?第四節(jié)　直線、平面平行的判定及其性質(zhì)
[考綱傳真]　1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡(jiǎn)單命題．

1．線面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言
圖形語(yǔ)言
符號(hào)語(yǔ)言
判定定理
平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡(jiǎn)記為“線線平行?線面平行”)

∵l∥a，a?α，l?α，∴l(xiāng)∥α
性質(zhì)定理
一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?線線平行”)

∵l∥α，l?β，α∩β＝b，∴l(xiāng)∥b
2.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言
圖形語(yǔ)言
符號(hào)語(yǔ)言
判定定理
一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?面面平行”)

∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α，∴α∥β
性質(zhì)定理
如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行

∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b

線、面平行的性質(zhì)
(1)兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面．
(2)夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段長(zhǎng)度相等．
(3)經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．
(4)兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．
(5)如果兩個(gè)平面分別和第三個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面互相平行．
(6)如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個(gè)平面平行．
(7)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．
(8)垂直于同一平面的兩條直線平行．
[基礎(chǔ)自測(cè)]
1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)若一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行． (　　)
(2)若直線a∥平面α，P∈α，則過(guò)點(diǎn)P且平行于直線a的直線有無(wú)數(shù)條． (　　)
(3)若一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行． (　　)
(4)若兩個(gè)平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．(教材改編)下列命題中，正確的是(　　)
A．若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過(guò)b的任何平面
B．若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行
C．若直線a，b和平面α滿足a∥α，b∥α，那么a∥b
D．若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，則b∥α
D　[根據(jù)線面平行的判定與性質(zhì)定理知，選D.]
3．設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，m是直線且m?α，“m∥β ”是“α∥β ”的(　　)
A．充分而不必要條件　　 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
B　[當(dāng)m∥β時(shí)，過(guò)m的平面α與β可能平行也可能相交，因而m∥βα∥β；當(dāng)α∥β時(shí)，α內(nèi)任一直線與β平行，因?yàn)閙?α，所以m∥β.綜上知，“m∥β ”是“α∥β ”的必要而不充分條件．]
4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面ACE的位置關(guān)系是________．
平行　[如圖所示，連接BD交AC于F，連接EF，則EF是△BDD1的中位線，

∴EF∥BD1，
又EF?平面ACE，
BD1?平面ACE，
∴BD1∥平面ACE.]
5．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：
①若m?α，n∥α，則m∥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ；
③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，則m∥β；
④若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β.
其中是真命題的是________．(填上序號(hào))
②　[對(duì)于①，m∥n或m，n異面，故①錯(cuò)誤；易知②正確；對(duì)于③，m∥β或m?β，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，α∥β或α與β相交，
故④錯(cuò)誤．]


直線與平面平行的判定與性質(zhì)
?考法1　直線與平面平行的判定
【例1】　如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點(diǎn)，AC與BE交于O點(diǎn)，G是線段OF上一點(diǎn)．

(1)求證：AP∥平面BEF；
(2)求證：GH∥平面PAD.
[證明]　(1)連接EC，

因?yàn)锳D∥BC，BC＝AD，
所以BCAE，
所以四邊形ABCE是平行四邊形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)．
又因?yàn)镕是PC的中點(diǎn)，
所以FO∥AP，
因?yàn)镕O?平面BEF，AP?平面BEF，
所以AP∥平面BEF.
(2)連接FH，OH，
因?yàn)镕，H分別是PC，CD的中點(diǎn)，
所以FH∥PD，因?yàn)镕H?平面PAD，PD?平面PAD，所以FH∥平面PAD.
又因?yàn)镺是BE的中點(diǎn)，H是CD的中點(diǎn)，
所以O(shè)H∥AD，因?yàn)镺H?平面PAD，AD?平面PAD.所以O(shè)H∥平面PAD.
又FH∩OH＝H，
所以平面OHF∥平面PAD.
又因?yàn)镚H?平面OHF，
所以GH∥平面PAD.
?考法2　直線與平面平行的性質(zhì)
【例2】　如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E為線段AD上的任意一點(diǎn)(不包括A，D兩點(diǎn))，平面CEC1∩平面BB1D＝FG.

