?第4講 四邊形（精講）
目錄
第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶
第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試
第三部分：典型例題剖析
題型一：平行四邊形
角度1：平行四邊形的判定
角度2：平行四邊形的性質(zhì)
角度3：平行四邊形的判定與性質(zhì)綜合
角度4：三角形中位線
題型二：矩形
角度1：矩形的判定
角度2：矩形的性質(zhì)
角度3：矩形的判定與性質(zhì)綜合
題型三：菱形
角度1：菱形的判定
角度2：菱形的性質(zhì)
角度3：菱形的判定與性質(zhì)綜合
題型四：正方形
角度1：正方形的判定
角度2：正方形的性質(zhì)
角度3：正方形的判定與性質(zhì)綜合
題型五：四邊形綜合
角度1：中點(diǎn)四邊形
角度2：利用平行四邊形對(duì)稱性求陰影面積
角度3：平行四邊形中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題
角度4：四邊形綜合問(wèn)題
題型六：多邊形問(wèn)題
角度1：多邊形內(nèi)角和
角度2：多邊形外角和
角度3：多邊形對(duì)角線
角度4：平面鑲嵌
第四部分：中考真題感悟


第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶
知識(shí)點(diǎn)一：平行四邊形定義
兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形. 平行四邊形記作“，讀作“平行四邊形”.

知識(shí)點(diǎn)二：平行四邊形的性質(zhì)
1．邊的性質(zhì)：平行四邊形兩組對(duì)邊平行且相等；且；且；
2．角的性質(zhì)：平行四邊形鄰角互補(bǔ)，對(duì)角相等；；
3．對(duì)角線性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)角線互相平分；；
4．平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)為對(duì)稱中心；
5.平行四邊形面積等于底和底邊上的高的積



知識(shí)點(diǎn)三：平行四邊形的判定
1.兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；
2.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
3.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；
4.兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；
5.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
知識(shí)點(diǎn)四：矩形定義
有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形，記作：矩形

矩形與平行四邊形的關(guān)系：矩形是特殊的平行四邊形
知識(shí)點(diǎn)五：矩形的性質(zhì)
① 矩形作為特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質(zhì)：
對(duì)邊平行且相等 ；對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ) ；對(duì)角線互相平分
② 性質(zhì)1：矩形的四個(gè)角都是直角
幾何語(yǔ)言：
∵四邊形是矩形
∴
③ 性質(zhì)2：矩形對(duì)角線相等
幾何語(yǔ)言：
∵四邊形是矩形
∴
④矩形是軸對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸.
知識(shí)點(diǎn)六：矩形的判定
判定1：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．（定義）
幾何語(yǔ)言：
∵四邊形是平行四邊形，
∴四邊形是矩形
判定2：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形
符號(hào)語(yǔ)言：
在四邊形中，
∴四邊形是矩形

判定3：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．
符號(hào)語(yǔ)言：
∵四邊形是平行四邊形，，
∴四邊形是矩形．

知識(shí)點(diǎn)七：菱形定義
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
知識(shí)點(diǎn)八：菱形的性質(zhì)
菱形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)：
1.菱形的四條邊都相等；
2.菱形的兩條對(duì)角線互相垂直平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.
3.菱形也是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸（對(duì)角線所在的直線），對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是對(duì)稱中心.
知識(shí)點(diǎn)九：菱形判定
菱形的判定方法有三種：
1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.
2.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
3.四條邊相等的四邊形是菱形.
知識(shí)點(diǎn)十：正方形定義
四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形.

知識(shí)點(diǎn)十一：正方形性質(zhì)
1、正方形具有平行四邊形和菱形的所有性質(zhì)。
2、正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等。
3、正方形對(duì)邊平行且相等。
4、正方形的對(duì)角線互相垂直平分且相等，對(duì)角線平分對(duì)角；
5、正方形的兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；
6、正方形既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形.
知識(shí)點(diǎn)十二：正方形的判定
1、對(duì)角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形
2、有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形
3、有一組鄰邊相等的矩形是正方形
4、對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形
5、有一個(gè)角是直角的菱形是正方形
6、對(duì)角線相等的菱形是正方形
知識(shí)點(diǎn)十三：多邊形定義
在平面內(nèi)不在同一直線上的一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形．其中，各個(gè)角相等、各條邊相等的多邊形叫做正多邊形．
（1）相關(guān)概念：
邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊．
頂點(diǎn)：每相鄰兩條邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn)．
內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角，一個(gè)n邊形有n個(gè)內(nèi)角.
外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角.
對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線．

知識(shí)點(diǎn)十四：多邊形性質(zhì)
（1）多邊形內(nèi)角和
邊形的內(nèi)角和為()．
內(nèi)角和公式的應(yīng)用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)；(2)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，都等于；
（2）多邊形的外角和
多邊形的外角和為360°．
①在一個(gè)多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和．邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān)；
②正邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，所以它的每個(gè)外角都相等，都等于；
③多邊形的外角和為360°的作用是：已知各相等外角度數(shù)求多邊形邊數(shù)；已知多邊形邊數(shù)求各相等外角的度數(shù)．
（3）對(duì)角線
過(guò)變形一個(gè)頂點(diǎn)可引條對(duì)角線，變形共有條對(duì)角線
知識(shí)點(diǎn)十五：正多邊形的性質(zhì)
（1）邊：正邊形的各邊相等
（2）內(nèi)角：正邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，等于
（3）外角：正邊形的每個(gè)外角都相等，等于
（4）對(duì)稱軸：正邊有條對(duì)稱軸.
第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試
1．（2022秋·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，那么的大小是（????）

