2022-2023學年福建省長泰第二中學高一上學期期中考試數(shù)學試題 一、單選題1．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在定義域上是單調遞增函數(shù)的是（     ）A． B． C． D．【答案】D【分析】對每個函數(shù)的奇偶性和單調性進行判斷可得.【詳解】因為不是奇函數(shù),所以排除A;因為和在其定義域內都不是增函數(shù),所以排除B,C;函數(shù)既是奇函數(shù)，又在定義域上是單調遞增函數(shù),符合.故選D.【點睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調性,屬基礎題.2．下列圖形能表示函數(shù)圖像的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的概念進行判斷.【詳解】解：根據(jù)函數(shù)的定義：任意垂直于x軸的直線與函數(shù)圖像至多有一個交點，只有C正確．故選：C．3．已知集合，集合，則圖中陰影部分表示的集合為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】題中陰影部分表示的集合為，再根據(jù)交集，并集個補集的運算即可得解.【詳解】解：，陰影部分表示的集合為或．故選：D．4．已知，，則的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用待定系數(shù)法求得，然后利用不等式的基本性質可求得的取值范圍.【詳解】設，則解得，∴，又，，∴即.故選：B.5．我國著名數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休．”在數(shù)學的學習和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質，也常用函數(shù)的解析式來研究函數(shù)圖象的特征．我們從這個商標中抽象出一個圖象如圖，其對應的函數(shù)可能是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由圖象知函數(shù)的定義域排除選項選項A、D，再根據(jù)不成立排除選項C，即可得正確選項.【詳解】由圖知的定義域為，排除選項A、D，又因為當時，，不符合圖象，所以排除選項C，故選：B.6．已知命題“，使”是假命題，則實數(shù)m的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由特稱命題的否定轉化為恒成立問題后列式求解，【詳解】由題意可知恒成立．①當時，恒成立；②當時，，解得．綜上：．故選：C7．如果函數(shù)對任意滿足，且，則（    ）A．2022 B．2024 C．2020 D．2021【答案】A【分析】根據(jù)題目規(guī)律，先求出，進而求得答案.【詳解】根據(jù)題意，令，則，所以，因為2,4,6，…，2022共有個數(shù)，所以.故選：A.8．設函數(shù)，若互不相等的實數(shù)，，滿足，則的取值范圍是（　?。?/span>A． B． C． D．【答案】D【分析】作出圖象，不妨設，，由數(shù)形結合及二次函數(shù)圖象性質可得，，即可求范圍.【詳解】不妨設，，如圖所示，，由 ，故，，故.故選：D 二、多選題9．下列結論正確的是（    ）A．若a>b，則ac2>bc2 B．若a>b，則a2>abC．若a>b>0，則ab>b2 D．若|a|>|b|，則a2>b2【答案】CD【分析】根據(jù)不等式性質分析判斷.【詳解】對A：若，則，A錯誤；對B：若，則，B錯誤；對C：若a>b>0，根據(jù)不等式性質可得：ab>b2，C正確；對D：若，根據(jù)不等式性質可得：a2>b2故選：CD.10．是定義在上的偶函數(shù)，當時，，則下列說法中錯誤的是（    ）A．的單調遞增區(qū)間為B．C．的最大值為4D．的解集為【答案】ABD【分析】A選項，畫出函數(shù)圖象，但兩個單調遞增區(qū)間不能用并集符合連接；B選項，根據(jù)奇偶性得到，結合函數(shù)在上的單調性作出判斷；C選項，時，配方求出的最大值，結合函數(shù)奇偶性得到的最大值；D選項，由圖象求出的解集為.【詳解】因為是定義在上的偶函數(shù)，當時，，當，，故，畫出的圖象如下：A：兩個單調遞增區(qū)間中間要用和或逗號分開，故A錯誤；B：在上單調遞減，則，故B錯誤；C：當時，最大值為4，又因為是偶函數(shù)，故C正確；D：的解集為，故D錯誤．