證明：FG∥平面AA1B1B.
[證明]　在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1?平面BB1D，CC1?平面BB1D，
所以CC1∥平面BB1D.
又CC1?平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG.
因?yàn)锽B1∥CC1，所以BB1∥FG.
而B(niǎo)B1?平面AA1B1B，F(xiàn)G?平面AA1B1B，
所以FG∥平面AA1B1B.
[規(guī)律方法]　　判定線面平行的4種方法
(1)利用線面平行的定義(無(wú)公共點(diǎn))；
(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)；
(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，a?α?a∥β)；
(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α，a?β，a∥α?a∥β).,注意：構(gòu)造平行的常見(jiàn)形式：三角形的中位線、平行四邊形、利用比例關(guān)系證明兩直線平行等.

如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF是矩形，AB＝2，AF＝1，M是線段EF的中點(diǎn)．

(1)求證：MA∥平面BDE.
(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，試分析l與m的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
[解]　(1)證明：如圖，記AC與BD的交點(diǎn)為O，連接OE.

因?yàn)镺，M分別是AC，EF的中點(diǎn)，四邊形ACEF是矩形，
所以四邊形AOEM是平行四邊形，所以AM∥OE.
又因?yàn)镺E?平面BDE，AM?平面BDE，
所以AM∥平面BDE.
(2)l∥m，證明如下：
由(1)知AM∥平面BDE，連接DM，MB.
又AM?平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，
所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，
又AM?平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，
所以m∥AM，所以l∥m.

平面與平面平行的判定與性質(zhì)
【例3】　如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：

(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
[證明]　(1)因?yàn)镚H是△A1B1C1的中位線，所以GH∥B1C1.
又因?yàn)锽1C1∥BC，所以GH∥BC，
所以B，C，H，G四點(diǎn)共面．
(2)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，
所以EF∥BC，
因?yàn)镋F?平面BCHG，BC?平面BCHG，
所以EF∥平面BCHG.
因?yàn)锳1GEB，
所以四邊形A1EBG是平行四邊形，所以A1E∥GB.
因?yàn)锳1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，
所以A1E∥平面BCHG.
因?yàn)锳1E∩EF＝E，
所以平面EFA1∥平面BCHG.
[拓展探究]　在本例條件下，若D1，D分別為B1C1，BC的中點(diǎn)，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.
[證明]　如圖所示，連接A1C交AC1于點(diǎn)M，

因?yàn)樗倪呅蜛1ACC1是平行四邊形，
所以M是A1C的中點(diǎn)，連接MD，
因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，
所以A1B∥DM.
因?yàn)锳1B?平面A1BD1，
DM?平面A1BD1，
所以DM∥平面A1BD1.
又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1BD，
所以四邊形BDC1D1為平行四邊形，
所以DC1∥BD1.
又DC1?平面A1BD1.
BD1?平面A1BD1，
所以DC1∥平面A1BD1，
又因?yàn)镈C1∩DM＝D，
DC1，DM?平面AC1D.
所以平面A1BD1∥平面AC1D.
[規(guī)律方法]　1.判定平面與平面平行的4種方法
(1)面面平行的定義，即證兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)(不常用)；
(2)面面平行的判定定理(主要方法)；
(3)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行(客觀題可用)；
(4)利用平面平行的傳遞性，兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行(客觀題可用)；
注意：謹(jǐn)記空間平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化


在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點(diǎn)，EF∥DB，G，H分別是EC和FB的中點(diǎn)．求證：GH∥平面ABC.

[證明]　取FC的中點(diǎn)I，連接GI，HI，則有GI∥EF，HI∥BC.

又EF∥DB，
所以GI∥BD，
又GI∩HI＝I，BD∩BC＝B，
所以平面GHI∥平面ABC.
因?yàn)镚H?平面GHI，
所以GH∥平面ABC.


