【A級(jí)——夯實(shí)基礎(chǔ)】1．牛頓在思考萬(wàn)有引力定律時(shí)就曾想，把物體從高山上水平拋出，速度一次比一次大，落點(diǎn)一次比一次遠(yuǎn)。如果速度足夠大，物體就不再落回地面，它將繞地球運(yùn)動(dòng)，成為人造地球衛(wèi)星。如圖所示是牛頓設(shè)想的一顆衛(wèi)星，它沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)。下列說(shuō)法正確的是(　　)A．地球的球心與橢圓的中心重合B．衛(wèi)星在近地點(diǎn)的速率小于在遠(yuǎn)地點(diǎn)的速率C．衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)的加速度小于在近地點(diǎn)的加速度D．衛(wèi)星與橢圓中心的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積解析：地球的球心與橢圓的焦點(diǎn)重合，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒(動(dòng)能和引力勢(shì)能之和保持不變)可知，衛(wèi)星在近地點(diǎn)的動(dòng)能大于在遠(yuǎn)地點(diǎn)的動(dòng)能，根據(jù)動(dòng)能公式可知，衛(wèi)星在近地點(diǎn)的速率大于在遠(yuǎn)地點(diǎn)的速率，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓運(yùn)動(dòng)定律可知，衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)的加速度小于在近地點(diǎn)的加速度，選項(xiàng)C正確；根據(jù)開普勒定律可知，衛(wèi)星與地球中心的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。R671.TIF答案：C2．2020年6月15日，中國(guó)科學(xué)院宣布，中國(guó)首顆量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星“墨子號(hào)”在國(guó)際上首次實(shí)現(xiàn)千公里級(jí)基于糾纏的量子密鑰分發(fā)。“墨子號(hào)”運(yùn)行軌道為如圖所示的橢圓軌道，地球E位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，軌道上標(biāo)記了“墨子號(hào)”衛(wèi)星經(jīng)過(guò)相等時(shí)間間隔(Δt＝，T為軌道周期)的位置。如果作用在衛(wèi)星上的力只有地球E對(duì)衛(wèi)星的萬(wàn)有引力，則下列說(shuō)法正確的是(　　)A．面積S1>S2B．衛(wèi)星在軌道A點(diǎn)的速度小于在B點(diǎn)的速度C．T2＝Ca3，其中C為常數(shù)，a為橢圓半長(zhǎng)軸D．T2＝C′b3，其中C′為常數(shù)，b為橢圓半短軸解析：根據(jù)開普勒第二定律可知，衛(wèi)星與地球的連線在相同時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等，故面積S1＝S2，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)開普勒第二定律可知，衛(wèi)星在軌道A點(diǎn)的速度大于在B點(diǎn)的速度，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)開普勒第三定律可知＝k，C＝其中C為常數(shù)，a為橢圓半長(zhǎng)軸，選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤。答案：C3．深空是在地球大氣極限以外很遠(yuǎn)的空間。若深空中有一行星X，其自轉(zhuǎn)周期為3 h，同步衛(wèi)星的軌道半徑是其半徑的3.5倍。已知地球同步衛(wèi)星的軌道半徑約為地球半徑的7倍，則行星X與地球的平均密度之比約為(行星X與地球均視為球體)(　　)A．2　　　　　　　　　 B．4C．8    D．