第18講 章末檢測三一、單選題1、（2022·山東煙臺·高三期末）函數(shù)的定義域為（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知可得，即，因此，函數(shù)的定義域為.故選：C.2、(2022·江蘇淮安市六校第一次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝，則f(－2022)＝（   ）．A．－2   B．2 C．5 D．3【答案】A【解析】由題意可知，f(－2022)＝f(－2019)＝…＝f(－2022)＝f(0)＝log3(0＋1)－2＝－2．3、（2022·江蘇如皋·高三期末）“函數(shù)f(x)＝sinx＋(a－1)cosx為奇函數(shù)”是“a＝1”的（       ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】函數(shù)f(x)＝sinx＋(a－1)cosx為奇函數(shù),則 ，化簡得： ，故，當時，f(x)＝sinx是奇函數(shù)，因此“函數(shù)f(x)＝sinx＋(a－1)cosx為奇函數(shù)”是“a＝1”充要條件，故選:C.4、（2022·江蘇無錫·高三期末）已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象可能是（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】函數(shù)的定義域為：，，為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，排除D.時，，，，時，，，，時，.故選：A.5、（2022·山東棗莊·高三期末）良渚遺址位于浙江省杭州市余杭區(qū)瓶窯鎮(zhèn)、良渚街道境內(nèi).1936年浙江省立西湖博物館的施昕更先生首先在浙江省杭州市良渚鎮(zhèn)一帶發(fā)現(xiàn)．這里的巨型城址，面積近630萬平方米，包括古城、水壩和多處高等級建筑．國際學術界曾長期認為中華文明只始于距今3500年前后的殷商時期，2019年7月6日，中國良渚古城遺址被列入世界遺產(chǎn)名錄，這意味著中國文明起源形成于距今五千年前，終于得到了國際承認！2010年，考古學家對良渚古城水利系統(tǒng)中一條水壩的建筑材料（草裏泥）上提取的草莖遺存進行碳14年代學檢測，檢測出碳14的殘留量約為初始量的．已知經(jīng)過x年后，碳14的殘余量，碳14的半衰期為5730年，則以此推斷此水壩大概的建成年代是（       ）．（參考數(shù)據(jù)：）A．公元前2893年 B．公元前2903年C．公元前2913年 D．公元前2923年【答案】B【解析】碳14的半衰期為5730年，，當時，，， 2010年之前的4912年是公元前2902年，以此推斷此水壩大概的建成年代是公元前2903年.故選：B.6、（2022·江蘇通州·高三期末）函數(shù)y＝[x]廣泛應用于數(shù)論、函數(shù)繪圖和計算機領域，其中[x]為不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函數(shù)f(x)＝[log2x]，則f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝（       ）A．4097 B．4107 C．5119 D．5129【答案】B【解析】由題意時，，，在上奇數(shù)共有個，，，，設，則，相減得：，所以，所以．故選：B．7、（2022·山東煙臺·高三期末）若定義在R上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則滿足的x的取值范圍是（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意，定義在R上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則在上單調(diào)遞減，且，，因為，當時，即，此時滿足不等式；當時，即，可得，且滿足，則，解得；當時，即，可得，且滿足，則，解得，綜上可得，不等式的解集為.故選：C.8、(2022·江蘇南京市二十九中學高三10月月考)設，，，則的大小關系為（    ）A.     B.      C.      D. 【答案】B【解析】，，，，，，即，；，即，；，即，；，即.設，則，當時，，又，，，在上單調(diào)遞減，，即當時，，，，即.綜上所述：.故選：B.二、多選題9、（2022·江蘇海安·高三期末）下列函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（       ）A． B．C． D．【答案】BC【解析】對于A：為開口向上的拋物線，對稱軸為，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故選項A不正確；對于B：的定義域為，將的圖象向右平移一個單位可得，因為在上單調(diào)遞增，向右平移一個單位可得在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故選項B正確；對于C：，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故選項C正確；對于D：是由和復合而成，因為單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故選項D不正確；故選：BC.10、（2022·山東青島·高三期末）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則（       ）A．B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．的最大值為0D．的解集為【答案】ACD【解析】函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即，解得，所以，，經(jīng)檢驗時為偶函數(shù)，故A正確；設，，因為，所以，，所以，即，所以，所以在上是單調(diào)遞減函數(shù)，故B錯誤；因為函數(shù)為偶函數(shù)，在上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以在單調(diào)遞增函數(shù)，所以，故C正確；因為，由得，因為在上是單調(diào)遞減函數(shù)，在單調(diào)遞增函數(shù)，，可得，故D正確. 故選：ACD.11、（2022·湖北·黃石市有色第一中學高三期末）若兩函數(shù)的定義域、單調(diào)區(qū)間、奇偶性、值域都相同，則稱這兩函數(shù)為“伙伴函數(shù)”.下列函數(shù)中與函數(shù)不是“伙伴函數(shù)”是（       ）A． B． C． D．【答案】BD【解析】函數(shù)的定義域為，單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，該函數(shù)為偶函數(shù)，值域為.對于A選項，令，該函數(shù)的定義域為，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，因為，即函數(shù)的值域為.