?專題02 橢圓的簡單幾何性質(zhì)

要點(diǎn)　橢圓的簡單幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
焦點(diǎn)位置
焦點(diǎn)在x軸上
焦點(diǎn)在y軸上
圖形


焦點(diǎn)的位置
焦點(diǎn)在x軸上
焦點(diǎn)在y軸上
范圍
-a≤x≤a且-b≤y≤b
-b≤x≤b且-a≤y≤a
頂點(diǎn)
A1(-a,0),A2(a,0),
B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a),
B1(-b,0),B2(b,0)
軸長
長軸長為2a,短軸長為2b
焦點(diǎn)
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
焦距
2c
對(duì)稱性
對(duì)稱軸:x軸、y軸,對(duì)稱中心:坐標(biāo)原點(diǎn)
離心率

【方法技巧】
(1)橢圓的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2必在它的長軸上．
(2)a是橢圓的長半軸長，b是橢圓的短半軸長，c是橢圓的半焦距，它們滿足關(guān)系式：a2＝b2＋c2(a>b>0，a>c>0)．如圖a，b，c恰好構(gòu)成一個(gè)直角三角形．

明確了a，b的幾何意義，可得“已知橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)求焦點(diǎn)”的幾何作法．只要以短軸的端點(diǎn)B1(或B2)為圓心，以a為半徑作弧，交長軸于兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)就是焦點(diǎn)．
(3)計(jì)算離心率常見形式，e ＝＝.
【答疑解惑】
你能運(yùn)用三角函數(shù)的知識(shí)解釋，為什么e＝越大，橢圓越扁平？e＝越小，橢圓越接近于圓嗎？
【提示】可用橢圓的離心率與橢圓的特征三角形的關(guān)系解釋．如圖，在Rt△OB2F2中，sin ∠OB2F2的值即橢圓的離心率，即e＝sin ∠OB2F2.可以看出：

e＝越大，在Rt△OF2B2中，sin ∠OB2F2＝越大，則∠OB2F2越大，橢圓越扁平；
e＝越小，sin ∠OB2F2＝越小，則∠OB2F2越小，橢圓越接近于圓．
【基礎(chǔ)自測】
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)橢圓＋＝1(a>b>0)的長軸長等于a.(　　)
(2)橢圓的離心率e越小，橢圓越圓．(　　)
(3)橢圓＋＝1的離心率e＝.(　　)
(4)橢圓以兩條坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，一個(gè)頂點(diǎn)是(0,13)，另一個(gè)頂點(diǎn)是(－10,0)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±)．(　　)
【答案】（1）×（2）√（3）×（4）√
2．2．橢圓6x2＋y2＝6的長軸的端點(diǎn)坐標(biāo)是(　　)
A．(－1,0)，(1,0) B．(－6,0)，(6,0) C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，)
【答案】D
【解析】橢圓方程可化為x2＋＝1，則長軸的端點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±)．故選D.
3．已知橢圓＋＝1，長軸在y軸上．若焦距為4，則m等于(　　)
A．8 B．7 C．5 D．4
【答案】C
【解析】由題意得m－2>10－m且10－m>0，于是60)或＋＝1(a>b>0)，由已知得2a＝10，故a＝5.
∵e＝＝，∴c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1或＋＝1.
(2)依題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)．

如圖所示，△A1FA2為一等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2的中線(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，則c＝b＝3，
故a2＝b2＋c2＝18，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
(3)方法一：由題意知e2＝1－＝，所以＝，即a2＝2b2，設(shè)所求橢圓的方程為＋＝1或＋＝1.
將點(diǎn)M(1,2)代入橢圓方程得
＋＝1或＋＝1，解得b2＝或b2＝3.
故所求橢圓方程為＋＝1或＋＝1.
方法二：設(shè)所求橢圓方程為＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入可得＋＝k1或＋＝k2，解得k1＝，k2＝，故＋＝或＋＝，即所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1或＋＝1.
【方法技巧】
利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程的思路
(1)利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，通常采用待定系數(shù)法，其步驟是：
①確定焦點(diǎn)位置；
②設(shè)出相應(yīng)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(對(duì)于焦點(diǎn)位置不確定的橢圓可能有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程)；
③根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，利用方程(組)求參數(shù)，列方程(組)時(shí)常用的關(guān)系式有b2＝a2－c2，e ＝等．
(2)在橢圓的簡單幾何性質(zhì)中，軸長、離心率不能確定橢圓的焦點(diǎn)位置，因此僅依據(jù)這些條件求所要確定的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可能有兩個(gè)．
【變式訓(xùn)練】
1.若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，長軸長與短軸長的和為18，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,0)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
【答案】B　
【解析】由題意，得解得因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
2.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，若長軸長為18，兩個(gè)焦點(diǎn)恰好將長軸三等分，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．
【答案】＋＝1　
【解析】由2a＝18，得a＝9.又因?yàn)?c＝＝6，所以c＝3.
所以b2＝a2－c2＝81－9＝72.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. 3.已知橢圓的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是一個(gè)焦點(diǎn)，A是一個(gè)頂點(diǎn)，橢圓的長軸長為6，且cos ∠OFA＝，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．
3.已知橢圓的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是一個(gè)焦點(diǎn)，A是一個(gè)頂點(diǎn)，橢圓的長軸長為6，且cos ∠OFA＝，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．
【答案】(3)＋＝1或＋＝1
【解析】(3)因?yàn)闄E圓的長軸長是6，cos ∠OFA＝，所以點(diǎn)A不是長軸的端點(diǎn)(是短軸的端點(diǎn))．
所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，
所以＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5，
所以橢圓的方程是＋＝1或＋＝1.
題型三　橢圓的離心率問題
探究1 定義法求橢圓的離心率
【例2】橢圓＋＝1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F，該橢圓上有一點(diǎn)A，滿足△OAF是等邊三角形(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則橢圓的離心率是________．

【答案】－1
【解析】如圖，設(shè)F(c,0)，由△OAF是等邊三角形，得A，
∵點(diǎn)A在橢圓上，∴有＋＝1　①，在橢圓中有a2＝b2＋c2?、冢?lián)立①②，得c2＝(4－2)a2，即c＝(－1)a，則其離心率e＝＝－1
探究2 構(gòu)造齊次方程
【例3】設(shè)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點(diǎn)，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，則C的離心率為(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解法一　由題意可設(shè)|PF2|＝m，結(jié)合條件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故離心率e＝＝＝＝＝.
解法二　由PF2⊥F1F2可知P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為c，將x＝c代入橢圓方程可解得y＝±，所以|PF2|＝.又由∠PF1F2＝30°，可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝·，變形可得(a2－c2)＝2ac，等式兩邊同除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去)．
探究3 求橢圓離心率的取值范圍
【例4】若橢圓＋＝1(a>b>0)上存在一點(diǎn)M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn))，求橢圓的離心率e的取值范圍．
【分析】
方法一：由∠F1MF2＝90 °聯(lián)想到·＝0，結(jié)合橢圓方程求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，利用該坐標(biāo)的范圍構(gòu)造關(guān)于e的不等式求解；
方法二：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x0，y0)，由已知可知，該點(diǎn)既在橢圓上也在圓x＋y＝c2上，從而可求出x的范圍，再利用x的范圍構(gòu)造關(guān)于e的不等式求解．
【解析】解法一：設(shè)M(x0，y0)，則|x0|

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