16解析：設(shè)中心天體的平均密度為ρ，半徑為R，則中心天體的質(zhì)量M＝πρR3，設(shè)同步衛(wèi)星的軌道半徑為r、周期為T，由萬(wàn)有引力提供向心力有G＝m()2r，解得ρ＝，可得行星X與地球的平均密度之比＝×＝8，故C符合題意。答案：C4．(2022·江蘇揚(yáng)州模擬)2021年2月24日6時(shí)29分，我國(guó)首次火星探測(cè)任務(wù)“天問(wèn)一號(hào)”探測(cè)器在成功實(shí)施第三次近火制動(dòng)后，進(jìn)入火星停泊軌道，在這條軌道穩(wěn)定運(yùn)行3個(gè)月左右，“天問(wèn)一號(hào)”的停泊軌道是典型的橢圓極地軌道，可以利用火星的自轉(zhuǎn)完成沿經(jīng)度方向?qū)鹦沁M(jìn)行全面掃描。已知火星停泊軌道的近火點(diǎn)a＝280 km，遠(yuǎn)火點(diǎn)b＝5.9×104 km，周期T為2個(gè)火星日，萬(wàn)有引力常量G。則(　　)A．可以求出火星的質(zhì)量B．可以求出探測(cè)器的質(zhì)量C．探測(cè)器在近火點(diǎn)時(shí)的加速度為aD．火星的第一宇宙速度為解析：由萬(wàn)有引力提供向心力，則有G＝m·得 M＝，A正確；由以上計(jì)算和題給信息不能測(cè)出探測(cè)器質(zhì)量，B錯(cuò)誤；由探測(cè)器受力情況來(lái)確定在近火點(diǎn)時(shí)的加速度，因火星的半徑和探測(cè)器的質(zhì)量題中沒(méi)有給出，求不出探測(cè)器受火星的引力，求不出探測(cè)器在近火點(diǎn)時(shí)的加速度，C錯(cuò)誤；火星半徑未知，不能確定第一宇宙速度，D錯(cuò)誤。答案：A5．假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體。已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，距離地球球心為r處的重力加速度大小可能為如下圖像中的(　　)解析：設(shè)地球的密度為ρ。當(dāng)物體處于地心時(shí)，所受萬(wàn)有引力為零，重力加速度為零；當(dāng)距地心距離為r＜R時(shí)，只有半徑為r的球體對(duì)其產(chǎn)生萬(wàn)有引力，根據(jù)G＝mg得G＝mg，解得g＝，即重力加速度g與r成正比，由此可判斷B、D錯(cuò)誤；當(dāng)r＞R時(shí)，由G＝mg得g＝，重力加速度g與r的平方成反比，故A正確，C錯(cuò)誤。答案：AR673.TIF6．(2021·全國(guó)乙卷)科學(xué)家對(duì)銀河系中心附近的恒星S2進(jìn)行了多年的持續(xù)觀測(cè)，給出1994年到2002年間S2的位置如圖所示?？茖W(xué)家認(rèn)為S2的運(yùn)動(dòng)軌跡是半長(zhǎng)軸約為1 000 AU(太陽(yáng)到地球的距離為1 AU)的橢圓，銀河系中心可能存在超大質(zhì)量黑洞。這項(xiàng)研究工作獲得了2020年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。若認(rèn)為S2所受的作用力主要為該大質(zhì)量黑洞的引力，設(shè)太陽(yáng)的質(zhì)量為M，可以推測(cè)出該黑洞質(zhì)量約為(　　)A．4×104M    B．4×106MC．4×108M    D．4×1010M解析：地球繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，太陽(yáng)對(duì)地球的萬(wàn)有引力提供地球做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，有＝mr()2，化簡(jiǎn)得＝M，由此推斷S2繞黑洞做橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，半長(zhǎng)軸的三次方與周期二次方的比值與黑洞質(zhì)量成正比，有＝，由觀測(cè)推算S2的周期約為16年，代入數(shù)據(jù)解得M黑≈4×106M，故選B。答案：B7．(2022·江蘇海安模擬)我國(guó)預(yù)計(jì)2022年發(fā)射首顆北極航道監(jiān)測(cè)SAR衛(wèi)星，該衛(wèi)星將運(yùn)行在經(jīng)過(guò)地球兩極的圓軌道上，已知衛(wèi)星的環(huán)繞速度為v，繞行周期是T，引力常量為G，下列說(shuō)法正確的是(　　)A．該衛(wèi)星可能是地球同步靜止衛(wèi)星B．