【同步練習(xí)】高中數(shù)學(xué)人教A版(2019)必修第二冊--6.4.3余弦定理正弦定理第4課時余弦定理正弦定理應(yīng)用舉例課時作業(yè)（含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第4課時　余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例必備知識基礎(chǔ)練　1．兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站北偏東40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的(　　)A．北偏東10° B．北偏西10°C．南偏東10° D．南偏西10° 23試吧人A數(shù)必二X86.TIF

2.如圖，A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，在B同側(cè)的河岸邊選取點(diǎn)C，測得BC的距離為10 m，∠ABC＝75°，∠ACB＝60°，則A，B兩點(diǎn)間的距離為(　　)A．5 m B．5 mC．5 m D．5 m 23試吧人A數(shù)必二X87.TIF

3.如圖，在救災(zāi)現(xiàn)場，搜救人員從A處出發(fā)沿正北方向行進(jìn)x米達(dá)到B處，探測到一個生命跡象，然后從B處沿南偏東75°行進(jìn)30米到達(dá)C處，探測到另一個生命跡象，如果C處恰好在A處的北偏東60°方向上，那么x＝(　　)A．10米 B．10米C．10米 D．10米 23試吧人A數(shù)必二X88.TIF

4.小明同學(xué)學(xué)以致用，欲測量學(xué)校教學(xué)樓的高度，他采用了如圖所示的方式來進(jìn)行測量，小明同學(xué)在運(yùn)動場上選取相距25米的C，D兩觀測點(diǎn)，且C，D與教學(xué)樓底部B在同一水平面上，在C，D兩觀測點(diǎn)處測得教學(xué)樓頂部A的仰角分別為45°，30°，并測得∠BCD＝120°，則教學(xué)樓AB的高度是(　　)A．20米 B．25米C．15米 D．20米5．江岸邊有一炮臺高30 m，江中有兩條船，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和30°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距(　　)A．20 m B． mC．30 m D．30 m6．甲船在A處，乙船在甲船北偏東60°方向的B處，甲船沿北偏東θ方向勻速行駛，乙船沿正北方向勻速行駛，且甲船的航速是乙船航速的倍，為使甲船與乙船能在某時刻相遇，則(　　)A．15°<θ<30° B．θ＝30°C．30°<θ<45° D．θ＝45°7．某同學(xué)從A點(diǎn)向正前方走了10米到B點(diǎn)，然后左轉(zhuǎn)60°再向前走了x米到C點(diǎn)，此時距離A點(diǎn)10米，則x的值為________. 23試吧人A數(shù)必二X91.TIF

8.如圖所示，為了測量河對岸A，B兩點(diǎn)間的距離，在這一岸定一基線CD，現(xiàn)已測出CD＝100米，∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，則AB的長為________米．關(guān)鍵能力綜合練　 1．某指揮中心A接到在其北偏東60°相距5海里的甲船拋錨等待救援信號，指揮中心迅速通知在A西偏北30°相距3海里的乙船前去救援，若乙船的速度是20海里/小時，則乙船需要航行(　　)小時．A． B．C． D． 23試吧人A數(shù)必二X93.TIF

2.如圖，某登山隊(duì)在山腳A處測得山頂B的仰角為60°，沿傾斜角為45°的斜坡前進(jìn)若干米后到達(dá)D處，又測得山頂?shù)难鼋菫?5°，已知山的高度BC為千米，則斜坡AD＝(　　)A．千米 B．－千米C．1千米 D．1.5千米3．國慶期間我校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)開展了測量校園旗桿高度的活動，如圖所示，在操場上選擇了C，D兩點(diǎn)，在C，D處測得旗桿的仰角分別為45°、30°.在水平面上測得∠BCD＝120°，且C、D的距離為15米，則旗桿的高度為多少米？(　　) 23試吧人A數(shù)必二X94.TIF

　A．13 B．13C．15 D．154．如圖，為了測量山頂M，N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測量，A，B，M，N在同一個鉛垂平面內(nèi)．若已測得AB之間的距離為a，∠BAM＝α，∠ABM＝β，由于條件不足，需要再觀測新的角，則利用已知觀測數(shù)據(jù)和下面三組新觀測的角的其中一組，可以求出M，N間距離的組數(shù)為(　　)①∠BNM和∠MBN；②∠AMN和∠BNM；③∠NAB和∠BNA 23試吧人A數(shù)必二X96.TIF

