?2021年江蘇省常州二十四中中考數(shù)學(xué)模擬試卷
一、選擇題（本大題共7小題，每小題2分，共16分。在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一根選項(xiàng)是正確的）
1．（下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（　　）
A．cos60°＝ B．a(chǎn)2?a3＝a5
C． D．2（x﹣2y）＝2x﹣2y
2．（隨州7月份連續(xù)5天的最高氣溫分別為：29，30，32，30，34（單位：℃），則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（　?。?br /> A．30，32 B．31，30 C．30，31 D．30，30
3．（設(shè)方程x2﹣3x+2＝0的兩根分別是x1，x2，則x1+x2的值為（　　）
A．3 B．﹣ C． D．﹣2
4．（點(diǎn)P（a，b）在函數(shù)y＝3x+2的圖象上，則代數(shù)式6a﹣2b+1的值等于（　?。?br /> A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣1
5．（如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E是BC的中點(diǎn)，將△ABE沿直線(xiàn)AE翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接CF，則cos∠ECF的值為（　　）

A． B． C． D．
6．（如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝1，則以下四個(gè)結(jié)論中：①abc＞0，②2a+b＝0，③4a+b2＜4ac，④3a+c＜0．正確的個(gè)數(shù)是（　?。?br />
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以點(diǎn)O為圓心，2為半徑的圓與OB交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OB交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)P是邊OA上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)PC+PD最小時(shí)，OP的長(zhǎng)為（　　）

A． B． C．1 D．
二、填空題（本大題共11小題，每小題2分，共20分。不需寫(xiě)出解析過(guò)程，請(qǐng)把答案直接寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）
8．（如圖圖形都是由同樣大小的菱形按照一定規(guī)律所組成的，其中第①個(gè)圖形中一共有3個(gè)菱形，第②個(gè)圖形中一共有7個(gè)菱形，第③個(gè)圖形中一共有13個(gè)菱形，…，按此規(guī)律排列下去，第⑦個(gè)圖形中菱形的個(gè)數(shù)為　 ?。?br />
9．（8的立方根是　 ?。?br /> 10．（計(jì)算：（﹣1）2+＝　 　．
11．（分解因式：x3﹣x＝　 ?。?br /> 12．（在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（a，2）與點(diǎn)B（6，b）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則ab＝　 ?。?br /> 13．（如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線(xiàn)，連接OC交⊙O于點(diǎn)D，連接BD．若∠C＝40°，則∠B的度數(shù)是　 　°．

14．（如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，連接BE，CD，相交于點(diǎn)O，則△ABO面積最大值為　 ?。?br />
15．（如圖，點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，且AC＝2BC，分別以AC、BC為邊在線(xiàn)段AB的同側(cè)作正方形ACDE、BCFG，連接EC、EG，則tan∠CEG＝　 ?。?br />
16．（如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝（x＞0）與y＝x﹣1的圖象交于點(diǎn)P（a，b），則代數(shù)式的值為　 ?。?br />
17．（已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x12+4x1x2+x22的值是　 ?。?br /> 18．（如果一次函數(shù)y＝kx+3（k是常數(shù)，k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），那么y的值隨x的增大而　 　．（填“增大”或“減小”）
三、解析題（本大題共10小題，共84分。請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，如無(wú)特殊說(shuō)明，解析應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或推理過(guò)程）
19．（6分）先化簡(jiǎn)，再求值：÷（1+），其中m＝﹣2．
20．（6分）如圖，已知G、H分別是?ABCD對(duì)邊AD、BC上的點(diǎn)，直線(xiàn)GH分別交BA和DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E、F．
（1）當(dāng)＝時(shí)，求的值；
（2）聯(lián)結(jié)BD交EF于點(diǎn)M，求證：MG?ME＝MF?MH．

21．（8分）揚(yáng)州教育推出的“智慧學(xué)堂”已成為同學(xué)們課外學(xué)習(xí)的得力助手．為了解同學(xué)們“智慧學(xué)堂”平臺(tái)使用的熟練程度，某校隨機(jī)抽取了部分同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖兩幅尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖．