平行關(guān)系中的存在性問(wèn)題

【例4】　如圖，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD為菱形．

(1)證明：平面AB1C∥平面DA1C1；
(2)在直線CC1上是否存在點(diǎn)P，使BP∥平面DA1C1？若存在，確定點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
[解]　(1)證明：由棱柱ABCD-A1B1C1D1的性質(zhì)知，AB1∥DC1(圖略)，
∵AB1?平面DA1C1，DC1?平面DA1C1，∴AB1∥平面DA1C1，
同理可證B1C∥平面DA1C1，
又AB1∩B1C＝B1，
∴平面AB1C∥平面DA1C1.
(2)存在這樣的點(diǎn)P，使BP∥平面DA1C1.∵A1B1ABDC，
∴四邊形A1B1CD為平行四邊形．
∴A1D∥B1C.
在C1C的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)P，使C1C＝CP，連接BP(圖略)，
∵B1BC1C，∴B1BCP，
∴四邊形BB1CP為平行四邊形，
則BP∥B1C，∴BP∥A1D，
∴BP∥平面DA1C1.
[規(guī)律方法]　解決存在性問(wèn)題的一般方法,解決存在性問(wèn)題一般先假設(shè)求解的結(jié)果存在，從這個(gè)結(jié)果出發(fā)，尋找使這個(gè)結(jié)論成立的充分條件，若找到了使結(jié)論成立的充分條件，則存在；若找不到使結(jié)論成立的充分條件(出現(xiàn)矛盾)，則不存在.而對(duì)于探求點(diǎn)的問(wèn)題，一般是先探求點(diǎn)的位置，多為線段的中點(diǎn)或某個(gè)三等分點(diǎn)，然后給出符合要求的證明.

如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是棱CC1的中點(diǎn)，問(wèn)在棱AB上是否存在一點(diǎn)E，使DE∥平面AB1C1？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)E的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

[解]　法一：假設(shè)在棱AB上存在點(diǎn)E，使得DE∥平面AB1C1，
如圖，取BB1的中點(diǎn)F，

連接DF，EF，ED，
則DF∥B1C1，
又DF?平面AB1C1，
B1C1?平面AB1C1，
∴DF∥平面AB1C1，
又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，
∴平面DEF∥平面AB1C1，
∵EF?平面DEF，∴EF∥平面AB1C1，
又∵EF?平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，
∴EF∥AB1，
∵點(diǎn)F是BB1的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．
即當(dāng)點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)時(shí)，DE∥平面AB1C1.
法二：存在點(diǎn)E，且E為AB的中點(diǎn)時(shí)，DE∥平面AB1C1.
證明如下：

如圖，取BB1的中點(diǎn)F，連接DF，
則DF∥B1C1.
∵DF?平面AB1C1，B1C1?平面AB1C1，
∴DF∥平面AB1C1.
∵AB的中點(diǎn)為E，連接EF，ED，
則EF∥AB1.
∵EF?平面AB1C1，AB1?平面AB1C1，
∴EF∥平面AB1C1.
∵DF∩EF＝F，
∴平面DEF∥平面AB1C1.
而DE?平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.

1．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是(　　)

A　[A項(xiàng)，作如圖①所示的輔助線，其中D為BC的中點(diǎn)，則QD∥AB.
∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD與平面MNQ相交，
∴直線AB與平面MNQ相交．
B項(xiàng)，作如圖②所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，
∴AB∥MQ.
又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.

C項(xiàng)，作如圖③所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.
又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.
D項(xiàng)，作如圖④所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ.
又AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.
故選A.]
2．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.

(1)證明：直線BC∥平面PAD；
(2)若△PCD的面積為2，求四棱錐P-ABCD的體積．
[解]　(1)證明：在平面ABCD內(nèi)，因?yàn)椤螧AD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD.又BC?平面PAD，AD?平面PAD，故BC∥平面PAD.
(2)如圖，取AD的中點(diǎn)M，連接PM，CM.由AB＝BC＝AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四邊形ABCM為正方形，則CM⊥AD.

因?yàn)閭?cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.
因?yàn)镃M?底面ABCD，所以PM⊥CM.
設(shè)BC＝x，則CM＝x，CD＝x，PM＝x，PC＝PD＝2x.
如圖，取CD的中點(diǎn)N，連接PN，則PN⊥CD，
所以PN＝x.
因?yàn)椤鱌CD的面積為2，
所以×x×x＝2，
解得x＝－2(舍去)或x＝2.
于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2.
所以四棱錐P-ABCD的體積V＝××2＝4.

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