，即函數(shù)為偶函數(shù)，A滿足條件；對于B選項，由可得，即，解得，故函數(shù)的值域為，B不滿足條件；對于C選項，令，該函數(shù)的定義域為，，令，則且不恒為零，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，，故函數(shù)的值域為，因為，即函數(shù)為偶函數(shù)，C滿足條件；對于D選項，函數(shù)的定義域為，D不滿足條件.故選：BD.12、（2022·江蘇無錫·高三期末）高斯被人認為是歷史上最重要的數(shù)學家之一，并享有“數(shù)學王子”之稱.有這樣一個函數(shù)就是以他名字命名的：設，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，又稱為取整函數(shù).如：，.則下列結(jié)論正確的是（       ）A．函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)B．函數(shù)有個零點C．是上的奇函數(shù)D．對于任意實數(shù)，都有【答案】BD【解析】對于A，，，，在上不是單調(diào)增函數(shù)，所以A錯.對于B，由，可得，所以，若函數(shù)要有零點，則，得，因為要想為，必須也為整數(shù)，在這個范圍內(nèi)，只有兩個點，所以B正確，對于C，，，不是奇函數(shù)，所以C錯，對于D，如果我們定義這樣一個函數(shù)，就會有，同時有，當時，會有，當時，，所以D正確，故選：BD.三、填空題13、（2022·江蘇海門·高三期末）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)__________．①為偶函數(shù)；②；③當時，.【答案】（答案不唯一）【解析】由題意可知函數(shù)為偶函數(shù)且在上為減函數(shù)，可取，對于①，函數(shù)的定義域為，，故函數(shù)為偶函數(shù)；對于②，對任意的非零實數(shù)、，；對于③，當時，，則函數(shù)在上為減函數(shù).綜上所述，函數(shù)滿足條件.故答案為：（答案不唯一）.14、（2022·江蘇宿遷·高三期末）設函數(shù)的定義域為，滿足，且當時，，則的值為__________.【答案】【解析】因為函數(shù)的定義域為，滿足，且當時，，所以，故答案為：15、（2022·山東青島·高三期末）已知是定義在R上的偶函數(shù)，當x≥0時，，則不等式的解集是_______；【答案】【解析】∵當x≥0時，，∴偶函數(shù)在[0,＋∞)上單調(diào)遞增，且，所以，即，∴，解得.故答案為：.16、（2022·廣東茂名·一模）已知函數(shù)，若均不相等，且，則的取值范圍是___________【答案】【解析】不妨設，由圖可得，，所以即，由得，，所以的取值范圍是故答案為： 四、解答題17、已知二次函數(shù)滿足．（1）求的解析式；（2）若在上有最小值，最大值，求a的取值范圍．【解析】（1）設，則         ……………………………………………………解之得：……………………………………………………………………………………………………………………………………（2）根據(jù)題意：            解之得：      ………………………………………………………18、（2022·湖南省岳陽縣第一中學高三月考）已知．（1）求的值域．（2）若對任意和都成立，求的取值范圍．【解析】（1）令      原函數(shù)變?yōu)椋?/span>      的值域為.（2）即恒成立令, 圖象為線段，則 解得.19、（2021·江蘇徐州高三開學初）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．（1）確定的解析式；（2）判斷在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（3）解關于t的不等式．【解析】（1）根據(jù)題意，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，解可得；又由（1），則有（1），解可得；則；（2）由（1）的結(jié)論，，在區(qū)間上為增函數(shù)；證明：設，則，又由，則，，，，則，則函數(shù)在上為增函數(shù)；（3）根據(jù)題意，，解可得：，即不等式的解集為． 20、(2022·沭陽如東中學期初考試)(10分)某自來水廠的蓄水池存有400噸水，水廠每小時可向蓄水池中注水60噸，同時蓄水池又向居民小區(qū)不間斷供水，1小時內(nèi)供水總量為噸(0≤t≤24)．(1)從供水開始到第幾小時時，蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少噸?(2)若蓄水池中水量少于80噸時，就會出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象，請問：在一天的24小時內(nèi)，有幾小時出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象?【解析】(1)設t小時后蓄水池中的存水量為y噸，則y＝400＋60t－120，令＝x，則x2＝6t，即t＝，所以，所以當x＝6，即t＝6時，ymin＝40，即從供水開始到第6小時時，蓄水池中的存水量最少，最少存水量是40噸．……6分(2)由(1)及題意得400＋10x2－120x＜80，即x2－12x＋32＜0，解得4＜x＜8，即4＜＜8，＜t＜．因為，所以每天約有8小時出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象．                ……12分21、(2022·沭陽如東中學期初考試)(12分)已知函數(shù))為奇函數(shù)．(1)求實數(shù)a的值并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)解關于m不等式：．【解析】(1)根據(jù)題意，因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以f(x)＋f(－x)＝0，即，即＝0，即化簡得，所以a＝2，所以，                                           ………6分證明：任取x1＜x2∈R，則f(x1)－f(x2)＝(－)－(－)＝－＝，因為x1＜x2，所以＜，－＜0，＋1＞0，＋1＞0，所以f(x1)－f(x2)＜0，所以f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在R上單調(diào)遞增；(2)可化為≤f(2－m)＋2－m，設函數(shù)g(x)＝f(x)＋x，由(1)知，g(x)＝f(x)＋x在R上也是單調(diào)遞增，所以m2≤2－m，解得－2≤m≤1．所以原不等式的解集為[－2，1]．               ……………12分22、（2021·浙江高三期末）設函數(shù)．（1）若，求的值；（2）若，設，求在上的最小值．【解析】:因為，所以，則，即，即，因為 ，因為，所以，即.(2)因為，整理得，解得或(舍去)，所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，當時，，當時，，令，則，對稱軸為，拋物線開口向上，當時，在上單調(diào)遞增，此時當時，；當時，在上單調(diào)遞減，此時當時，；當時，在先減后增，此時當時，；綜上所述，在上的最小值
 

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