根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：
（1）本次調(diào)查的樣本容量是　 　，扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示A等級(jí)的扇形圓心角為　 　°；
（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）學(xué)校擬對(duì)“不太熟練或不熟練”的同學(xué)進(jìn)行平臺(tái)使用的培訓(xùn)，若該校有2000名學(xué)生，試估計(jì)該校需要培訓(xùn)的學(xué)生人數(shù)．
22．（8分）如圖1，⊙I與直線(xiàn)a相離，過(guò)圓心I作直線(xiàn)a的垂線(xiàn)，垂足為H，且交⊙I于P、Q兩點(diǎn)（Q在P、H之間）．我們把點(diǎn)P稱(chēng)為⊙I關(guān)于直線(xiàn)a的“遠(yuǎn)點(diǎn)“，把PQ?PH的值稱(chēng)為⊙I關(guān)于直線(xiàn)a的“特征數(shù)”．
（1）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，4）．半徑為1的⊙O與兩坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B、C、D．
①過(guò)點(diǎn)E畫(huà)垂直于y軸的直線(xiàn)m，則⊙O關(guān)于直線(xiàn)m的“遠(yuǎn)點(diǎn)”是點(diǎn)　 ?。ㄌ睢癆”、“B”、“C”或“D”），⊙O關(guān)于直線(xiàn)m的“特征數(shù)”為　 　；
②若直線(xiàn)n的函數(shù)表達(dá)式為y＝x+4．求⊙O關(guān)于直線(xiàn)n的“特征數(shù)”；
（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，4），點(diǎn)F是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以F為圓心，為半徑作⊙F．若⊙F與直線(xiàn)l相離，點(diǎn)N（﹣1，0）是⊙F關(guān)于直線(xiàn)l的“遠(yuǎn)點(diǎn)”．且⊙F關(guān)于直線(xiàn)l的“特征數(shù)”是4，求直線(xiàn)l的函數(shù)表達(dá)式．

23．（8分）近日，長(zhǎng)沙市教育局出臺(tái)《長(zhǎng)沙市中小學(xué)教師志愿輔導(dǎo)工作實(shí)施意見(jiàn)》，鼓勵(lì)教師參與志愿輔導(dǎo)，某區(qū)率先示范，推出名師公益大課堂，為學(xué)生提供線(xiàn)上線(xiàn)下免費(fèi)輔導(dǎo)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，第一批公益課受益學(xué)生2萬(wàn)人次，第三批公益課受益學(xué)生2.42萬(wàn)人次．
（1）如果第二批，第三批公益課受益學(xué)生人次的增長(zhǎng)率相同，求這個(gè)增長(zhǎng)率；
（2）按照這個(gè)增長(zhǎng)率，預(yù)計(jì)第四批公益課受益學(xué)生將達(dá)到多少萬(wàn)人次？
24．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，），點(diǎn)B在y軸的負(fù)半軸上，AB交x軸于點(diǎn)C，C為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)．
（1）m＝　 　，點(diǎn)C的坐標(biāo)為　 　；
（2）若點(diǎn)D為線(xiàn)段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥y軸，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)E，求△ODE面積的最大值．

25．（8分）將圖中的A型、B型、C型矩形紙片分別放在3個(gè)盒子中，盒子的形狀、大小、質(zhì)地都相同，再將這3個(gè)盒子裝入一只不透明的袋子中．

（1）攪勻后從中摸出1個(gè)盒子，求摸出的盒子中是A型矩形紙片的概率；
（2）攪勻后先從中摸出1個(gè)盒子（不放回），再?gòu)挠嘞碌膬蓚€(gè)盒子中摸出一個(gè)盒子，求2次摸出的盒子的紙片能拼成一個(gè)新矩形的概率（不重疊無(wú)縫隙拼接）．
26．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)O在AC上，以O(shè)A為半徑的半圓O交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作半圓O的切線(xiàn)DF，交BC于點(diǎn)F．
（1）求證：BF＝DF；
（2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圓O的半徑長(zhǎng)．

27．（10分）某駐村扶貧小組為解決當(dāng)?shù)刎毨?wèn)題，帶領(lǐng)大家致富．經(jīng)過(guò)調(diào)查研究，他們決定利用當(dāng)?shù)厥a(chǎn)的甲、乙兩種原料開(kāi)發(fā)A、B兩種商品．為科學(xué)決策，他們?cè)嚿a(chǎn)A、B兩種商品共100千克進(jìn)行深入研究，已知現(xiàn)有甲種原料293千克，乙種原料314千克，生產(chǎn)1千克A商品，1千克B商品所需要的甲、乙兩種原料及生產(chǎn)成本如表所示．

甲種原料（單位：千克）
乙種原料（單位：千克）
生產(chǎn)成本（單位：元）
A商品
3
2
120
B商品
2.5
3.5
200
設(shè)生產(chǎn)A種商品x千克，生產(chǎn)A、B兩種商品共100千克的總成本為y元，根據(jù)上述信息，解答下列問(wèn)題：
（1）求y與x的函數(shù)解析式（也稱(chēng)關(guān)系式），并直接寫(xiě)出x的取值范圍；
（2）x取何值時(shí)，總成本y最?。?br /> 28．（1如圖①，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，0）且平行于y軸，二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c（a、c是常數(shù)，a＜0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（﹣1，1），交直線(xiàn)l于點(diǎn)N，圖象的頂點(diǎn)為D，它的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)C，直線(xiàn)DM、DN分別與x軸相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)及的值；
（2）隨著a的變化，的值是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖②，E是x軸上位于點(diǎn)B右側(cè)的點(diǎn)，BC＝2BE，DE交拋物線(xiàn)于點(diǎn)F．若FB＝FE，求此時(shí)的二次函數(shù)表達(dá)式．


