第25講 弧度制及任意角的三角函數(shù) 1. 角的概念的推廣(1)正角、負(fù)角和零角：一條射線繞頂點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫作正角，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫作負(fù)角；如果射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，那么也把它看成一個(gè)角，叫作零角．(2)象限角：以角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，這樣，角的終邊在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限的角．終邊落在坐標(biāo)軸上的角(軸線角)不屬于任何象限．(3)終邊相同的角：與角α的終邊相同的角的集合為{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．2. 弧度制①1弧度的角：長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角．②規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，|α|＝____，l是以角α作為圓心角時(shí)所對(duì)圓弧的長，r為半徑．③弧度與角度的換算：360°＝_2π_rad；180°＝__π__rad；1°＝____rad；1 rad＝____度．④弧長公式：__l＝|α|r__．扇形面積公式：S扇形＝__lr__＝__|α|r2__．3. 任意角的三角函數(shù)(1)定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么sinα＝__y__，cosα＝__x__，tanα＝．(2)特殊角的三角函數(shù)值角α0°30°45°60°90°180°270°α弧度數(shù)_0__________π___sinα_0________1__0__－1_cosα_1________0__－1__0_tanα_0____1___ _0_   1、若α是第四象限角，則π＋α是第____象限角(　　)A．一  B．二  C．三  D．四【答案】　B【解析】　＋2kπ<π＋α<π＋2kπ，k∈Z，故π＋α是第二象限角．2、（2022·日照一模）已知角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn) P（，－），則角θ可以為(　　)A.     B.     C.     D. 【答案】 D【解析】 因?yàn)榻?/span>θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（，－），所以θ是第四象限角，且cos θ＝，sin θ＝－，則θ＝.3、（多選）下列結(jié)論中，正確的是(　　)A. －是第三象限角B. 若圓心角為的扇形的弧長為π，則該扇形的面積為C. 若角α的終邊過點(diǎn)P(－3，4)，則cos α＝－D. 若角α為銳角，則角2α為鈍角【答案】 BC【解析】 對(duì)于A，－與的終邊相同，為第二象限角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)扇形的半徑為r，則r＝π，所以r＝3，則扇形的面積為×3×π＝，故B正確；對(duì)于C，角α的終邊過點(diǎn)P(－3，4)，根據(jù)三角函數(shù)的定義，得cos α＝－，故C正確； 對(duì)于D，因?yàn)?/span>0<α<，所以0<2α<π，故D錯(cuò)誤．故選BC.4、（2022·山東高三開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸，終邊過點(diǎn)(－2，y)，且tan (π－α)＝2，則sin α＝　　　　．【答案】 【解析】 因?yàn)榻?/span>α終邊過點(diǎn)(－2，y)，所以tan α＝－.又tan (π－α)＝2，所以tan α＝－2，所以y＝4，所以sin α＝＝. 考向一　角的表示及象限角例1、　(1) 終邊在直線y＝x上的角的集合為　　　　　　　　　　；【答案】 【解析】 因?yàn)樵?/span>(0，2π)內(nèi)，終邊在直線y＝x 上的角是，，與，終邊相同的角分別為2kπ＋，2kπ＋＝(2k＋1)π＋，k∈Z，所以終邊在直線y＝x上的角的集合為.(2) 若角θ的終邊與角的終邊相同，則在[0，2π）內(nèi)，終邊與角的終邊相同的角的個(gè)數(shù)為　　　　；【答案】 3【解析】 因?yàn)?/span>θ＝＋2kπ(k∈Z)，所以＝＋(k∈Z).依題意有0≤＋<2π，k∈Z，所以－≤k<，所以k＝0，1，2，即在[0，2π）內(nèi)，終邊與角的終邊相同的角為，，，共3個(gè)．(3) 已知角α的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內(nèi)（不包括邊界），則角α用集合可表示為　　　　　　　　　　．【答案】 【解析】 因?yàn)樵?/span>[0，2π]內(nèi)，終邊落在陰影部分角的集合為，所以所求角的集合為{α|2kπ＋<α<2kπ＋，k∈Z}．變式、（1）集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是(　　)（2）若角α是第二象限角，則是(　　)A．第一象限角　　　　　　　 B．第二象限角C．第一或第三象限角   D．第二或第四象限角【答案】（1）B　（2）C.【解析】（1）當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，2nπ≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此時(shí)α的終邊和0≤α≤的終邊一樣，當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，2nπ＋π≤α≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此時(shí)α的終邊和π≤α≤π＋的終邊一樣．（2）　∵α是第二象限角，∴＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，∴＋kπ<<＋kπ，k∈Z.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，是第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，是第三象限角．故選C.方法總結(jié)：1. 象限角的兩種判斷方法：(1) 圖象法：在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角．(2) 轉(zhuǎn)化法：先將已知角轉(zhuǎn)化為k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角．2. 由角所在的區(qū)域?qū)懗鼋堑募希山堑募袭嫵鰠^(qū)域． 考向二  扇形的有關(guān)運(yùn)算例2、 已知扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長為l.(1)若α＝，R＝10 cm，求扇形的弧長l.(2)若扇形的周長是20 cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？(3)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面積.【解析】　(1)因?yàn)?/span>α＝，R＝10 cm，所以l＝|α|R＝×10＝(cm).(2)由已知得，l＋2R＝20，所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.