點（點A、C除外），BD的延長線交⊙O于點E，連接CE．

（1）求證；
（2）當時，求CE的長．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)同弧所對圓周角相等可得，再由對頂角相等得，故可證明緒論；
（2）根據(jù)可得由可得出連接AE，可證明，得出 代入相關(guān)數(shù)據(jù)可求出，從而可求出緒論．
【小問1詳解】
∵所對圓周角是，
∴，
又，
∴；
【小問2詳解】
∵△是等邊三角形，
∴
∵，
∴
∴
∵
∴，
∴
∴
連接如圖，

∵
∴
∴∠
又∠，
∴△
∴，
∴
∴，
∴（負值舍去）
∴，
解得，
【點睛】本題主要考查了圓周角定理，相似三角形和判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．
26. 某農(nóng)場計劃建造一個矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場一面靠墻（墻的長度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為1:2的矩形，已知柵欄的總長度為24m，設(shè)較小矩形的寬為xm（如圖）．


（1）若矩形養(yǎng)殖場的總面積為36，求此時x的值；
（2）當x為多少時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？
【答案】（1）x的值為2m；
（2）當x=4時，S有最大值，最大值為48．
【解析】
【分析】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形養(yǎng)殖場的總面積為36，列一元二次方程，解方程即可求解；
（2）設(shè)矩形養(yǎng)殖場的總面積為S，列出矩形的面積公式可得S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【小問1詳解】
解：∵BC=x，矩形CDEF的面積是矩形BCFA面積的2倍，
∴CD=2x，
∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x，
依題意得：3x(8-x)=36，
解得：x1=2，x2=6(不合題意，舍去)，
此時x的值為2m；
；
【小問2詳解】
解：設(shè)矩形養(yǎng)殖場的總面積為S，
由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，
∵-3

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