2021年江蘇省常州二十四中中考數(shù)學(xué)模擬試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共7小題，每小題2分，共16分。在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一根選項(xiàng)是正確的）
1．（下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（　?。?br /> A．cos60°＝ B．a(chǎn)2?a3＝a5
C． D．2（x﹣2y）＝2x﹣2y
【分析】分別根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，同底數(shù)冪的乘法法則，二次根式的除法法則以及去括號(hào)法則逐一判斷即可．
【解答】解：A．cos60°＝，故本選項(xiàng)不合題意；
B．a(chǎn)2?a3＝a5，故本選項(xiàng)不合題意；
C.，故本選項(xiàng)不合題意；
D.2（x﹣2y）＝2x﹣4y，故本選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
2．（隨州7月份連續(xù)5天的最高氣溫分別為：29，30，32，30，34（單位：℃），則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（　?。?br /> A．30，32 B．31，30 C．30，31 D．30，30
【分析】根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的意義和計(jì)算方法分別求出結(jié)果即可．
【解答】解：這5天最高氣溫出現(xiàn)次數(shù)最多的是30，因此眾數(shù)是30；
將這5天的最高氣溫從小到大排列，處在中間位置的一個(gè)數(shù)是30，因此中位數(shù)是30，
故選：D．
3．（設(shè)方程x2﹣3x+2＝0的兩根分別是x1，x2，則x1+x2的值為（　　）
A．3 B．﹣ C． D．﹣2
【分析】本題可利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出該一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)以及一次項(xiàng)系數(shù)的值，代入公式求值即可．
【解答】解：由x2﹣3x+2＝0可知，其二次項(xiàng)系數(shù)a＝1，一次項(xiàng)系數(shù)b＝﹣3，
由根與系數(shù)的關(guān)系：x1+x2＝﹣＝﹣＝3．
故選：A．
4．（點(diǎn)P（a，b）在函數(shù)y＝3x+2的圖象上，則代數(shù)式6a﹣2b+1的值等于（　?。?br /> A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣1
【分析】把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式，得出3a﹣b＝﹣2，代入2（3a﹣b）+1即可．
【解答】解：∵點(diǎn)P（a，b）在函數(shù)y＝3x+2的圖象上，
∴b＝3a+2，
則3a﹣b＝﹣2．
∴6a﹣2b+1＝2（3a﹣b）+1＝﹣4+1＝﹣3
故選：C．
5．（如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E是BC的中點(diǎn)，將△ABE沿直線(xiàn)AE翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接CF，則cos∠ECF的值為（　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】由矩形的性質(zhì)得出∠B＝90°，由勾股定理求出AE，由翻折變換的性質(zhì)得出△AFE≌△ABE，得出∠AEF＝∠AEB，EF＝BE＝，因此EF＝CE，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠EFC＝∠ECF，由三角形的外角性質(zhì)得出∠AEB＝∠ECF，cos∠ECF＝cos∠AEB＝，即可得出結(jié)果．
【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵E是BC的中點(diǎn)，BC＝2，
∴BE＝CE＝BC＝，
∴AE＝＝＝3，
由翻折變換的性質(zhì)得：△AFE≌△ABE，
∴∠AEF＝∠AEB，EF＝BE＝，
∴EF＝CE，
∴∠EFC＝∠ECF，
∵∠BEF＝∠EFC+∠ECF，
∴∠AEB＝∠ECF，
∴cos∠ECF＝cos∠AEB＝＝．
故選：C．
6．（如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝1，則以下四個(gè)結(jié)論中：①abc＞0，②2a+b＝0，③4a+b2＜4ac，④3a+c＜0．正確的個(gè)數(shù)是（　?。?br />
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①根據(jù)拋物線(xiàn)開(kāi)口向下可得a＜0，對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，得b＞0，拋物線(xiàn)與y軸正半軸相交，得c＞0，進(jìn)而即可判斷；
②根據(jù)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝1，即﹣＝1，可得b＝﹣2a，進(jìn)而可以判斷；
③根據(jù)b＝﹣2a，可得c＜2，進(jìn)而可以判斷；