故選：ABD．11．下列說法正確的是（    ）A．函數(shù)的最小值為6B．若不等式的解集為或，則 C．冪函數(shù) 在上為減函數(shù)，則的值為1D．若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為【答案】BC【分析】運用基本不等式和函數(shù)的性質逐項分析即可求解.【詳解】對于A，令，則 ， 是對勾函數(shù)，其極小值為 ，錯誤；對于B，依題意，方程 的兩個解是 或 ，并且 ，由韋達定理：  ，  ，  ，正確；對于C， ，且 ，解得 ，正確；對于D， 的定義域為 ，對于 ， ，即 的定義域為 ；故選：BC.12．一般地，若函數(shù)的定義域為，值域為，則稱為的“k倍美好區(qū)間”.特別地，若函數(shù)的定義域為，值域也為，則稱為的“完美區(qū)間”.下列結論正確的是（    ）A．若為的“完美區(qū)間”，則B．函數(shù)存在“完美區(qū)間”C．二次函數(shù)存在“2倍美好區(qū)間”D．函數(shù)存在“完美區(qū)間”，則實數(shù)m的取值范圍為【答案】BCD【分析】分析每個函數(shù)的定義域及其在相應區(qū)間的單調性，按“k倍美好區(qū)間”，“完美區(qū)間”的定義，列出相應方程，再根據(jù)方程解的情況，判斷正誤.【詳解】對于A，因為函數(shù)的對稱軸為，故函數(shù)在上單增，所以其值域為，又因為為的完美區(qū)間，所以，解得或，因為，所以，A錯誤；對于B，函數(shù)在和都單調遞減，假設函數(shù)存在完美區(qū)間，則，即a，b互為倒數(shù)且，故函數(shù)存在完美區(qū)間，B正確；對于C，若存在“2倍美好區(qū)間”，則設定義域為，值域為當時，易得在區(qū)間上單調遞減，，兩式相減，得，代入方程組解得，，C正確.對于D，的定義域為，假設函數(shù)存在“完美區(qū)間”，若，由函數(shù)在內單調遞減，則，解得；若，由函數(shù)在內單調遞增，則，即在有兩解a，b，得，故實數(shù)m的取值范圍為，D正確.故選：BCD.【點睛】抓住“k倍美好區(qū)間”，“完美區(qū)間”的定義，在已知單調性的前提下，即可通過分析函數(shù)在區(qū)間端點處a，b的取值，列出方程組. 三、填空題13．函數(shù)的定義域為_____________.【答案】【解析】根據(jù)根式函數(shù)和分式函數(shù)的定義域求解.【詳解】由，解得，所以函數(shù)的定義域為故答案為：14．函數(shù)在區(qū)間上的值域是___________．【答案】【分析】先判斷單調性，再根據(jù)單調性求值域.【詳解】設，，，，當時，，即，即，函數(shù)在區(qū)間上單調遞減；當時，，即，即，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增；，又故函數(shù)值域為故答案為：15．已知函數(shù)，且，則的值為____________．【答案】【分析】由奇函數(shù)的性質求解，【詳解】，令，∵，∴為奇函數(shù)，∴，則，得.故答案為： 四、雙空題16．已知冪函數(shù)的圖象過點，則______，的解集為______.【答案】          【分析】設出冪函數(shù)的解析式，再由給定條件列式計算，然后借助函數(shù)性質列出不等式，求解即得.【詳解】依題意，設，則，解得，于是得，顯然是偶函數(shù)，且在上單調遞增，而，即有，解得或，所以的解集為.故答案為：；【點睛】思路點睛：解涉及奇偶性的函數(shù)不等式，一般先利用函數(shù)的奇偶性得出區(qū)間上的單調性，再利用其單調性脫去函數(shù)的符號“f”，轉化為解不等式(組)的問題，若f(x)為偶函數(shù)，則f(-x)=f(x)=f(|x|). 五、解答題17．已知全集，集合，集合，其中．(1)若“”是“”的充分條件，求a的取值范圍；(2)若“”是“”的必要條件，求a的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由“”是“”的充分條件，可得，從而可得關于的不等式組，求解即可；（2）由“”是“”的必要條件，可得，然后分和兩種情況求解即可．【詳解】（1）因為“”是“”的充分條件，故，則，即，解得，則a的取值范圍為；（2）因為“”是“”是必要條件，故，①當時，，即，符合題意；②當時，則，即，解得，綜上所述：a的取值范圍為．18．已知二次函數(shù)滿足，．（1）求的解析式．（2）求在上的最大值．【答案】（1）；（2）3．