A.0 B．1C．2 D．3 23試吧人A數(shù)必二X97.TIF

5．一架高空偵察飛機(jī)以800 m/s的速度在海拔20 000 m的高空直線飛行，飛機(jī)的航線和某個山頂在同一鉛垂平面內(nèi)，飛機(jī)第一次探測該山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過10 s后飛機(jī)第二次探測該山頂?shù)母┙菫?0°，則該山頂?shù)暮０胃叨燃s為(≈1.414, ≈1.732)(　　)A．1 072 m B．1 573 mC．2 436 m D．3 200 m6．(多選)某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75°，距離為12 n mile；在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°，距離為8 n mile.貨輪由A處向正北航行到D處時，再看燈塔B在南偏東60°，則下列說法正確的是(　　)A．A處與D處之間的距離是24 n mileB．燈塔C與D處之間的距離是8 n mileC．燈塔C在D處的西偏南60°D．D在燈塔B的北偏西30°7．一船向正北方向航行，看見正西方向有相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，船繼續(xù)航行半小時后，看見燈塔在船的南偏西60°方向，另一燈塔在船的南偏西75°方向，則這艘船的速度是________．8. 23試吧人A數(shù)必二X100.TIF

如圖，為了測量河對岸的塔高AB，選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個觀測點(diǎn)C和D，測得∠BCD＝75°，∠BDC＝60°，CD＝20 m，并在C處測得塔頂A的仰角為30°，則塔高AB＝________ m．9. 23試吧人A數(shù)必二X101.TIF

某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型”氣象觀測儀器的垂直彈射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C處進(jìn)行該儀器的垂直彈射，觀測點(diǎn)A、B兩地相距100米，∠BAC＝60°，在A地聽到彈射聲音的時間比在B地晚秒．A地測得該儀器彈至最高點(diǎn)H時的仰角為30°.(1)求A、C兩地的距離；(2)求該儀器的垂直彈射高度CH.(聲音的傳播速度為340米/秒) 10．某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東75°的方向上，距離為12海里，在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°的方向上，距離為8海里，貨輪由A處向正北方向航行到D處時，再看燈塔B在南偏東45°的方向上，求(1)A、D間的距離；(2)C、D間的距離．核心素養(yǎng)升級練　 1．《墨經(jīng)·經(jīng)說下》中有這樣一段記載：“光之人，煦若射，下者之人也高；高者之人也下，足蔽下光，故成景于上；首蔽上光，故成影于下．在遠(yuǎn)近有端，與于光，故景庫內(nèi)也．”這對小孔成像有了第一次的描述．如圖為一次小孔成像實(shí)驗(yàn)，已知物距∶像距＝6∶1，OA＝OB＝12，cos ∠A′OB′＝，則像高為(　　) 23試吧人A數(shù)必二X103.TIF

A．1 B．C． D． 23試吧人A數(shù)必二X104.TIF

2.如圖，某大型廠區(qū)有三個值班室A，B，C，值班室A在值班室B的正北方向2千米處，值班室C在值班室B的正東方向2千米處．(1)保安甲沿CA從值班室C出發(fā)行至點(diǎn)P處，此時PC＝3千米，求PB的距離，并說明點(diǎn)P在點(diǎn)B方向角哪個方向上； (2)保安甲沿CA從值班室C出發(fā)前往值班室A，保安乙沿AB從值班室A出發(fā)前往值班室B，甲乙同時出發(fā)，甲的速度為2千米/小時，乙的速度為1千米/小時．若甲乙兩人通過對講機(jī)聯(lián)系，對講機(jī)在廠區(qū)內(nèi)的最大通話距離為3千米(含3千米)，試問有多長時間兩人不能通話？第4課時　余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例必備知識基礎(chǔ)練1．答案：B解析：燈塔A，B的相對位置如圖所示，由已知得∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，則α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°.故選B. 23試吧人A數(shù)必二X85.TIF

2．答案：D解析：因?yàn)椤?/span>ABC＝75°，∠ACB＝60°，故∠BAC＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理，＝，故AB＝＝5 m．故選D.3．答案：D解析：依題意得C＝180°－A－B＝45°，由正弦定理得＝，所以＝，x＝10.故選D.4．答案：B解析：設(shè)AB＝x，在直角三角形ABC、ABD中，BC＝AB＝x，BD＝＝x，在三角形BCD中，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos 120°，即3x2＝x2＋252－2×25·x，解得x1＝25，x2＝－(舍).故選B.5．答案：C解析： 23試吧人A數(shù)必二X89.TIF