④當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＜0，即a﹣b+c＜0，根據(jù)b＝﹣2a，可得3a+c＜0，即可判斷．
【解答】解：①根據(jù)拋物線(xiàn)開(kāi)口向下可知：
a＜0，
因?yàn)閷?duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，
所以b＞0，
因?yàn)閽佄锞€(xiàn)與y軸正半軸相交，
所以c＞0，
所以abc＜0，
所以①錯(cuò)誤；
②因?yàn)閽佄锞€(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝1，
即﹣＝1，
所以b＝﹣2a，
所以b+2a＝0，
所以②正確；
③因?yàn)閎＝﹣2a，
由4a+b2＜4ac，得
4a+4a2＜4ac，
∵a＜0，
∴c＜1+a，
根據(jù)拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)，c＞1，
所以③錯(cuò)誤；
④當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＜0，
即a﹣b+c＜0，
因?yàn)閎＝﹣2a，
所以3a+c＜0，
所以④正確．
所以正確的是②④2個(gè)．
故選：B．
7．（如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以點(diǎn)O為圓心，2為半徑的圓與OB交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OB交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)P是邊OA上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)PC+PD最小時(shí)，OP的長(zhǎng)為（　?。?br />
A． B． C．1 D．
【分析】延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)E，連接EP，交AO于點(diǎn)P，則PC+PD的值最小，利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例分別求出CD，PO的長(zhǎng)即可．
【解答】解：如圖，延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)E，連接ED，交AO于點(diǎn)P，此時(shí)PC+PD的值最?。?br />
∵CD⊥OB，
∴∠DCB＝90°，
又∠AOB＝90°，
∴∠DCB＝∠AOB，
∴CD∥AO
∴
∵OC＝2，OB＝4，
∴BC＝2，
∴，解得，CD＝；
∵CD∥AO，
∴＝，即＝，解得，PO＝
故選：B．
二、填空題（本大題共11小題，每小題2分，共20分。不需寫(xiě)出解析過(guò)程，請(qǐng)把答案直接寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）
8．（如圖圖形都是由同樣大小的菱形按照一定規(guī)律所組成的，其中第①個(gè)圖形中一共有3個(gè)菱形，第②個(gè)圖形中一共有7個(gè)菱形，第③個(gè)圖形中一共有13個(gè)菱形，…，按此規(guī)律排列下去，第⑦個(gè)圖形中菱形的個(gè)數(shù)為　57?。?br />
【分析】根據(jù)圖形的變化規(guī)律即可得第⑦個(gè)圖形中菱形的個(gè)數(shù)．
【解答】解：第①個(gè)圖形中一共有3個(gè)菱形，即2+1×1＝3；
第②個(gè)圖形中一共有7個(gè)菱形，即3+2×2＝7；
第③個(gè)圖形中一共有13個(gè)菱形，即4+3×3＝13；
…，
按此規(guī)律排列下去，
所以第⑦個(gè)圖形中菱形的個(gè)數(shù)為：8+7×7＝57．
故答案為：57．
9．（8的立方根是　2?。?br /> 【分析】利用立方根的定義計(jì)算即可得到結(jié)果．
【解答】解：8的立方根為2，
故答案為：2．
10．（計(jì)算：（﹣1）2+＝　4?。?br /> 【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方的定義以及算術(shù)平方根的定義計(jì)算即可．
【解答】解：（﹣1）2+＝1+3＝4．
故答案為：4．
11．（分解因式：x3﹣x＝　x（x+1）（x﹣1）　．
【分析】本題可先提公因式x，分解成x（x2﹣1），而x2﹣1可利用平方差公式分解．
【解答】解：x3﹣x，
＝x（x2﹣1），
＝x（x+1）（x﹣1）．
故答案為：x（x+1）（x﹣1）．
12．（在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（a，2）與點(diǎn)B（6，b）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則ab＝　12?。?br /> 【分析】根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)時(shí)，它們的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)，即可得到a，b的值，進(jìn)而得出ab的值．
【解答】解：∵點(diǎn)A（a，2）與點(diǎn)B（6，b）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
∴a＝﹣6，b＝﹣2，
∴ab＝12，
故答案為：12．
13．（如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線(xiàn)，連接OC交⊙O于點(diǎn)D，連接BD．若∠C＝40°，則∠B的度數(shù)是　25　°．