A． B． C． D．
2．（2022秋·河北保定·八年級(jí)校考期中）如圖，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設(shè)內(nèi)角和的度數(shù)與四邊形外角和的度數(shù)分別為，，則下列說(shuō)法正確的是（????）

A． B． C． D．無(wú)法比較與的大小
3．（2022春·廣東江門·八年級(jí)校聯(lián)考期中）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（????）
A．菱形的對(duì)角線互相垂直且平分 B．矩形的對(duì)角線相等
C．有一組鄰邊相等的四邊形是菱形 D．四條邊相等的四邊形是菱形
4．（2022春·廣東江門·八年級(jí)校考期中）如圖，下列四組條件中，不能判定四邊形是平行四邊形的是（????）

A．， B．，
C．， D．，
5．（2022秋·湖南株洲·九年級(jí)校考期末）下列說(shuō)法正確的是（　?。?br /> A．有兩條邊和一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 B．矩形的對(duì)角線互相垂直平分
C．菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角 D．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形
6．（2022秋·四川瀘州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于，則它是________邊形．
7．（2022秋·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）一個(gè)正多邊形每個(gè)內(nèi)角與它相鄰?fù)饨堑亩葦?shù)比為，則這個(gè)正多邊形是__________．
8．（2022秋·山西朔州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在四邊形中，，若沿圖中虛線剪去，則_________．

第三部分：典型例題剖析
題型一：平行四邊形
角度1：平行四邊形的判定
典型例題
例題1．（2023春·福建廈門·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形的對(duì)角線，交于點(diǎn)，則添加下列條件，一定可使四邊形ABCD成為平行四邊形的是（??）

A． B．，
C．平分 D．，
例題2．（2022秋·安徽合肥·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列條件不能判定四邊形是平行四邊形的是（　?。?br /> A． ， B．，
C． D．
例題3．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）已知、、三點(diǎn)不在同一條直線上，則以這三點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形共有（????）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
例題4．（2022春·天津·八年級(jí)天津二中校考期中）如圖,在平行四邊形中,,,、相交于點(diǎn),則圖中共有__________個(gè)平行四邊形.



例題5．（2022春·廣東江門·八年級(jí)?？计谥校┮阎喝鐖D，在平行四邊形中，點(diǎn)、在對(duì)角線上，且，，
(1)求證：；
(2)求證：四邊形是平行四邊形．




例題6．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶八中?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形是矩形，連接交于點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)．

(1)尺規(guī)作圖：作的角平分線交于點(diǎn)，連接；（保留作圖痕跡，不寫作法）
(2)求證：四邊形是平行四邊形．
證明：∵四邊形是矩形
∴，
∴　 　
∵平分，平分
∴
∴　 　
∵在和中

∴　 　
∴　 　
又∵
∴四邊形是平行四邊形
例題7．（2022秋·重慶·九年級(jí)重慶一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，是上一點(diǎn)，連接．
(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：在矩形內(nèi)部作交于點(diǎn)（不寫作法和證明，保留作圖痕跡）．
(2)在（1）所作的圖形中，求證：四邊形是平行四邊形（請(qǐng)補(bǔ)全下面的證明過(guò)程，除題目給的字母外，不添加其它字母或者符號(hào)）．
（2）證明：
∵四邊形為矩形
∴，， ①
∵
∴ ②
∴，
∴ ③
即 ④
又∵
∴四邊形是平行四邊形．














例題8．（2022春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在四邊形中，對(duì)角線交于點(diǎn)O， ，，點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)F是中點(diǎn)，連接．

(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，延長(zhǎng)分別交邊于點(diǎn)、，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，在不添加任何輔助線的情況下，直接寫出圖2中所有的平行四邊形．









角度2：平行四邊形的性質(zhì)
典型例題
例題1．（2023秋·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為，則對(duì)角線的長(zhǎng)為（　?。?br />
A． B． C． D．
例題2．（2022春·山東臨沂·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，是面積為的內(nèi)任意一點(diǎn)，的面積為，的面積為，則（????）

A． B．
C． D．的大小與點(diǎn)位置有關(guān)
例題3．（2022秋·湖北襄陽(yáng)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，中，連接，是上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，則________．

例題4．（2022春·安徽安慶·八年級(jí)安慶市石化第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，中，，，平分交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為________ ．

例題5．（2022春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與，分別相交于點(diǎn)，，求證：．






例題6．（2022春·江蘇鹽城·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，

(1)若點(diǎn)、是、的中點(diǎn)，連接、，求證：；
(2)若平分且交邊于點(diǎn)，如果，，試求線段的長(zhǎng)．







例題7．（2023秋·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，已知，點(diǎn)在上以的速度從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在上以的速度從點(diǎn)出發(fā)往返運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)（同時(shí)點(diǎn)也停止），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（s）．

