第7章一次方程組知識歸納（華東師大版七下）-教案下載-教習網(wǎng)

第七章　二元一次方程組一、基本概念（一）二元一次方程組的有關概念1．二元一次方程的定義：都含有個未知數(shù)，并且的次數(shù)都是1，像這樣的整式方程，叫做二元一次方程。一般形式為：ax+by=c（a、b、c為常數(shù)，且a、b均不為0）結合一元一次方程，二元一次方程對“元”和“次”作進一步的理解；“元”與“未知數(shù)”相通，幾個元是指幾個未知數(shù)，“次”指未知數(shù)的最高次數(shù)。例如：方程7y-3x=4、-3a+3=4-7b、2m+3n=0、1-s+t=2s等都是二元一次方程。而6x2=-2y-6、4x+8y=-6z、=n等都不是二元一次方程。2．二元一次方程組的定義：把兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組。例如：、、、等都是二元一次方程組。而、、等都不是二元一次方程組。注意：（1）只要兩個方程一共含有兩個未知數(shù)，也是二元一次方程組。如：、也是二元一次方程組。3．二元一次方程和二元一次方程組的解（1）二元一次方程的解：能夠使二元一次方程的左右兩邊都相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。（2）二元一次方程組的解：使二元一次方程組的兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程組的解。（即是兩個方程的公共解）注意：寫二元一次方程或二元一次方程組的解時要用“聯(lián)立”符號“”把方程中兩個未知數(shù)的值連接起來寫。二元方程解的寫法的標準形式是：，（其中a、b為常數(shù)）（二）二元一次方程組的解法1．解二元一次方程組的基本思想：“消元”，化二元一次方程組為一元一次方程來解。2．二元一次方程組的基本解法（1）代入消元法（代入法）定義：通過“代人”消去一個未知數(shù)，將方程組轉化為一元一次方程來解的這種解法叫做代人消元法，簡稱代入法。步驟：①選取一個方程，將它寫成用一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)，記作方程③。 ②把③代人另一個方程，得一元一次方程。 ③解這個一元一次方程，得一個未知數(shù)的值。 ④把這個未知數(shù)的值代人③，求出另一個未知數(shù)值，從而得到方程組的解。（2）加減消元法（加減法）定義：通過將兩個方程相加(或相減)，消去一個未知數(shù)，將方程組轉化為一元一次方程來解，這種解法叫加減消元法，簡稱加減法。步驟：①把兩個方程同一個未知數(shù)的系數(shù)乘以適當?shù)谋稊?shù)，使得這兩個未知數(shù)的絕對值相同。 ②把未知數(shù)的絕對值相同的兩個方程相加或相減，得一元一次方程。 ③解這個一元一次方程，得一個未知數(shù)的值。 ④把這個未知數(shù)的值代人原方程組中系數(shù)叫簡單的一個方程，求出另一個未知數(shù)值，從而得到方程組的解。注意：正確選用兩種基本解二元一次方程組（1）若二元一次方程組中有一個未知數(shù)系數(shù)的絕對值為1，適宜用“代入法”。（2）用加減法解二元一次方程組，兩方程中若有一個未知數(shù)系數(shù)的絕對值相等，可直接加減消元；若同一未知數(shù)的系數(shù)絕對值不等，則應選一個或兩個方程變形，使一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等，然后再直接用加減法求解；若方程組比較復雜，應先化簡整理。（三）二元一次方程組的應用1．純數(shù)學上的應用：（1）二元一次方程定義的應用；（2）方程解的概念的應用；（3）代數(shù)中的應用；（4）公式變形等。2．實際生活上的應用：（1）調(diào)配問題；（2）行程問題；（3）工程問題；（4）利息問題；（5）面積問題等。3．探索性應用：這類問題與上面的幾類問題有聯(lián)系，但也有區(qū)別，有時是一種沒有結論的問題，需要你給出結論并解答。注意事項： (1)在實際問題中，常會遇到有多個未知量的問題，和一元一次方程一樣，二元一次方程組也是反映現(xiàn)實世界數(shù)量之間相等關系的數(shù)學模型之一，要學會將實際問題轉化為二元一次方程組，從而解決一些簡單的實際問題。 (2)二元一次方程組的解法很多，但它的基本思想都是通過消元，轉化為一元一次方程來解的，最常見的消元方法有代人法和加減法。一個方程組用什么方程來逐步消元，轉化應根據(jù)它的特點靈活選定。 (3)通過列方程組來解某些實際問題，應注意檢驗和正確作答，檢驗不僅要檢查求得的解是否適合方程組的每一個方程，更重要的是要考察所得的解答是否符合實際問題的要求。二、練習1．求二元一次方程3x+y＝10的正整數(shù)解。分析：求二元一次方程的解的方法是用一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)，如y＝10-3x，給定x一個值，求出y的一個對應值，就可得到二元一次方程的一個解，而此題是對未知數(shù)x、y作了限制必須是正整數(shù)，也就是說對于給定的x可能是1、2、3、4…但是當x＝4時，y＝ 10-3×4=-2，y卻不是正整數(shù)，因此x只能取正整數(shù)的一部分，即x= 1，x=2，x=3。2．已知 x=1 2xn－m=5 y=2 是方程組 mx－ny=5的解，求m和n的值。分析：因為，x=1，y＝2是方程組的解。根據(jù)方程組解的定義和x=1，y＝2既滿足方程①又滿足方程②于是有： 2n-2m=5 ③ 　　　m+2n＝3 ④ 解這個方程組即可。3.A、B兩地相距150千米，甲、乙兩車分別從A、月兩地同時出發(fā)，同向而行，甲車3小時可追上乙車；相向而行，兩車1.5小時相遇，求甲、乙兩車的速度。分析：這里有兩個未知數(shù):甲、乙兩車的速度；有兩個相等關系： (1)同向而行：甲3小時的行程＝乙3小時行程十150千米 (2)相向而行：甲1.5小時行程+乙1.5小時行程＝150千米解設甲車的速度為x千米/時，乙車的速度為y千米/時。根據(jù)題意，得　 3x=3y+150 　 1.5x+1.5y=150 解這個方程組即可。4.一個三位數(shù)，各數(shù)位上的數(shù)字之和為13，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大2，如果把百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字對調(diào)，那么所得新數(shù)比原來的三位數(shù)大99，求這個三位數(shù)。分析：怎樣設未知數(shù)?直接設可以嗎? 這里有三個未知數(shù)——個位上的數(shù)字，百位上的數(shù)字及十位上數(shù)字，若用二元一次方程組求解，該怎樣設未知數(shù)? 由“十位上數(shù)字比個位上的數(shù)字大2”，可設原三位數(shù)的個位上的數(shù)字為x，則十位上數(shù)字為x+2，另設百位上數(shù)字為y. 如何表示原三位數(shù)和新三位數(shù)? 100y+10(x+2)+x，l00x+l0(x+2)+y 2個等量關系是什么? (1)百位上數(shù)字十十位上數(shù)字十個位上數(shù)字＝13 (2)新三位數(shù)一原三位數(shù)=99 根據(jù)題意，得 x+(x+2)+y=13 [100x+10(x+2)+y]-[100y+10(x+2)+x]=99解這個方程組即可。5．某旅行團從甲地到乙地游覽。甲、乙兩地相距100公里，團中的一部分人乘車先行，余下的人步行，先坐車的人到途中某處下車步行，汽車返回接先步行的那部分人，已知步行時速是8公里，汽車時速是40公里，問要使大家在下午4:00同時到達乙地，必須在什么時候出發(fā)? 分析：這個問題實質上求的是如果按題設的行走方式，至少需要多少個小時? 本題比較復雜，引導學生用線段圖幫助分析。 X公里　 A　　　　　　D y公里 B　　 C 甲　　　　　上車點　下車點　　　　　　乙(1)汽車從A→B→D所需的時間與先步行的一部分人從A到D所需的時間相等。 (2)汽車從B→D→C所需的時間與后步行的一部分人從B到C所需要的時間相等。因此可設先坐車的一部人下車地點距甲地x公里，這一部分人下車地點距另一部分人的上車地點相距y公里，如圖所示。由以上兩個等量關系，得：= = 解方程組即可得到方程組的解。例2：方程組　　ax+by=62 的解應為　x＝8 mx-20y=-224　　　　　　　　y＝10但是由于看錯了系數(shù)m，而得到的解為，求a+b+m的值；