【分析】先根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得∠OAC＝90°，再利用互余計(jì)算出∠AOC＝90°﹣∠C＝50°，由于∠OBD＝∠ODB，利用三角形的外角性質(zhì)得∠OBD＝∠AOC＝25°．
【解答】解：∵AC是⊙O的切線(xiàn)，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∴∠AOC＝90°﹣∠C＝90°﹣40°＝50°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
而∠AOC＝∠OBD+∠ODB，
∴∠OBD＝∠AOC＝25°，
即∠ABD的度數(shù)為25°，
故答案為：25．
14．（如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，連接BE，CD，相交于點(diǎn)O，則△ABO面積最大值為　　．

【分析】過(guò)點(diǎn)D作DF∥AE，根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理可得則＝＝，根據(jù)已知＝，可得DO＝2OC，C在以AB為直徑的圓上，設(shè)圓心為G，當(dāng)CG⊥AB時(shí)，△ABC的面積最大為：4×2＝4，即可求出此時(shí)△ABO的最大面積．
【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AE，

則＝＝，
∵＝，
∴DF＝2EC，
∴DO＝2OC，
∴DO＝DC，
∴S△ADO＝S△ADC，S△BDO＝S△BDC，
∴S△ABO＝S△ABC，
∵∠ACB＝90°，
∴C在以AB為直徑的圓上，設(shè)圓心為G，
當(dāng)CG⊥AB時(shí)，△ABC的面積最大為：4×2＝4，
此時(shí)△ABO的面積最大為：×4＝．
故答案為：．
15．（如圖，點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，且AC＝2BC，分別以AC、BC為邊在線(xiàn)段AB的同側(cè)作正方形ACDE、BCFG，連接EC、EG，則tan∠CEG＝　　．

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．
【解答】解：連接CG，
在正方形ACDE、BCFG中，
∠ECA＝∠GCB＝45°，
∴∠ECG＝90°，
∵AC＝2BC，
∴設(shè)AC＝2a，BC＝a，
∴CE＝2a，CG＝a，
∴tan∠CEG＝＝，
故答案為：．

16．（如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝（x＞0）與y＝x﹣1的圖象交于點(diǎn)P（a，b），則代數(shù)式的值為　?。?br />
【分析】由題意得，函數(shù)y＝（x＞0）與y＝x﹣1的圖象交于點(diǎn)P（a，b），則ab＝4，b＝a﹣1，進(jìn)而求解．
【解答】解：函數(shù)y＝（x＞0）與y＝x﹣1的圖象交于點(diǎn)P（a，b），
∴ab＝4，b＝a﹣1，
∴b﹣a＝﹣1，
∴＝＝＝﹣．
故答案為﹣．
17．（已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x12+4x1x2+x22的值是　2?。?br /> 【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解．
【解答】解：根據(jù)題意得x1+x2＝4，x1x2＝﹣7
所以，x12+4x1x2+x22＝（x1+x2）2+2x1x2＝16﹣14＝2
故答案為2．
18．（如果一次函數(shù)y＝kx+3（k是常數(shù)，k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），那么y的值隨x的增大而　減小　．（填“增大”或“減小”）
【分析】根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出k值，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵一次函數(shù)y＝kx+3（k是常數(shù)，k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），
∴0＝k+3，
∴k＝﹣3，
∴y的值隨x的增大而減?。?br /> 故答案為：減小．
三、解析題（本大題共10小題，共84分。請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，如無(wú)特殊說(shuō)明，解析應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或推理過(guò)程）
19．（6分）先化簡(jiǎn)，再求值：÷（1+），其中m＝﹣2．
【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再將m的值代入計(jì)算可得．
【解答】解：原式＝÷（+）
＝÷
＝?
＝，
當(dāng)m＝﹣2時(shí)，
原式＝＝1．
20．（6分）如圖，已知G、H分別是?ABCD對(duì)邊AD、BC上的點(diǎn)，直線(xiàn)GH分別交BA和DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E、F．
（1）當(dāng)＝時(shí)，求的值；
（2）聯(lián)結(jié)BD交EF于點(diǎn)M，求證：MG?ME＝MF?MH．

【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的相似比解答即可．
【解答】（1）解：∵＝，
∴．
∵□ABCD中，AD∥BC，
∴△CFH∽△DFG．
∴．
∴．
（2）∵□ABCD中，AD∥BC，
∴．
∵□ABCD中，AB∥CD，
∴．
∴．
∴MG?ME＝MF?MH．
21．（8分）揚(yáng)州教育推出的“智慧學(xué)堂”已成為同學(xué)們課外學(xué)習(xí)的得力助手．為了解同學(xué)們“智慧學(xué)堂”平臺(tái)使用的熟練程度，某校隨機(jī)抽取了部分同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖兩幅尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖．

根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：
（1）本次調(diào)查的樣本容量是　500　，扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示A等級(jí)的扇形圓心角為　108　°；
（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）學(xué)校擬對(duì)“不太熟練或不熟練”的同學(xué)進(jìn)行平臺(tái)使用的培訓(xùn)，若該校有2000名學(xué)生，試估計(jì)該校需要培訓(xùn)的學(xué)生人數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)A等級(jí)的人數(shù)和所占的百分比，可以求得樣本容量，然后即可計(jì)算出扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示A等級(jí)的扇形圓心角的度數(shù)；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，可以計(jì)算出B等級(jí)的人數(shù)，從而可以將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；
（3）根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出該校需要培訓(xùn)的學(xué)生人數(shù)．
【解答】解：（1）本次調(diào)查的樣本容量是150÷30%＝500，
扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示A等級(jí)的扇形圓心角為：360°×30%＝108°，
故答案為：500，108；
（2）B等級(jí)的人數(shù)為：500×40%＝200，
補(bǔ)全的條形統(tǒng)計(jì)圖如右圖所示；
（3）2000×＝200（人），
答：該校需要培訓(xùn)的學(xué)生有200人．