(1)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，線段的長(zhǎng)度為 ________cm ；
當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，線段的長(zhǎng)度為 ________cm ；
當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)5秒時(shí)，線段的長(zhǎng)度為 ________cm；
(2)若經(jīng)過(guò)秒，以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．請(qǐng)求出所有的值






角度3：平行四邊形的判定與性質(zhì)綜合
典型例題
例題1．（2022春·貴州黔東南·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，、分別是、的中點(diǎn)，在延長(zhǎng)線上，使，，，則四邊形的周長(zhǎng)為（????）

A．16 B．20 C．18 D．22
例題2．（2022春·浙江杭州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在平行四邊形中，已知，，，，分別是線段，的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為______ ．


例題3．（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)，分別在邊，上，且四邊形為正方形．

(1)求證：；
(2)若平行四邊形的面積為，，直接寫出線段的長(zhǎng)為 ___________．






例題4．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在菱形中，、交于點(diǎn)，，．

(1)求證：；
(2)不添加任何輔助線的情況下，直接寫出圖中所有的平行四邊形．






例題5．（2022秋·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線分別交，，交于點(diǎn)，，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且，．

(1)若，求證：平分；
(2)若，在不添加任何輔助線的條件下，你能找出圖中有幾對(duì)三角形全等，分別是哪些？請(qǐng)寫出其中一對(duì)三角形全等的理由．








例題6．（2022秋·山東青島·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖在平行四邊形中，為對(duì)角線 的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線 分別交，于點(diǎn)，．

(1)求證：；
(2)從下列條件中任選一個(gè)作為已知條件后，試判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論．①，②．
選擇的條件：_________（填寫序號(hào)）．（注：如果選擇①，②分別進(jìn)行解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）

角度4：三角形中位線
典型例題
例題1．（2022秋·廣東深圳·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為（　?。?br />
A．3 B．4 C．5 D．6
例題2．（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，分別是邊，的中點(diǎn)．若的面積為，則四邊形的面積為（　?。?br />
A． B．1 C． D．2
例題3．（2022春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，兩點(diǎn)被池塘隔開，在外選一點(diǎn)，連接和．分別取，的中點(diǎn)，，測(cè)得，兩點(diǎn)間的距離為30m，則，兩點(diǎn)間的距離為______m，解決問(wèn)題的依據(jù)是_______．

例題4．（2022秋·上海普陀·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作，分別交于點(diǎn)，交于點(diǎn).

(1)求證：；
(2)如果，求證：.



例題5．（2022春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）要測(cè)量，兩地的距離，小明想出一個(gè)方法：在池塘外取點(diǎn)，得到線段，，并取，的中點(diǎn)，，連結(jié)．只要測(cè)出的長(zhǎng)，就可以求得，兩地的距離．你認(rèn)為這個(gè)方法正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．




題型一同類題型歸類練
1．（2022秋·浙江溫州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)P是的重心，過(guò)點(diǎn)P作交，于D，E，交于點(diǎn)F，若，則的長(zhǎng)為（　?。?br />
A． B． C． D．
2．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┮阎c(diǎn)是直線外一點(diǎn)，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)用了4種不同的尺規(guī)作圖方法想過(guò)點(diǎn)作直線的平行線，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，直線不一定與直線平行的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
3．（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級(jí)濟(jì)寧市第十五中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，于E，于F，，平行四邊形的周長(zhǎng)為60，則平行四邊形的面積是（????）

A．36 B．48 C．63 D．75
4．（2022秋·上海青浦·八年級(jí)校考期末）如圖，平行四邊形中，，，垂足分別是、，，，，則平行四邊形的周長(zhǎng)為______．

5．（2022秋·山東菏澤·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，D、E分別為、的中點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)B作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則四邊形的面積為 _____．

6．（2022春·湖南湘西·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，連接，若，，則的長(zhǎng)是______．

7．（2022春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，平行四邊形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線分別交于點(diǎn)，若，，，則圖中陰影部分的面積是__________．

8．（2022·模擬預(yù)測(cè)）如圖，中，，，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，則的周長(zhǎng)是______．


9．（2022·江蘇揚(yáng)州·?？级＃┤鐖D，平行四邊形中，點(diǎn)E在上，以為折痕，把向上翻折，點(diǎn)A正好落在邊的點(diǎn)F處，若的周長(zhǎng)為6，的周長(zhǎng)為，那么的長(zhǎng)為_________．


題型二：矩形
角度1：矩形的判定
典型例題
例題1．（2022秋·陜西咸陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，，、相交于點(diǎn)，連接．求證：四邊形是矩形．

例題2．（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)沈陽(yáng)市第一二六中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，將平行四邊形的邊延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接交于點(diǎn)，連接，若．求證：四邊形是矩形．

例題3．（2022秋·陜西漢中·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的對(duì)角線交于點(diǎn)，點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，連接，且，．求證：四邊形是矩形．



例題4．（2022春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知：如圖，將矩形紙的四個(gè)角向內(nèi)折起，恰好拼成一個(gè)無(wú)縫隙、無(wú)重疊的四邊形．