如圖，過炮臺頂部A作水平面的垂線，垂足為B，設(shè)A處觀測小船C的俯角為45°，設(shè)A處觀測小船D的俯角為30°，連接BC、BD，Rt△ABC中，∠ACB＝45°，可得BC＝AB＝30米，Rt△ABD中，∠ADB＝30°，可得BD＝AB＝30米，在△BCD中，BC＝30米，BD＝30米，∠CBD＝30°，由余弦定理可得：CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD cos 30°＝900，∴CD＝30米(負(fù)值舍去).故選C.6．答案：B解析： 23試吧人A數(shù)必二X90.TIF

如圖所示：設(shè)在點(diǎn)C處相遇，BC＝x，則AC＝x，由題知：∠ABC＝120°，由正弦定理得：＝，解得sin (60°－θ)＝.因?yàn)?°<60°－θ<60°，所以60°－θ＝30°，即θ＝30°.故選B.7．答案：20解析：依題意AB＝10，AC＝10，∠ABC＝120°，由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos ∠ABC，即700＝100＋BC2－2×10×BC×(－)，解得BC＝20或BC＝－30(舍去).8．答案：50解析：在△ACD中，已知CD＝100，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，∴AC＝100，在△BCD中，∵∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∴∠CBD＝45°，由正弦定理，得BC＝＝×100，在△ABC中，∠ACB＝30°，利用余弦定理知AB＝＝50.關(guān)鍵能力綜合練1．答案：C解析： 23試吧人A數(shù)必二X92.TIF

如圖，設(shè)甲在B處，乙在C處，由題可得|AB|＝5，|AC|＝3，∠BAC＝120°，在△ABC中，由余弦定理得|BC|2＝52＋32－2×5×3×＝49，所以|BC|＝7，所以乙船需要航行小時．故選C.2．答案：B解析： 23試吧人A數(shù)必二X93A.TIF

如圖，延長AD交BC于E，則∠BDE＝30°，∠DEB＝135°，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，BC＝，AB＝2，所以AC＝1，因?yàn)椤?/span>EAC＝45°，所以EC＝1，所以BE＝－1，在△BED中，＝，所以BD＝－，在△ABD中，∠BAD＝15°，∠ABD＝15°，所以AD＝BD＝－，故選B.3．答案：C解析： 23試吧人A數(shù)必二X95A.TIF

如圖所示，設(shè)旗桿的高度為h，所以BC＝＝h，BD＝＝h，在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos 120°，即(h)2＝h2＋152－2×h×15×，即2h2－15h－225＝0，解得h＝15或h＝－(舍去)，故選C.4．答案：D解析：由AB＝a，∠BAM＝α，∠ABM＝β，在△ABM中，利用正弦定理可以求出AM，BM的長，對于①∠BNM和∠MBN，在△BMN中，利用正弦定理可得＝，得MN＝，從而可求出MN，對于②∠AMN和∠BNM，先求得∠AMB＝π－α－β，所以∠BMN＝∠AMN－∠AMB，在△AMB中，利用正弦定理＝，求出BM，然后在△BMN中，利用正弦定理可得＝，得MN＝，從而可求出MN，對于③∠NAB和∠BNA，在△ABN中，由正弦定理得＝，可求得BN＝，再在△ABN中利用三角形的內(nèi)角和定理可求出∠ABN，從而可求得∠MBN＝∠ABN－β，再在△BMN中，利用余弦定理得MN2＝BN2＋BM2－2BM·BN cos ∠MBN，從而可求出MN，所以三組數(shù)據(jù)均能求出MN，故選D.5．答案：A解析： 23試吧人A數(shù)必二X97A.TIF

設(shè)第一次探測點(diǎn)為A，第二次探測點(diǎn)為B，山頂為點(diǎn)C，山高為h，由題意可得，∠ACB＝15°.由正弦定理，得＝，又AB＝800×10＝8 000(m)，所以BC＝＝＝，又h＝20 000－＝20 000－＝20 000－4 000×(3＋)≈1 072(m)，故選A.6．答案：ABC解析： 23試吧人A數(shù)必二X98.TIF