22．（8分）如圖1，⊙I與直線(xiàn)a相離，過(guò)圓心I作直線(xiàn)a的垂線(xiàn)，垂足為H，且交⊙I于P、Q兩點(diǎn)（Q在P、H之間）．我們把點(diǎn)P稱(chēng)為⊙I關(guān)于直線(xiàn)a的“遠(yuǎn)點(diǎn)“，把PQ?PH的值稱(chēng)為⊙I關(guān)于直線(xiàn)a的“特征數(shù)”．
（1）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，4）．半徑為1的⊙O與兩坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B、C、D．
①過(guò)點(diǎn)E畫(huà)垂直于y軸的直線(xiàn)m，則⊙O關(guān)于直線(xiàn)m的“遠(yuǎn)點(diǎn)”是點(diǎn)　D?。ㄌ睢癆”、“B”、“C”或“D”），⊙O關(guān)于直線(xiàn)m的“特征數(shù)”為　10??；
②若直線(xiàn)n的函數(shù)表達(dá)式為y＝x+4．求⊙O關(guān)于直線(xiàn)n的“特征數(shù)”；
（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，4），點(diǎn)F是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以F為圓心，為半徑作⊙F．若⊙F與直線(xiàn)l相離，點(diǎn)N（﹣1，0）是⊙F關(guān)于直線(xiàn)l的“遠(yuǎn)點(diǎn)”．且⊙F關(guān)于直線(xiàn)l的“特征數(shù)”是4，求直線(xiàn)l的函數(shù)表達(dá)式．

【分析】（1）①根據(jù)遠(yuǎn)點(diǎn)，特征數(shù)的定義判斷即可．
②如圖1中，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥直線(xiàn)n于H，交⊙O于Q，P．解直角三角形求出PH，PQ的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．
（2）如圖2中，設(shè)直線(xiàn)l的解析式為y＝kx+b．分兩種情形k＞0或k＜0，分別求解即可解決問(wèn)題．
【解答】解：（1）①由題意，點(diǎn)D是⊙O關(guān)于直線(xiàn)m的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，⊙O關(guān)于直線(xiàn)m的特征數(shù)＝DB?DE＝2×5＝10，
故答案為：D，10．

②如圖1中，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥直線(xiàn)n于H，交⊙O于Q，P．

設(shè)直線(xiàn)y＝x+4交x軸于F（﹣，0），交y軸于E（0，4），
∴OE＝4，OF＝，
∴tan∠FEO＝＝，
∴∠FEO＝30°，
∴OH＝OE＝2，
∴PH＝OH+OP＝3，
∴⊙O關(guān)于直線(xiàn)n的“特征數(shù)”＝PQ?PH＝2×3＝6．

（2）如圖2中，設(shè)直線(xiàn)l的解析式為y＝kx+b．

當(dāng)k＞0時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥直線(xiàn)l于H，交⊙F于E，N．
由題意，EN＝2，EN?NH＝4，
∴NH＝，
∵N（﹣1，0），M（1，4），
∴MN＝＝2，
∴HM＝＝＝，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∵M(jìn)N的中點(diǎn)K（0，2），
∴KN＝HK＝KM＝，
∴H（﹣2，3），
把H（﹣2，3），M（1，4）代入y＝kx+b，則有，
解得，
∴直線(xiàn)l的解析式為y＝x+，
當(dāng)k＜0時(shí)，同法可知直線(xiàn)l′經(jīng)過(guò)H′（2，1），可得直線(xiàn)l′的解析式為y＝﹣3x+7．
綜上所述，滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)l的解析式為y＝x+或y＝﹣3x+7．
23．（8分）近日，長(zhǎng)沙市教育局出臺(tái)《長(zhǎng)沙市中小學(xué)教師志愿輔導(dǎo)工作實(shí)施意見(jiàn)》，鼓勵(lì)教師參與志愿輔導(dǎo)，某區(qū)率先示范，推出名師公益大課堂，為學(xué)生提供線(xiàn)上線(xiàn)下免費(fèi)輔導(dǎo)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，第一批公益課受益學(xué)生2萬(wàn)人次，第三批公益課受益學(xué)生2.42萬(wàn)人次．
（1）如果第二批，第三批公益課受益學(xué)生人次的增長(zhǎng)率相同，求這個(gè)增長(zhǎng)率；
（2）按照這個(gè)增長(zhǎng)率，預(yù)計(jì)第四批公益課受益學(xué)生將達(dá)到多少萬(wàn)人次？
【分析】（1）設(shè)增長(zhǎng)率為x，根據(jù)“第一批公益課受益學(xué)生2萬(wàn)人次，第三批公益課受益學(xué)生2.42萬(wàn)人次”可列方程求解；
（2）用2.42×（1+增長(zhǎng)率），計(jì)算即可求解．
【解答】解：（1）設(shè)增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，得
2（1+x）2＝2.42，
解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%．
答：增長(zhǎng)率為10%．