(1)求證：四邊形是矩形．
(2)若，求邊的長(zhǎng)．



例題5．（2022春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知：如圖，，，在同一條直線上，，分別是與的平分線，，，為垂足．求證：四邊形是矩形．



例題6．（2022春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知：如圖，在正方形中，是對(duì)角線上的一點(diǎn)，，，，分別為垂足，連結(jié)，，求證：．



角度2：矩形的性質(zhì)
典型例題
例題1．（2022秋·安徽宣城·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，于點(diǎn)，設(shè)，且，，則的長(zhǎng)為（???）

A． B． C． D．
例題2．（2022秋·山西晉中·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形的周長(zhǎng)為28cm，對(duì)角線，將矩形分成四個(gè)小三角形，若四個(gè)小三角形的周長(zhǎng)和為68cm，的長(zhǎng)度為（????）

A．10cm B．14cm C．16cm D．無(wú)法確定
例題3．（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將矩形紙片沿折疊，使點(diǎn)落在對(duì)角線上的處．若，則等于（　?。?br />
A． B． C． D．
例題4．（2022秋·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡雙語(yǔ)實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形的邊在的邊上，兩點(diǎn)、分別在邊、上，已知cm， cm，cm，那么的面積是_______．

例題5．（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，將矩形沿折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，則折痕的長(zhǎng)為_____．

例題6．（2022秋·湖南常德·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊向點(diǎn)以的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，且當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止移動(dòng)．問(wèn)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)開始后第幾秒時(shí)，的面積等于？

例題7．（2022秋·陜西西安·九年級(jí)交大附中分校校考階段練習(xí)）如圖，已知、是矩形的對(duì)角線，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于．求證：．

例題8．（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)和點(diǎn)分別從點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)沿折線按點(diǎn)方向向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)沿線段按方向向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)和點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度都是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒）．

(1)當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)；
(2)當(dāng)?shù)拿娣e是矩形面積的時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值；
(3)若點(diǎn)不與點(diǎn)和點(diǎn)重合，在點(diǎn)和點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，矩形的邊上有一點(diǎn)，且點(diǎn)，，，構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．





角度3：矩形的判定與性質(zhì)綜合
典型例題
例題1．（2022秋·廣東深圳·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知在矩形中，，為對(duì)角線上的一動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)接，連接．若，則的最小值為（????）．

A． B． C． D．
例題2．（2022秋·廣東揭陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，分別是，的中點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)是______．





例題3．（2022秋·四川成都·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，且．

(1)求證：四邊形為矩形；
(2)若，，，求矩形的面積．




例題4．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接，分別過(guò)點(diǎn)，作，交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．

(1)求證：四邊形是矩形；
(2)若，，則的長(zhǎng)為___________．

題型二同類題型歸類練
1．（2022秋·山西呂梁·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，某公司準(zhǔn)備在一個(gè)等腰直角三角形的綠地上建造一個(gè)矩形的休閑書吧，其中點(diǎn)P在上點(diǎn)N，M分別在，上，記，，圖中陰影部分的面積為S，若在一定范圍內(nèi)變化，則y與x，S與x滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（???）

A．一次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系 B．二次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系
C．二次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系 D．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系
2．（2022秋·重慶九龍坡·八年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，M為的中點(diǎn)，H為上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，，則四邊形周長(zhǎng)的最小值是（????）

A．28 B．26 C．22 D．18
3．（2022秋·廣東深圳·八年級(jí)深圳市高級(jí)中學(xué)校考期中）如圖，在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)P是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，則下列結(jié)論：
① ；
②當(dāng)時(shí)，平分；
③連接，周長(zhǎng)的最小值為；
④當(dāng)或6或時(shí)，為等腰三角形．
其中正確的個(gè)數(shù)有??????????????????????????????????????（????????）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
4．（2022秋·浙江溫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，△ABC中，，AD為BC上的高線，E為AB邊上一點(diǎn)，于點(diǎn)F，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，已知，則AD的長(zhǎng)為_______．

5．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)長(zhǎng)春市解放大路學(xué)校?？计谀┤鐖D，在中，，且，，點(diǎn)是斜邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，則線段的最小值為______．

6．（2022秋·陜西寶雞·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，四邊形是平行四邊形，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，，連接，．

(1)求證：四邊形是矩形．
(2)若是的平分線．若 ，，求的長(zhǎng)．

7．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在矩形中，是對(duì)角線于點(diǎn)，于點(diǎn)．
(1)如圖1，求證；

(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，連接、、、交于點(diǎn)，在不添加任何軸助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中四個(gè)三角形，使寫出的每個(gè)三角形的面積都等于矩形面積的．




題型三：菱形
角度1：菱形的判定
典型例題
例題1．（2022秋·廣東佛山·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）順次連接矩形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是（　?。?br /> A．菱形 B．矩形 C．平行四邊形 D．正方形
例題2．（2022秋·山東青島·九年級(jí)青島三十九中?？计谀┫铝忻}中，真命題是（????）
A．對(duì)角線相等的四邊形是矩形 B．對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形
C．對(duì)角線相等的四邊形是平行四邊形 D．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形
例題3．（2022秋·湖北黃石·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，是正方形對(duì)角線上的兩點(diǎn)，且，連接，，，，求證：四邊形是菱形．

