?2023年春季德化二中高一期中考數(shù)學試卷
考試范圍：三角函數(shù)，平面向量． 考試時間：120分鐘；
注意事項：
1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息
2．請將答案正確填寫在答題卡上
第I卷（選擇題）
一、單選題（每題5分，共40分）
1. 已知向量，，則（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量減法的坐標運算和模長公式可求出結(jié)果.
【詳解】因為向量，，所以，
所以.
故選：D．
2. 等于（?。?br /> A. 0 B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題得原式=，再利用和角的正弦公式化簡計算.
【詳解】由題得原式=.
故選C
【點睛】本題主要考查誘導公式和和角的正弦公式的運用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.
3. 在△ABC中，，則邊AC上的高為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由點B向AC作垂線，交點為D，設AD＝x，則CD＝4﹣x，利用勾股定理可知和中分別用勾股定理求，建立方程求解的值，再利用勾股定理求得BD.
【詳解】由點B向AC作垂線，交點為D.

設AD＝x，則CD＝4﹣x，
∴，解得
.
故選：B.
【點睛】本題主要考查了三角形中勾股定理的應用.屬基礎題.
4. 在中，，則k的值是（ ）
A. 5 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先寫出，再利用向量垂直得到，解出即可.
【詳解】，，
，解得，
故選：A.
5. 在平行四邊形中，下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出圖形，進而根據(jù)平面向量的概念及加減法法則即可得到答案.
【詳解】如圖，

易知A正確；根據(jù)平行四邊形法則，B正確；，C錯誤；，D正確.
故選：C.
6. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用余弦差的公式進行合并即可．
【詳解】．故選D
【點睛】本題屬于基礎題，考查三角特殊值的余弦公式的計算．
7. 函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且，，則函數(shù)在區(qū)間上（ ）
A. 是增函數(shù) B. 是減函數(shù)
C. 可以取到最大值 D. 可以取到最小值
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意計算出當時，的取值范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.
【詳解】函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且，，則當時，，
而函數(shù)在區(qū)間上先增后減，
所以，函數(shù)在區(qū)間上先增后減，當，該函數(shù)取到最大值.
故選：C.
【點睛】本題考查余弦型函數(shù)單調(diào)性的判斷與應用，求出的取值范圍是解答的關鍵，考查推理能力，屬于中等題.
8. 設函數(shù)的最小正周期為，且在內(nèi)恰有3個零點，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)周期求出，結(jié)合的范圍及，得到，把看做一個整體，研究在的零點，結(jié)合的零點個數(shù)，最終列出關于的不等式組，求得的取值范圍
【詳解】因為，所以.由，得.
當時，，又，則.
因為在上的零點為，，，，且在內(nèi)恰有3個零點，所以或解得.
故選：D.

二、多選題（每題滿分5分，部分選對得2分，共20分）
9. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法錯誤的是（ ）

A. 函數(shù)的最小正周期為π
B. 函數(shù)的圖象關于直線對稱
C. 函數(shù)的圖象關于點對稱
D. 將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象
【答案】CD
【解析】
【分析】A選項，由圖象求出，A錯誤；BC選項，根據(jù)圖象求出，進而代入驗證得到的圖象關于直線對稱，B正確，C錯誤；D選項，根據(jù)左加右減求出平移后的解析式，D錯誤.
【詳解】A選項，由圖象得，，解得，A正確；
BC選項，因為，所以，故，
將代入解析式得，故，
解得，
因為，故只有滿足要求，
故，
當時，，
故函數(shù)的圖象關于直線對稱，B正確，C錯誤；
D選項，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)，故D錯誤.
故選：CD
10. 下列論述中，正確的有（ ）
A. 正切函數(shù)定義域為
B. 若是第一象限角，則是第一或第三象限角
C. 第一象限的角一定是銳角
D. 圓心角為且半徑為2的扇形面積是
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義判斷A，根據(jù)象限角的定義判斷B，C，根據(jù)扇形面積公式判斷D.
【詳解】對于A：正切函數(shù)的定義域為，故A錯誤；
對于B：若是第一象限角，則，可得，
所以表示第一或第三象限角，故B正確；
對于C：是第一象限角，但不是銳角，故C錯誤；
對于D：圓心角為且半徑為2的扇形面積，故D正確．
故選：BD．
11. 在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，下列說法正確的是（ ）
A. 是的充要條件
B. 若，則P是的垂心
C. 若面積為S，，則
D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】A.根據(jù)三角形的性質(zhì)和正弦定理判斷；
B.變形數(shù)量積公式，結(jié)合幾何意義，即可判斷；
C.根據(jù)三角形面積公式，和余弦定理求解；
D.利用誘導公式和三角形的性質(zhì)，即可判斷.
【詳解】A.，再根據(jù)正弦定理，，所以是的充要條件，故A正確；
B. ，所以，同理，，所以P是的垂心，故B正確；
C.由條件可知，，即，所以，所以，，所以 ，故C正確；
D. ，故D錯誤.
故選：ABC
12. 如圖，在扇形OPQ中，半徑，圓心角，C是扇形弧PQ上的動點，矩形內(nèi)接于扇形，記．則下列說法正確的是（ ）