（2）2.42（1+0.1）＝2.662（萬(wàn)人）．
答：第四批公益課受益學(xué)生將達(dá)到2.662萬(wàn)人次．
24．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，），點(diǎn)B在y軸的負(fù)半軸上，AB交x軸于點(diǎn)C，C為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)．
（1）m＝　6　，點(diǎn)C的坐標(biāo)為　（2，0）?。?br /> （2）若點(diǎn)D為線(xiàn)段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥y軸，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)E，求△ODE面積的最大值．

【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得m的值，根據(jù)A點(diǎn)的坐標(biāo)即可求得C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法求得直線(xiàn)AB的解析式，設(shè)出D、E的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式得到S△ODE＝﹣（x﹣1）2+，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)論．
【解答】解：（1）∵反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，），
∴m＝＝6，
∵AB交x軸于點(diǎn)C，C為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)．
∴C（2，0）；
故答案為6，（2，0）；
（2）設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y＝kx+b，
把A（4，），C（2，0）代入得，解得，
∴直線(xiàn)AB的解析式為y＝x﹣；
∵點(diǎn)D為線(xiàn)段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴設(shè)D（x，x﹣）（0＜x≤4），
∵DE∥y軸，
∴E（x，），
∴S△ODE＝x?（﹣x+）＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣1）2+，
∴當(dāng)x＝1時(shí)，△ODE的面積的最大值為．
25．（8分）將圖中的A型、B型、C型矩形紙片分別放在3個(gè)盒子中，盒子的形狀、大小、質(zhì)地都相同，再將這3個(gè)盒子裝入一只不透明的袋子中．

（1）攪勻后從中摸出1個(gè)盒子，求摸出的盒子中是A型矩形紙片的概率；
（2）攪勻后先從中摸出1個(gè)盒子（不放回），再?gòu)挠嘞碌膬蓚€(gè)盒子中摸出一個(gè)盒子，求2次摸出的盒子的紙片能拼成一個(gè)新矩形的概率（不重疊無(wú)縫隙拼接）．
【分析】（1）直接利用概率公式計(jì)算可得；
（2）畫(huà)樹(shù)狀圖得出所有等可能結(jié)果，從中找打2次摸出的盒子的紙片能拼成一個(gè)新矩形的結(jié)果數(shù)，利用概率公式計(jì)算可得．
【解答】解：（1）攪勻后從中摸出1個(gè)盒子有3種等可能結(jié)果，
所以摸出的盒子中是A型矩形紙片的概率為；

（2）畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

由樹(shù)狀圖知共有6種等可能結(jié)果，其中2次摸出的盒子的紙片能拼成一個(gè)新矩形的有4種結(jié)果，
所以2次摸出的盒子的紙片能拼成一個(gè)新矩形的概率為＝．
26．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)O在AC上，以O(shè)A為半徑的半圓O交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作半圓O的切線(xiàn)DF，交BC于點(diǎn)F．
（1）求證：BF＝DF；
（2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圓O的半徑長(zhǎng)．

【分析】（1）連接OD，由切線(xiàn)性質(zhì)得∠ODF＝90°，進(jìn)而證明∠BDF+∠A＝∠A+∠B＝90°，得∠B＝∠BDF，便可得BF＝DF；
（2）設(shè)半徑為r，連接OD，OF，則OC＝4﹣r，求得DF，再由勾股定理，利用OF為中間變量列出r的方程便可求得結(jié)果．
【解答】解：（1）連接OD，如圖1，
∵過(guò)點(diǎn)D作半圓O的切線(xiàn)DF，交BC于點(diǎn)F，
∴∠ODF＝90°，
∴∠ADO+∠BDF＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠OAD+∠BDF＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠OAD+∠B＝90°，
∴∠B＝∠BDF，
∴BF＝DF；


（2）連接OF，OD，如圖2，
設(shè)圓的半徑為r，則OD＝OE＝r，
∵AC＝4，BC＝3，CF＝1，
∴OC＝4﹣r，DF＝BF＝3﹣1＝2，

∵OD2+DF2＝OF2＝OC2+CF2，
∴r2+22＝（4﹣r）2+12，
∴．
故圓的半徑為．
27．（10分）某駐村扶貧小組為解決當(dāng)?shù)刎毨?wèn)題，帶領(lǐng)大家致富．經(jīng)過(guò)調(diào)查研究，他們決定利用當(dāng)?shù)厥a(chǎn)的甲、乙兩種原料開(kāi)發(fā)A、B兩種商品．為科學(xué)決策，他們?cè)嚿a(chǎn)A、B兩種商品共100千克進(jìn)行深入研究，已知現(xiàn)有甲種原料293千克，乙種原料314千克，生產(chǎn)1千克A商品，1千克B商品所需要的甲、乙兩種原料及生產(chǎn)成本如表所示．