例題4．（2022秋·陜西咸陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，是對(duì)角線，且，、分別為邊的中點(diǎn)，連接．求證：四邊形是菱形．

例題5．（2022秋·山西晉中·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知平行四邊形中，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接和．

(1)求證：
(2)請(qǐng)你給圖中補(bǔ)充適當(dāng)?shù)臈l件，使四邊形成為菱形；請(qǐng)結(jié)合補(bǔ)充條件證明；




例題6．（2022秋·山東青島·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，相交于點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)．

(1)求證：；
(2)連接，，已知_______（從以下兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知，填寫序號(hào)），請(qǐng)判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論．
條件①：；
條件②：．


角度2：菱形的性質(zhì)
典型例題
例題1．（2022春·海南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，是的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，則等于（????）

A．30° B．45° C．60° D．120°
例題2．（2022秋·廣東深圳·九年級(jí)期末）如圖，菱形中，,分別是，的中點(diǎn)．若菱形的周長(zhǎng)為32，則線段的長(zhǎng)為（????）

A．4 B．6 C．8 D．12
例題3．（2022秋·江西九江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，交對(duì)角線于點(diǎn)，若，，則________．

例題4．（2022秋·陜西西安·九年級(jí)交大附中分校?？计谀┤鐖D，菱形的對(duì)角線、相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，，若菱形的面積為12，則的長(zhǎng)為_________．

例題5．（2022春·山東泰安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是菱形的對(duì)角線的交點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)．下列結(jié)論：①四邊形是菱形；②；③；④是軸對(duì)稱圖形．其中正確的結(jié)論有______．

例題6．（2022秋·陜西西安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，于點(diǎn)，，，求菱形的邊長(zhǎng)．





例題7．（2022秋·陜西榆林·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知四邊形是菱形，且于點(diǎn)，于點(diǎn)．

(1)求證：；
(2)若，，求菱形的面積．


角度3：菱形的判定與性質(zhì)綜合
典型例題
例題1．（2022春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在的兩邊上分別截取，使；分別以點(diǎn)、為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)；連接．若，四邊形的面積為則的長(zhǎng)為（????）

A．2 B．3 C．4 D．5
例題2．（2022春·四川成都·九年級(jí)成都市第二十中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)是菱形的對(duì)角線延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作，延長(zhǎng)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)，若，，則的值為______．

例題3．（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在給定的一張平行四邊形紙片上，用尺規(guī)作出四邊形，具體作法如下：分別作的平分線，分別交于，連接，若，則四邊形的周長(zhǎng)是______．



例題4．（2022秋·山東菏澤·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知矩形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)．分別過(guò)點(diǎn)、作、的平行線交于點(diǎn)．

(1)求證：四邊形為菱形．
(2)若，，求菱形的面積．





例題5．（2022秋·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)長(zhǎng)沙麓山外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，對(duì)角線交于點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)作，的平行線交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．

(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若，，求菱形的面積．







例題6．（2022秋·陜西咸陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在四邊形中，，是的中點(diǎn)，，．

(1)求證：四邊形是菱形；
(2)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)F，若，，求的長(zhǎng)．



題型三同類題型歸類練
1．（2022春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在的兩邊上分別截取，使；分別以點(diǎn)A、B為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C；連接．若，四邊形的面積為則的長(zhǎng)為（????）

A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2022春·四川成都·九年級(jí)成都市第二十中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)是菱形的對(duì)角線延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作，延長(zhǎng)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)，若，，則的值為______．

3．（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在給定的一張平行四邊形紙片上，用尺規(guī)作出四邊形，具體作法如下：分別作的平分線，分別交于，連接，若，則四邊形的周長(zhǎng)是______．

4．（2022秋·山東菏澤·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知矩形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)．分別過(guò)點(diǎn)、作、的平行線交于點(diǎn)．

(1)求證：四邊形為菱形．
(2)若，，求菱形的面積．




5．（2022秋·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)長(zhǎng)沙麓山外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，對(duì)角線交于點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)作，的平行線交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．

(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若，，求菱形的面積．




6．（2022秋·陜西咸陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在四邊形中，，E是的中點(diǎn)，，．

(1)求證：四邊形是菱形；
(2)過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F，若，，求的長(zhǎng)．



7．（2022春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形和四邊形都是菱形，點(diǎn)E，F(xiàn)在上已知，，求：

(1)的度數(shù)．
(2)的度數(shù)．




8．（2022秋·福建三明·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，，，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，，．

(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若，，求的面積．









題型四：正方形
角度1：正方形的判定
典型例題
例題1．（2022秋·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（????）
A．對(duì)角線相等的菱形是正方形
B．對(duì)角線垂互相平分且垂直的四邊形是菱形
C．對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形
D．對(duì)角線垂直且相等的四邊形是正方形
例題2．（2022秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，對(duì)角線、交于點(diǎn)，添加下列一個(gè)條件，能使矩形成為正方形的是　　