【分析】（1）設，，代入求解，化簡求解系數(shù)．（2）將二次函數(shù)配成頂點式，分析其單調性，即可求出其最值．【詳解】（1）設，，則，∴由題，恒成立∴，，得，，，∴.    （2）由（1）可得，所以在單調遞減，在單調遞增，且，∴.19．已知函數(shù).（1）在平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象；（不用列表，直接畫出草圖．（2）根據(jù)圖象，直接寫出函數(shù)的單調區(qū)間；（3）若關于的方程有四個解，求的取值范圍．【答案】（1）作圖見解析 ；（2）增區(qū)間為和；減區(qū)間為和；（3） .【分析】（1）化簡函數(shù)的解析式為分段函數(shù)，結合二次函數(shù)的圖象與性質，即可畫出函數(shù)的圖象；（2）由（1）中的圖象，直接寫出函數(shù)的單調區(qū)間；（3）把方程有四個解等價于函數(shù)與的圖象有四個交點，利用函數(shù)的圖象，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)， 所以的圖象如右圖所示： （2）由（1）中的函數(shù)圖象，可得函數(shù)的單調增區(qū)間為和，單調減區(qū)間為和． （3）由方程有四個解等價于函數(shù)與的圖象有四個交點，又由函數(shù)的最小值為，結合圖象可得，即實數(shù)的取值范圍．20．已知，(1)求的值；(2)用定義證明函數(shù)是上的增函數(shù)，若，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)證明見解析， 【分析】(1)根據(jù)函數(shù)表達式直接求解；(2)利用定理證明單調性，再證明奇偶性，根據(jù)奇偶性和單調性求解不等式.【詳解】（1）因為，所以.（2），，因為，所以，，所以，且，所以，即，所以在上單調遞增，因為，，所以為奇函數(shù),由得，因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，因為在上單調遞增，所以 ，解得.21．習近平總書記一直十分重視生態(tài)環(huán)境保護，十八大以來多次對生態(tài)文明建設作出重要指示，在不同場合反復強調“綠水青山就是金山銀山”，隨著中國經濟的快速發(fā)展，環(huán)保問題已經成為一個不容忽視的問題．某污水處理廠在國家環(huán)保部門的支持下，引進新設備，新上了一個從生活垃圾中提煉化工原料的項目．經測算，該項目月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關系可以近似地表示為且每處理一噸生活垃圾，可得到能利用的化工原料的價值為200元，若該項目不獲利，政府將給予補貼．(1)當時，判斷該項目能否獲利，如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則政府每月至少需要補貼多少元才能使該項目不虧損？(2)該項目每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？【答案】(1)不會，政府每月至少需要補貼5000元才能使該項目不虧損(2)400噸 【分析】（1）當時，由項目獲利為求解；（2）由生活垃圾每噸的平均處理成本求解.【詳解】（1）解：當時，該項目獲利為S，則，∴當時，，因此，該項目不會獲利，當時，S取得最大值，所以政府每月至少需要補貼5000元才能使該項目不虧損；（2）由題意可知，生活垃圾每噸的平均處理成本為：，當時，，所以當時，取得最小值240；當時，，當且僅當，即時，取得最小值200，因為，所以當每月處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低．22．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的值域；(2)已知a為實數(shù)，函數(shù)的最大值為，求．【答案】(1)(2). 【分析】（1）先根據(jù)函數(shù)定義域求出，求出，結合，恒大于0求出值域；（2）設，換元后得到，分三種情況，求出最大值，得到.【詳解】（1）由，，∵∴，∴，∵恒大于0，∴的值域為；（2），令，則，即，則．①當時，在上單調遞增，；②當時，開口向上，對稱軸為，在上單調遞增，；③當a<0時，當，即時，在上單調遞減，故，當，即時，在上單調遞增，在上單調遞減，故，當，即時，在上單調遞增，故.綜上所述：. 

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