甲種原料（單位：千克）
乙種原料（單位：千克）
生產(chǎn)成本（單位：元）
A商品
3
2
120
B商品
2.5
3.5
200
設(shè)生產(chǎn)A種商品x千克，生產(chǎn)A、B兩種商品共100千克的總成本為y元，根據(jù)上述信息，解答下列問(wèn)題：
（1）求y與x的函數(shù)解析式（也稱(chēng)關(guān)系式），并直接寫(xiě)出x的取值范圍；
（2）x取何值時(shí)，總成本y最小？
【分析】（1）根據(jù)題意表示出兩種商品需要的成本，再利用表格中數(shù)據(jù)得出不等式組進(jìn)而得出答案；
（2）利用一次函數(shù)增減性進(jìn)而得出答案．
【解答】解：（1）由題意可得：y＝120x+200（100﹣x）＝﹣80x+20000，
，
解得：24≤x≤86；

（2）∵y＝﹣80x+20000，
∴y隨x的增大而減小，
∴x＝86時(shí)，y最小．
28．（1如圖①，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，0）且平行于y軸，二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c（a、c是常數(shù)，a＜0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（﹣1，1），交直線(xiàn)l于點(diǎn)N，圖象的頂點(diǎn)為D，它的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)C，直線(xiàn)DM、DN分別與x軸相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)及的值；
（2）隨著a的變化，的值是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖②，E是x軸上位于點(diǎn)B右側(cè)的點(diǎn)，BC＝2BE，DE交拋物線(xiàn)于點(diǎn)F．若FB＝FE，求此時(shí)的二次函數(shù)表達(dá)式．

【分析】（1）證明△DMG∽△DAC，△DCB∽△DTN，求出AC＝，BC＝，即可求解；
（2）點(diǎn)D（1，1﹣4a），N（4，1+5a），則ME＝2，DE＝﹣4a，由（1）的結(jié)論得：AC＝，BC＝，即可求解；
（3）利用△FHE∽△DCE，求出F（﹣，﹣a），即可求解．
【解答】解：（1）分別過(guò)點(diǎn)M、N作MG⊥CD于點(diǎn)E，NT⊥DC于點(diǎn)T，
∵M(jìn)G∥TN∥x軸，

∴△DMG∽△DAC，△DCB∽△DTN，
∴，＝，
∵a＝﹣1，則y＝﹣x2+2x+c，
將M（﹣1，1）代入上式并解得：c＝4，
∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+4，
則點(diǎn)D（1，5），N（4，﹣4），
則MG＝2，DG＝4，DC＝5，TN＝3，DT＝9，
∴，解得：AC＝，BC＝，
∴＝；

（2）不變，
理由：∵y＝ax2﹣2ax+c過(guò)點(diǎn)M（﹣1，1），則a+2a+c＝1，
解得：c＝1﹣3a，
∴y＝ax2﹣2ax+（1﹣3a），
∴點(diǎn)D（1，1﹣4a），N（4，1+5a），
∴MG＝2，DG＝﹣4a，DC＝1﹣4a，F(xiàn)N＝3，DF＝﹣9a，
由（1）的結(jié)論得：AC＝，BC＝，
∴＝；

（3）過(guò)點(diǎn)F作FH⊥x軸于點(diǎn)H，則FH∥l，則△FHE∽△DCE，

∵FB＝FE，F(xiàn)H⊥BE，
∴BH＝HE，
∵BC＝2BE，
則CE＝6HE，
∵CD＝1﹣4a，
∴FH＝，
∵BC＝，
∴CH＝×＝，
∴F（﹣+1，﹣a），
將點(diǎn)F的坐標(biāo)代入y＝ax2﹣2ax+（1﹣3a）＝a（x+1）（x﹣3）+1得：
﹣a＝a（﹣+1+1）（﹣+1﹣3）+1，
解得：a＝﹣或（舍棄），
經(jīng)檢驗(yàn)a＝﹣，
故y＝﹣x2+x+．
解法二：∵AC：BC＝3：2，BC＝2BE，
∴AC＝CE，
∴AD與DE關(guān)于直線(xiàn)CD對(duì)稱(chēng)，
∵AD，DE交拋物線(xiàn)于M，F(xiàn)，
∴M，F(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)CD對(duì)稱(chēng)，
∴F（3，1），
∴﹣a＝1，
∴a＝﹣．
故y＝﹣x2+x+．


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