A． B． C． D．
例題3．（2022秋·山東菏澤·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，點(diǎn)，分別在邊上，，且，與相交于點(diǎn)．求證：矩形為正方形；



例題4．（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，過(guò)點(diǎn)的直線，為邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交直線于，垂足為，連接、．

(1)求證：；
(2)當(dāng)在中點(diǎn)時(shí)，四邊形是什么特殊四邊形？請(qǐng)說(shuō)明你的理由；
(3)若為中點(diǎn)，則當(dāng)?shù)拇笮M足什么條件時(shí)，四邊形是正方形？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．


例題5．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)．

(1)求證：
(2)求證：四邊形是菱形
(3)給三角形添加一個(gè)條件_________，使得四邊形是正方形，并證明你的結(jié)論．



角度2：正方形的性質(zhì)
典型例題
例題1．（2022秋·廣東江門·九年級(jí)新會(huì)陳經(jīng)綸中學(xué)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)是正方形內(nèi)一點(diǎn)，把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至的位置，則的度數(shù)是（　?。?br />
A． B． C． D．
例題2．（2022秋·河南南陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D為6個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形的組合圖形，則（????）

A．135° B．125° C．120° D．90°
例題3．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)期末）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)，分別在上，，連接與相交于點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為（????）

A． B． C．5 D．
例題4．（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的黃金分割點(diǎn)，，以為邊的正方形的面積為，以、為邊的長(zhǎng)方形的面積為，則與的關(guān)系為（　?。?br />
A． B． C． D．無(wú)法判斷
例題5．（2022秋·河南安陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，點(diǎn)在線段上，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)F，若四邊形為正方形，，，則陰影部分的面積為________．（提示：線段可看作由繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到）

例題6．（2022秋·河南商丘·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，四邊形是正方形，、分別在邊上，將分別沿折疊后，重合于的位置，且點(diǎn)恰好在連線上．若正方形邊長(zhǎng)為12，線段長(zhǎng)為10，則的長(zhǎng)為 _____．

例題7．（2022春·江蘇泰州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為6cm的正方形先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，此時(shí)陰影部分的面積為________cm2

例題8．（2022秋·重慶九龍坡·九年級(jí)重慶市楊家坪中學(xué)?？计谀┤鐖D，在正方形中，點(diǎn)在上，連接．
（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：過(guò)點(diǎn)作的垂線，分別與、交于點(diǎn)、；（不寫作法和證明，保留作圖痕跡）
（2）在（1）所作的圖形中，求證：．（請(qǐng)補(bǔ)全下面的證明過(guò)程）

證明：四邊形是正方形，
，
，
，
，
__________，
__________，
又，
____________________，
在和中：
（____________________），
．
．

角度3：正方形的判定與性質(zhì)綜合
典型例題
例題1．（2022秋·福建三明·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理構(gòu)造的圖形，后人稱之為“趙爽弦圖”．該圖形由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成，若，，則四邊形的面積為（?????）

A． B． C． D．
例題2．（2022秋·廣東深圳·九年級(jí)深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）?？计谀┤鐖D，點(diǎn)，分別在正方形的邊，上，E為中點(diǎn)，連接，正方形的邊恰好在上，若正方形邊長(zhǎng)為7，則正方形面積為__________．

例題3．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？计谥校┮阎叫蔚倪呴L(zhǎng)為8，點(diǎn)為正方形邊上一點(diǎn)，，則線段的長(zhǎng)為______．
例題4．（2022·江蘇南京·南師附中樹人學(xué)校?？级＃┤鐖D，在正方形中，，分別是的中點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)是____．



例題5．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)期末）如圖，正方形中，，點(diǎn)是對(duì)角線上的一點(diǎn)，連接．過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，以，為鄰邊作矩形，連接．

(1)求證：矩形是正方形；
(2)求的值；
(3)若恰為的中點(diǎn)，求正方形的面積．







例題6．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知四邊形為正方形，，點(diǎn)為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，以為鄰邊作矩形，連接．

(1)求證：矩形是正方形；
(2)探究：的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．






題型四同類題型歸類練
1．（2022春·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，CE，DF交于點(diǎn)G，連接AG．下列結(jié)論：①CE=DF；②CE⊥DF；③∠AGE=∠CDF；④AD=AG．其中正確的結(jié)論有（　?。﹤€(gè)．

A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022秋·安徽宿州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)M在上，且，點(diǎn)N是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（????）

A．3 B．4 C．5 D．
3．（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）我們知道，兩條鄰邊之比等于黃金分割數(shù)的矩形叫做黃金矩形．如圖，已知矩形ABCD是黃金矩形，點(diǎn)E在邊BC上，將這個(gè)矩形沿直線AE折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)F處，那么EF與CE的比值等于________．

4．（2022·北京海淀·八年級(jí)校考期中）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，滿足∠AEB＝90°且∠BAE＜45°，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BE交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

(1)依題意補(bǔ)全圖形；
(2)用等式表示線段EF，DF，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．




5．（2022春·安徽六安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G分別在BC、AB和CD上．FG⊥ED，垂足為H．