該衛(wèi)星繞行速度可以大于第一宇宙速度C．由該衛(wèi)星運(yùn)行數(shù)據(jù)v、T可求出地球的質(zhì)量D．由于稀薄空氣影響，運(yùn)行一段時(shí)間后，衛(wèi)星會(huì)遠(yuǎn)離地球解析：同步衛(wèi)星的軌道所在平面一定為赤道平面，所以不會(huì)經(jīng)過(guò)地球兩極，故A錯(cuò)誤；第一宇宙速度為環(huán)繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的最大速度，所以衛(wèi)星繞行速度不可能大于第一宇宙速度，故B錯(cuò)誤；衛(wèi)星的軌道半徑r＝根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力G＝m聯(lián)立可得地球的質(zhì)量M＝，故C正確；由于稀薄空氣影響，運(yùn)行一段時(shí)間后，衛(wèi)星速度減小，則萬(wàn)有引力大于所需向心力，衛(wèi)星做近心運(yùn)動(dòng)，會(huì)靠近地球，故D錯(cuò)誤。答案：C8．(2021·全國(guó)甲卷)2021年2月，執(zhí)行我國(guó)火星探測(cè)任務(wù)的天問(wèn)一號(hào)探測(cè)器在成功實(shí)施三次近火制動(dòng)后，進(jìn)入運(yùn)行周期約為1.8×105 s的橢圓形停泊軌道，軌道與火星表面的最近距離約為2.8×105 m。已知火星半徑約為3.4×106 m，火星表面處自由落體的加速度大小約為3.7 m/s2，則天問(wèn)一號(hào)的停泊軌道與火星表面的最遠(yuǎn)距離約為(　　)A．6×105 m    B．6×106 mC．6×107 m    D．6×108 m解析：設(shè)火星的質(zhì)量為M，半徑為R，自由落體的加速度為g火，則有＝mg火，設(shè)其近地衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，則有＝mR，設(shè)探測(cè)器所在橢圓形停泊軌道的半長(zhǎng)軸為a，根據(jù)開普勒第三定律得＝，聯(lián)立上述方程并代入數(shù)據(jù)解得a≈×107 m，可得停泊軌道與火星表面的最遠(yuǎn)距離約為2a－2.8×105 m－2×3.4×106 m≈6×107 m，故選項(xiàng)C正確，A、B、D錯(cuò)誤。答案：C【B級(jí)——能力提升】R674.TIF9．(2022·湖南懷化高三檢測(cè))衛(wèi)星繞某行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速率的平方(v2)與衛(wèi)星的軌道半徑的倒數(shù)()的關(guān)系圖像如圖所示，圖中b為圖線縱坐標(biāo)的最大值，圖線的斜率為k，引力常量為G，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(　　)A．行星的半徑為kbB．行星的質(zhì)量為C．行星的密度為D．行星的第一宇宙速度為 解析：衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬(wàn)有引力提供向心力，則有G＝m，得v2＝GM·，設(shè)行星的半徑為R，由題圖知，當(dāng)r＝R時(shí)，v2＝b，GM＝k，解得R＝，故A錯(cuò)誤；由上知，GM＝k，得行星的質(zhì)量為M＝，故B正確；行星的體積V＝πR3，密度ρ＝＝，故C正確；衛(wèi)星在行星表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)行速度為第一宇宙速度，G＝m，解得第一宇宙速度v＝＝，故D正確。答案：A10．2020年11月24日，長(zhǎng)征五號(hào)運(yùn)載火箭搭載嫦娥五號(hào)探測(cè)器成功發(fā)射升空并將其送入預(yù)定軌道，11月28日，嫦娥五號(hào)進(jìn)入環(huán)月軌道飛行，12月17日凌晨，嫦娥五號(hào)返回器攜帶月壤著陸地球。假設(shè)嫦娥五號(hào)環(huán)繞月球飛行時(shí)，在距月球表面高度為h處繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(不計(jì)周圍其他天體的影響)，測(cè)出飛行周期為T，已知引力常量G和月球半徑R，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(　　)A．