所以當(dāng)R＝5時(shí)，S取得最大值，此時(shí)l＝10，α＝2.(3)設(shè)弓形面積為S弓形，由題意知l＝ cm，所以S弓形＝××2－×22×sin ＝cm2.變式1、（1）中國折疊扇有著深厚的文化底蘊(yùn).如圖，在半圓O中作出兩個(gè)扇形OAB和OCD，用扇環(huán)形ABDC(圖中陰影部分)制作折疊扇的扇面.記扇環(huán)形ABDC的面積為S1，扇形OAB的面積為S2，當(dāng)S1與S2的比值為時(shí)，扇面的形狀較為美觀，則此時(shí)扇形OCD的半徑與半圓O的半徑之比為(　　)A.  B.C.3－  D.－2【答案】　B【解析】　設(shè)∠AOB＝θ，半圓的半徑為r，扇形OCD的半徑為r1，依題意，有＝，即＝，所以＝＝＝，從而得＝. (2)一個(gè)扇形的面積是1 cm2，它的周長是4 cm，則圓心角為________弧度，弧長為________ cm.【答案】　2　2【解析】　設(shè)扇形的圓心角為α，半徑為r.則由題意得解得所以弧長l＝αr＝2，所以扇形的圓心角為2弧度，弧長為2 cm. 變式2、已知在半徑為10的圓O中，弦AB的長為10.(1) 求弦AB所對(duì)圓心角α的大小；(2) 求α所在的扇形弧長l及弧所在弓形的面積S.【解析】 (1) 如圖，過點(diǎn)O作OC⊥AB，垂足為C，則AC＝5.在Rt△ACO中，sin ∠AOC＝＝＝，所以∠AOC＝，所以α＝2∠AOC＝.(2) 由(1)及題意，得l＝，S扇形＝lr＝××10＝.因?yàn)?/span>S△AOB＝×10×10×sin ＝25，所以S弓形＝S扇形－S△AOB＝－25＝50（－） 方法總結(jié)：有關(guān)弧長及扇形面積問題的注意點(diǎn)(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度．(2)求扇形面積最大值的問題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決．(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形．考向三  三角函數(shù)的定義及應(yīng)用例3、已知角α的終邊上一點(diǎn)P(－，m)(m≠0)， 且sin α＝，求cos α，tan α的值．【解析】：由題設(shè)知x＝－，y＝m，∴r2＝|OP|2＝2＋m2(O為原點(diǎn))，r＝．∴sin α＝＝＝，因?yàn)?/span>m≠0∴r＝＝2，即3＋m2＝8，解得m＝±．當(dāng)m＝時(shí)，r＝2，x＝－，y＝，∴cos α＝＝－， tan α＝－；當(dāng)m＝－時(shí)，r＝2，x＝－，y＝－，∴cos α＝＝－， tan α＝．變式1、已知角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上一點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則角α的最小正角為(　　)A.   B.    C.     D.【答案】　D【解析】角α的終邊上一點(diǎn)M的坐標(biāo)為，即M，故點(diǎn)M在第四象限，且tan α＝＝－1，則角α的最小正角為，故選D變式2、已知角α的終邊過點(diǎn)P(－8m，－6cos 60°)，且cos α＝－，則m＝　　　．【答案】 【解析】 由題意，得P(－8m，－3).由 cos α＝－，得＝－，解得m＝（m＝－不合題意，舍去）.　方法總結(jié)：1．明確用定義法求三角函數(shù)值的兩種情況：(1)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解；(2)已知角α的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后用三角函數(shù)的定義來求解．2．三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，與點(diǎn)P在角的終邊上的位置無關(guān)，由于P是除原點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，故r恒為正，本題要注意對(duì)變量的討論． 1、（2022·湖北·模擬預(yù)測(cè)）若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值為（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，∴，，，∴．故選：D．2、（2022·山東日照·一模）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則角可以為（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，是第四象限角，且，，則．故選：D3、（2022·重慶市育才中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若點(diǎn)在角的終邊上，則的值為A． B． C． D．【答案】D【解析】試題分析：因?yàn)?/span>，所以，故選D．4、（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知角的始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊上一點(diǎn)，若，則（       ）A．3 B． C． D．【答案】C【解析】：因?yàn)榻?/span>的終邊上一點(diǎn)，所以，又，所以為第四象限角，所以，又因，所以.故選：C.5、（2022·河北·石家莊二中模擬預(yù)測(cè)）若角滿足，，則在（       ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】，是第二或第四象限角；當(dāng)是第二象限角時(shí)，，，滿足；當(dāng)是第四象限角時(shí)，，，則，不合題意；綜上所述：是第二象限角.故選：B.6、（2022·重慶市育才中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）希波克拉底是古希臘醫(yī)學(xué)家，他被西方尊為“醫(yī)學(xué)之父”，除了醫(yī)學(xué)，他也研究數(shù)學(xué).特別是與“月牙形”有關(guān)的問題.如圖所示.陰影部分的月牙形的邊緣都是圓弧，兩段圓弧分別是的外接圓和以為直徑的圓的一部分，若，，則該月牙形的面積為（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】解析由已知可得，的外接圓半徑為1.由題意，內(nèi)側(cè)圓弧為的外接圓的一部分，且其對(duì)應(yīng)的圓心角為，則弓形的面積為，外側(cè)的圓弧以為直徑，所以半圓的面積為，則月牙形的面積為.故選：A．7、（2022·廣東廣東·一模）數(shù)學(xué)中處處存在著美，機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對(duì)稱的美感．萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形ABC，再分別以點(diǎn)A、B、C為圓心，線段AB長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角（如圖所示）．若萊洛三角形的周長為，則其面積是______．【答案】【解析】由條件可知，弧長，等邊三角形的邊長，則以點(diǎn)A、B、C為圓心，圓弧所對(duì)的扇形面積為，中間等邊的面積 所以萊洛三角形的面積是.故答案為：
 

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