(1)如圖1，點(diǎn)G與點(diǎn)C重合，求證FG=ED；
(2)如圖2，點(diǎn)G與點(diǎn)C不重合，延長(zhǎng)FG交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，若H為FM的中點(diǎn)，求證：AF=CM；
(3)在（2）的條件下，若AF=1、BF=2，求BE的長(zhǎng)；


6．（2022春·浙江杭州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知：如圖，在正方形中，E，F(xiàn)分別是，上的點(diǎn)，，相交于點(diǎn)P，并且．

(1)如圖1，判斷和的位置關(guān)系？并說(shuō)明理由；
(2)若，，求的長(zhǎng)度；
(3)如圖2，，，點(diǎn)F在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)F不與C、D重合)，四邊形是否能否成為正方形？請(qǐng)說(shuō)明理由．

題型五：四邊形綜合
角度1：中點(diǎn)四邊形
典型例題
例題1．（2022秋·廣東佛山·九年級(jí)?？计谥校╉槾芜B接正方形四邊中點(diǎn)得到的四邊形是（????）
A．正方形 B．菱形 C．平行四邊形 D．矩形
例題2．（2022春·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，順次連接矩形四邊的中點(diǎn)得到四邊形若，，則四邊形的周長(zhǎng)等于（????）

A． B． C． D．
例題3．（2022秋·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，順次連接四邊形各邊中點(diǎn)得到四邊形，使四邊形為正方形，應(yīng)添加的條件分別是（????）

A．且 B．且
C．且 D．且
例題4．（2022秋·廣東梅州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形中，對(duì)角線，且，，各邊中點(diǎn)分別為，，，，順次連接得到四邊形；再取各邊中點(diǎn)，，，，順次連接得到四邊形；依此類推，這樣得到四邊形，則四邊形的面積為____．

角度2：利用平行四邊形對(duì)稱性求陰影面積
典型例題
例題1．（2022秋·陜西渭南·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在矩形中，，，點(diǎn)，，，依次是邊，，，上的點(diǎn)（不與各頂點(diǎn)重合），且，記四邊形面積為（圖中陰影），則的最大值為_________．

例題2．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，點(diǎn)是邊長(zhǎng)為2的正方形的對(duì)稱中心，過(guò)點(diǎn)O作，分別交正方形邊于、、、，則當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，圖中的陰影部分是否關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱？這兩部分的面積是否改變？請(qǐng)說(shuō)明理由．











角度3：平行四邊形中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題
典型例題
例題1．（2022秋·山東東營(yíng)·八年級(jí)東營(yíng)市東營(yíng)區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┤鐖D，在四邊形中，，，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以的速度沿運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)的同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．

(1)從運(yùn)動(dòng)開始，當(dāng)取何值時(shí)，四邊形是平行四邊形？
(2)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在以為腰的等腰三角形？若存在，求出時(shí)間的值；若不存在，說(shuō)明理由．




例題2．（2022春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，在線段上以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒）．

(1)線段的長(zhǎng)為________．
(2)用含的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)．
(3)求當(dāng)為何值時(shí)，以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？
(4)直接寫出以線段為腰，為等腰三角形時(shí)的值．


角度4：四邊形綜合問(wèn)題
典型例題
例題1．（2023秋·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）1.如圖，在矩形中，，點(diǎn)從以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，，停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，則當(dāng)四邊形為矩形時(shí)，的值為（????）

A．1 B．2 C．3 D．4
例題2．（2023秋·廣東梅州·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，、、、分別是、、、的中點(diǎn)，則四邊形的周長(zhǎng)是（???）

A． B． C． D．
例題3．（2023秋·北京海淀·九年級(jí)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，點(diǎn)，，，分別為四邊形四條邊，,，的中點(diǎn)，則關(guān)于四邊形，下列說(shuō)法正確的是（????）

A．不一定是平行四邊形 B．當(dāng)時(shí)，它為菱形
C．一定是軸對(duì)稱圖形 D．不一定是中心對(duì)稱圖形






例題4．（2023·四川·九年級(jí)專題練習(xí)）對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形，對(duì)角線交于點(diǎn)．若，則__________．

例題5．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）（1）問(wèn)題背景：如圖1，在四邊形中，，，．分別是上的點(diǎn)，且，請(qǐng)?zhí)骄繄D中線段之間的數(shù)量關(guān)系是什么？
小明探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連結(jié)．先證明，得；再由條件可得，證明，進(jìn)而可得線段之間的數(shù)量關(guān)系是　????。?br /> （2）拓展應(yīng)用：如圖2，在四邊形中，，．分別是上的點(diǎn)，且．問(wèn)（1）中的線段之間的數(shù)量關(guān)系是否還成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．






題型五同類題型歸類練
1．（2022春·四川成都·八年級(jí)?？计谀╉槾芜B接四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是菱形，則原四邊形一定是(????)
A．平行四邊形 B．對(duì)角線相等的四邊形
C．矩形 D．對(duì)角線互相垂直的四邊
2．（2022秋·福建漳州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）依次連接下列四邊形四條邊的中點(diǎn)得到四邊形不是菱形的是（????）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
3．（2022春·浙江金華·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖 ，在平行四邊形中 ， ， ， ， 點(diǎn)、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)．連接、 ，點(diǎn)為的中點(diǎn) ，點(diǎn)為的中點(diǎn) ，連接．則的最大值與最小值的差為（???????）