在△ABD中，由已知得∠ADB＝60°，∠DAB＝75°，則∠B＝45°，AB＝12.由正弦定理得AD＝＝＝24，所以A處與D處之間的距離為24 n mile，故A正確；在△ADC中，由余弦定理得，CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC cos 30°，又AC＝8，解得CD＝8.所以燈塔C與D處之間的距離為8 n mile，故B正確，∵AC＝CD＝8，∴∠CDA＝∠CAD＝30°，∴燈塔C在D處的西偏南60°，故C正確；∵燈塔B在D的南偏東60°，∴D在燈塔B的北偏西60°，故D錯誤；故選ABC.7．答案：10海里/小時解析： 23試吧人A數(shù)必二X99.TIF

設(shè)船的初始位置為A，航行半小時后到達(dá)位置B，兩燈塔的位置為C，D，如圖所示，由題意知：CD＝10，∠ABC＝60°，∠ABD＝75°，∠BAD＝90°，∵∠BCA＝90°－60°＝30°，∠DBC＝75°－60°＝15°，∴∠BDC＝∠BCA－∠DBC＝30°－15°＝15°，∴BC＝CD＝10；在Rt△ABC中，AB＝BC sin ∠BCA＝10sin 30°＝5，∴船的速度為＝10(海里/小時).8．答案：20解析：在△BCD中，∠BCD＝75°，∠BDC＝60°，則∠DBC＝180°－∠BCD－∠BDC＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得＝，所以CD·sin ∠BDC＝BC·sin ∠DBC，所以20sin 60°＝BC·sin 45°，得BC＝20，在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，tan ∠ACB＝，所以AB＝BC tan ∠ACB＝20tan 30°＝20×＝20，所以塔高AB＝20 m．9．解析：(1)由題意，設(shè)AC＝x，則BC＝x－×340＝x－40.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝BA2＋AC2－2BA×AC cos ∠BAC，即(x－40)2＝10 000＋x2－100x，解得x＝420.∴A、C兩地間的距離為420 m.(2)在Rt△ACH中，AC＝420，∠CAH＝30°，所以CH＝AC tan ∠CAH＝140(m).10．解析： 23試吧人A數(shù)必二X102.TIF

如圖，∠DAB＝75°，∠ADB＝45°，∠DAC＝30°，AB＝12，AC＝8.(1)在△ABD中，∠ABD＝60°，由正弦定理得＝，∴AD＝＝＝36(海里).(2)在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC×AD cos ∠DAC＝(8)2＋362－2×8×36×＝16×39，∴CD＝4(海里).核心素養(yǎng)升級練1．答案：B解析：由題可知，∠AOB＝∠A′OB′，所以cos ∠AOB＝cos ∠A′OB′＝，又OA＝OB＝12，由余弦定理可得：AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos ∠AOB＝122＋122－2×12×12×＝81，所以AB＝9，則小孔成像的被成像物高為9，又物距∶像距＝6∶1，故原像高為.故選B.2．解析：(1)由題意可知，△ABC是直角三角形，因?yàn)?/span>AB＝2，BC＝2，由勾股定理得，AC2＝AB2＋BC2＝22＋(2)2＝16，解得AC＝4.在Rt△ABC中，AC＝2AB，可得A＝60°.當(dāng)PC＝3時，AP＝1，在△ABP中，由余弦定理得PB2＝AB2＋AP2－2AB·AP cos A＝3，解得PB＝.因?yàn)?/span>AB2＝AP2＋PB2，得到∠APB＝90°，∠ABP＝30°.所以PB＝千米，點(diǎn)P在點(diǎn)B北偏東30°方向上或東偏北60°方向上． 23試吧人A數(shù)必二X104A.TIF

(2)已知甲的速度為2千米/小時，乙的速度為1千米/小時，因?yàn)?/span>AB＝2，AC＝4，所以兩小時后保安甲到達(dá)值班室A的同時，保安乙到達(dá)值班室B.設(shè)甲乙同時出發(fā)t(0≤t≤2)小時后，甲到達(dá)M點(diǎn)處，乙到達(dá)Q點(diǎn)處，可得CM＝2t，AQ＝t，AM＝4－2t，當(dāng)0<t<2時，在△AMQ中，由余弦定理得QM2＝AM2＋AQ2－2AM·AQ cos A＝(4－2t)2＋t2－2t(4－2t)×，所以QM＝.由QM＝>3，整理得7t2－20t＋7>0，解得t<或t>.因?yàn)?<t<2，所以0<t<，又因t＝0時，QM＝4>3；t＝2時，QM＝2<3，所以0≤t<，兩人不能通話的時間為小時．

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