第8章第8節(jié)　第2課時　范圍、最值問題-2022屆高三數(shù)學一輪復習講義（新高考）-教案下載-教習網(wǎng)

?第2課時　范圍、最值問題

考點1　范圍問題——綜合性

(2020·蚌埠市高三第三次質(zhì)檢)如圖，設拋物線C1：x2＝4y與C2：y2＝2px(p>0)在第一象限的交點為M，點A，B分別在拋物線C2，C1上，AM，BM分別與C1，C2相切．

(1)當點M的縱坐標為4時，求拋物線C2的方程；
(2)若t∈[1,2]，求△MBA面積的取值范圍．
解：(1)由條件，＝4且t>0，解得t＝4，即點M(4，4)．
代入拋物線C2的方程，得8p＝16，所以p＝2，則拋物線C2的方程為y2＝4x.
(2)將點M的坐標代入拋物線C2的方程，得p＝.
設點A(x1，y1)，直線AM的方程為y＝k1(x－t)＋.
聯(lián)立方程消去y，化簡得x2－4k1x＋4k1t－t2＝0，
則Δ＝16k－4(4k1t－t2)＝0，
解得k1＝.
從而直線AM的斜率為＝＝＝＝，
解得y1＝－，即點A.
設點B(x2，y2)，直線BM的方程為y＝k2(x－t)＋，
聯(lián)立方程消去x，化簡得y2－y－2p＝0.
則Δ＝＋8p＝0，代入p＝，解得k2＝.
從而直線BM的斜率為＝＝＝，解得x2＝－，即點B.
|MB|＝＝，
點A到直線BM：y＝x＋，即tx－8y＋t2＝0的距離為
d＝＝，故△MBA的面積為S△MBA＝|MB|·d＝.而t∈[1,2]，
所以△MBA面積的取值范圍是.

圓錐曲線中的取值范圍問題的解題策略
(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或聯(lián)立方程后的判別式構造不等關系，從而確定參數(shù)的取值范圍；
(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關系；
(3)利用隱含的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
(4)利用已知的不等關系構造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍．

已知橢圓C：＋＝1(a>0，b>0)的離心率為，短軸長為2.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)設直線l：y＝kx＋m與橢圓C交于M，N兩點，O為坐標原點，若kOM·kON＝，求原點O到直線l的距離的取值范圍．
解：(1)由題意知e＝＝，2b＝2.
又a2＝b2＋c2，所以b＝1，a＝2.
所以橢圓C的標準方程為＋y2＝1.
(2)設M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立方程
得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
依題意，Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)>0，
化簡得m20)與線段F1F2和橢圓短軸分別交于兩個不同點M，N，所以m≠0.
又k>0，則k＝，
故x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－2.
因為直線y＝kx＋m(k>0)與線段F1F2及橢圓的短軸分別交于不同兩點，
所以－≤－2m≤，
即－≤m≤，且m≠0，
所以|CD|＝|x1－x2|
＝
＝
＝.
因為－≤m≤，且m≠0，
所以，當m＝或m＝－時，|CD|的最小值為.

在平面直角坐標系xOy中，已知圓O：x2＋y2＝4，橢圓C：＋y2＝1，A為橢圓C的右頂點，過原點且異于x軸的直線與橢圓C交于M，N兩點，M在x軸的上方，直線AM與圓O的另一交點為P，直線AN與圓O的另一交點為Q.
(1)若＝3，求直線AM的斜率；
(2)設△AMN與△APQ的面積分別為S1，S2，求的最大值．

[四字程序]
讀
想
算
思
已知圓的方程和橢圓的方程，直線與圓、橢圓都相交
1.向量＝3如何轉(zhuǎn)化？
2.如何表示三角形的面積？
把用直線AM的斜率k來表示
轉(zhuǎn)化與化歸
求直線AM的斜率，求△AMN與△APQ的面積之比
1.用A，P，M的坐標表示；
2.利用公式S＝absin C表示并轉(zhuǎn)化
＝進而用基本不等式求其最大值
把面積之比的最大值轉(zhuǎn)化為一個變量的不等式

思路參考：設直線AM的方程為y＝k(x－2)，k.
由弦長公式得|PQ|＝·.
由點到直線的距離公式得點O到直線l的距離d＝，
所以S△OPQ＝|PQ|×d＝××＝.
設＝t(t>0)，則4k2＝t2＋3，所以S△OPQ＝＝≤1，當且僅當t＝2，即k＝±時等號成立．
故所求直線l的方程為y＝x－2或y＝－x－2.

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