嫦娥五號(hào)繞月球飛行的線速度為B．月球的質(zhì)量為C．月球的第一宇宙速為D．月球表面的重力加速度為解析：嫦娥五號(hào)繞月球飛行的軌道半徑為R＋h，所以飛行的線速度為v＝，故A正確；嫦娥五號(hào)繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得G＝m()2(R＋h)，解得月球的質(zhì)量為M＝，故B錯(cuò)誤；月球第一宇宙速度為繞月球表面運(yùn)行的衛(wèi)星的速度，由牛頓第二定律得G＝m，解得月球的第一宇宙速度為v＝＝，故C正確；在月球表面，重力等于萬(wàn)有引力，mg月＝G，月球表面的重力加速度為g月＝，故D正確。答案：B11．(2022·湖南長(zhǎng)沙十五校聯(lián)考)2021年2月5日，我國(guó)首個(gè)火星探測(cè)器天問(wèn)一號(hào)傳回了火星的照片，如圖所示。多年以后，小明作為一位火星移民，于太陽(yáng)光直射火星赤道的某天晚上，在火星赤道上某處仰望天空。某時(shí)，他在西邊的地平線附近恰能看到一顆人造火星衛(wèi)星出現(xiàn)，之后極快地變暗而看不到了，他記下此時(shí)正是火星上日落后約4小時(shí)5分。后來(lái)小明得知這是我國(guó)火星基地發(fā)射的一顆繞火星自西向東運(yùn)動(dòng)的周期為T的探測(cè)衛(wèi)星，查閱資料得知火星自西向東自轉(zhuǎn)且周期約為24小時(shí)30分，已知引力常量為G。根據(jù)以上信息，分析可得火星密度的表達(dá)式為(　　)A．    B．C．    D．解析：火星自轉(zhuǎn)周期為24小時(shí)30分，日落后4小時(shí)5分小明恰好看到衛(wèi)星的反射光，則此時(shí)火星相對(duì)日落時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)60°角，如圖所示，由圖知＝cos 30°，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力G＝m()2r，火星的密度為ρ＝，解得ρ＝，故選C。答案：C12．北京時(shí)間2020年12月2日4時(shí)53分，探月工程嫦娥五號(hào)的著陸器和上升器組合體完成了月壤采樣及封裝。封裝結(jié)束后上升器的總質(zhì)量為m，它將從著陸器上發(fā)射，離開月面。已知月球質(zhì)量為M，表面重力加速度為g，引力常量為G，忽略月球的自轉(zhuǎn)。(1)求月球的半徑R；(2)月球表面沒(méi)有大氣層，上升器從著陸器上發(fā)射時(shí)，通過(guò)推進(jìn)劑燃燒產(chǎn)生高溫高壓氣體，從尾部向下噴出而獲得動(dòng)力，如圖所示，已知噴口橫截面積為S，噴出氣體的密度為ρ，若發(fā)射之初上升器加速度大小為a，方向豎直向上，不考慮上升器由于噴氣帶來(lái)的質(zhì)量變化，求噴出氣體的速度大小v；(3)不計(jì)其他作用力時(shí)，上升器繞月飛行可認(rèn)為是上升器與月球在彼此的萬(wàn)有引力作用下繞二者連線上的某一點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若認(rèn)為在O點(diǎn)有一靜止的“等效月球”替代月球?qū)ι仙鞯淖饔?/span>，上升器繞“等效月球”做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期不變，求“等效月球”的質(zhì)量M′。解析：(1)質(zhì)量為m′的物體放在月球表面，由牛頓第二定律得G＝m′g得R＝。(2)設(shè)噴出氣體對(duì)上升器的力為F，上升器對(duì)噴出氣體的力為F′，取向上為正，對(duì)上升器，有F－mg＝ma設(shè)在Δt時(shí)間內(nèi)噴射出氣體的質(zhì)量為Δm，由動(dòng)量定理得－F′Δt＝－ΔmvΔm＝ρSvΔt由牛頓第三定律有 F＝F′綜上得v＝。(3)設(shè)上升器的角速度為ω，上升器與O點(diǎn)距離為r1，月球與O點(diǎn)距離為r2，上升器與月球間距離為r。由牛頓第二定律得G＝mω2r1 G＝Mω2r2又r1＋r2＝r，G＝mω2r1解得M′＝。答案：(1) 　(2) 　(3)

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