A. 弧PQ的長為
B. 扇形OPQ的面積為
C. 當時，矩形的面積為
D. 矩形的面積的最大值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)弧長公式可判斷A；根據(jù)扇形的面積公式可判斷B；解直角三角形求得的長，即可求出矩形的面積的表達式，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換化簡求值，可判斷C，D.
【詳解】由題意知，在扇形OPQ中，半徑，圓心角，
故弧PQ的長為，A正確；
扇形OPQ的面積為，B錯誤；
在中，，
在中，,
則的面積
，
當時，又，故，
則，
則，
則，
即矩形的面積為，C正確；
由C分析可知矩形的面積，
當，即時，矩形的面積取最大值，D正確，
故選：ACD
【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵C，D選項的判斷，解答時要結(jié)合解直角三角形，表示出邊的長，從而表示出矩形的面積，再結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換，即可判斷這兩個選項的正誤.
第II卷（非選擇題）
三、填空題（每題5分，共20分）
13. 試寫出一個滿足下列條件的函數(shù)解析式___________.①以為最小正周期；②以為一根對稱軸；③值域為
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】結(jié)合三個條件，對余弦函數(shù)進行變形得到，滿足題意.
【詳解】，滿足三個條件，符合題意.
故答案為：
14. 如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北的方向上，行駛600m后到達處，測得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度 ________ m.

【答案】
【解析】
【詳解】試題分析:由題設可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因為,所以,應填.
考點：正弦定理及運用．

15. 已知平面向量，，則在上的投影向量的坐標為__________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用投影向量的意義求解作答.
【詳解】向量，，則，
與同向的單位向量為，
所以在上的投影向量為.
故答案為：
16. 定義平面向量的一種運算，，其中，是與的夾角，給出下列命題：①若，，則；②若，則；③若，則；④若，，則．其中真命題的序號是________.
【答案】①③
【解析】
【分析】
根據(jù)已知中的新定義，，，其中，是與的夾角，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算、平面向量數(shù)量積的坐標表示以及向量夾角公式，逐一判斷四個命題的真假可得答案．
【詳解】，，其中，是與的夾角，
若，，則，，
則，故正確；
②，則，夾角為，
則，故錯誤；
③若，則，故正確；
④若，，則，，
，
則，，故錯誤；
故真命題的序號為：①③
故答案為：①③
【點睛】本題以向量運算的新定義為載體，考查平面向量數(shù)量積的運算、平面向量數(shù)量積的坐標表示以及向量夾角公式，難度為中檔．
四、解答題（第17題10分，其余5題每題12分，共70分）
17.
（Ⅰ）求函數(shù)的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）設A，B，C為的三個內(nèi)角，若，且C為銳角，求
【答案】（Ⅰ）函數(shù)f(x)的最大值為,最小正周期.（Ⅱ）
【解析】
【詳解】試題分析：(1)首先將函數(shù)化簡為＝，
根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即得.函數(shù)的最大值為，最小正周期為.
(2)由，得到，
應用誘導公式及兩角和的正弦公式，
解得
(1)＝，
所以函數(shù)的最大值為，最小正周期為.
(2)，所以，
因為C為銳角，所以，
在中，，所以，
所以，
考點：三角函數(shù)誘導公式，和差倍半的三角函數(shù)，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).

18. 已知 ?三個頂點的直角坐標分別為,,..
（1）若?，求?的值;
（2）若 ?，求?的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由數(shù)量積的坐標表示可求得；
（2）由數(shù)量積夾角的坐標表示求得，再求得．
【小問1詳解】
由 ,,,
得到?，則?，解得；
【小問2詳解】
當 ?時，．則，，同理，
，
，因此為銳角，
所以．
19. 在中，已知內(nèi)角，邊.設內(nèi)角，周長為.
（1）求函數(shù)的解析式和定義域；
（2）求的最大值．
【答案】（1），（2）最大值.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理求得，由此求得的解析式和定義域，利用兩角差的正弦公式和輔助角公式化到最簡；
（2）由（1），根據(jù)范圍求得的范圍，由此求得的最大值.
【詳解】（1）因為，且，所以，
由，得，即.
由正弦定理得：，
所以，
所以
，
所以.
（2）由（1）得，
因為，所以，
所以當時，取得最大值為.
【點睛】該題考查的是有關三角函數(shù)以及解三角形的問題，涉及到的知識點有正弦定理解三角形，兩角差的正弦函數(shù)公式，輔助角公式化簡函數(shù)解析式，求三角函數(shù)的最值，屬于簡單題目.
20. 的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，．向量與平行．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求的面積．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
【詳解】試題分析：（1）根據(jù)平面向量，列出方程，在利用正弦定理求出的值，即可求解角的大?。唬?）由余弦定理，結(jié)合基本不等式求出的最大值，即得的面積的最大值.
試題解析：（1）因為向量與平行，
所以，
由正弦定理得，
又，從而tanA＝，由于0

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