A．2 B． C． D．
4．（2022春·江西贛州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，，，、分別為、的中點(diǎn)，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（????）

A．3 B． C．4 D．
5．（2022·江蘇泰州·校聯(lián)考三模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿對(duì)角線方向運(yùn)動(dòng)．已知P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若將沿翻折，翻折前后兩個(gè)三角形組成的四邊形為菱形，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值為______．


6．（2022春·重慶大足·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在正方形中，，點(diǎn)E、F分別為上一點(diǎn)，且，連接，則的最小值是________________．

7．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）【圖形定義】有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．

【問(wèn)題探究】
(1)如圖①，已知矩形是“等鄰邊四邊形”，則矩形___________（填“一定”或“不一定”）是正方形；
(2)如圖②，在菱形中，，，動(dòng)點(diǎn)、分別在、上（不含端點(diǎn)），若，試判斷四邊形是否為“等鄰邊四邊形”？如果是“等鄰邊四邊形”，請(qǐng)證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；此時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)的最小值為___________；
【嘗試應(yīng)用】
(3)現(xiàn)有一個(gè)平行四邊形材料，如圖③，在中，，，，點(diǎn)在上，且，在邊上有一點(diǎn)，使四邊形為“等鄰邊四邊形”，請(qǐng)直接寫出此時(shí)四邊形ABEP的面積可能為的值___________．









8．（2022秋·山西運(yùn)城·九年級(jí)山西省運(yùn)城市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，，，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，都以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D后停止，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B后停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1)當(dāng)時(shí)，t的值為______．
(2)當(dāng)時(shí)，求t的值．
(3)在點(diǎn)P和點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在，你的判斷是______（填“存在”或“不存在”）．



題型六：多邊形問(wèn)題
角度1：多邊形內(nèi)角和
典型例題
例題1．（2023秋·山西忻州·八年級(jí)忻州師范學(xué)院附屬外國(guó)語(yǔ)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1080°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
例題2．（2023秋·廣東潮州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）正多邊形的一個(gè)內(nèi)角等于，則該多邊形是正（? ? ）邊形．
A． B． C． D．
例題3．（2023秋·廣東潮州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，若沿圖中虛線截去，則______.

例題4．（2023秋·廣東廣州·八年級(jí)廣東華僑中學(xué)?？计谀┮粋€(gè)多邊形的每一個(gè)外角都是，則這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是_________________．
角度2：多邊形外角和
典型例題
例題1．（2023秋·河北唐山·八年級(jí)唐山市第十二中學(xué)?？计谀┮粋€(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它外角和的倍，這個(gè)多邊形是（????）邊形．
A．15 B．16 C．17 D．18
例題2．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，七邊形中，，的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，若 ， ， ， 的外角的度數(shù)和為，則的度數(shù)為（　?。?br />
A． B． C． D．
例題3．（2022·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）一個(gè)正多邊形的周長(zhǎng)為60，邊長(zhǎng)為，一個(gè)外角為．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．

角度3：多邊形對(duì)角線
典型例題
例題1．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）若過(guò)一個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)將多邊形分割成個(gè)三角形，則該多邊形的邊數(shù)為（????）
A．9 B．8 C．7 D．6
例題2．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）若從邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫出條對(duì)角線，則的值是（???）
A． B． C． D．
例題3．（2022秋·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的5倍，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．
（2）此時(shí)該多邊形的對(duì)角線共有多少條？




例題4．（2022秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）探究歸納題：
（1）試驗(yàn)分析：
如圖1，經(jīng)過(guò)點(diǎn)可以做1條對(duì)角線；同樣，經(jīng)過(guò)點(diǎn)可以做1條對(duì)角線；經(jīng)過(guò)點(diǎn)可以做1條對(duì)角線；經(jīng)過(guò)點(diǎn)可以做1條對(duì)角線．通過(guò)以上分析和總結(jié)，圖1共有________條對(duì)角線；
（2）拓展延伸：運(yùn)用（1）的分析方法，可得：圖2共有________條對(duì)角線；圖3共有________條對(duì)角線；
（3）探索歸納：對(duì)于邊形（），共有________條對(duì)角線；（用含的式子表示）
（4）特例驗(yàn)證：十邊形有________對(duì)角線．



角度4：平面鑲嵌
典型例題
例題1．（2022秋·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖是某小區(qū)花園內(nèi)用正邊形鋪設(shè)的小路的局部示意圖，若用3塊正邊形圍成的中間區(qū)域是一個(gè)小正三角形，則（???）

A．12 B．10 C．8 D．6
例題2．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）一個(gè)正方形水池的四周恰好被4個(gè)完全相同的正邊形地磚鋪滿，其部分示意圖如圖所示，則n的值為（　　?。?br />
A．6 B．8
C．10 D．12
例題3．（2023·河北·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將幾個(gè)全等的正八邊形進(jìn)行拼接，相鄰的兩個(gè)正八邊形有一條公共邊，圍成一圈后中間形成一個(gè)正方形．設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，則該圖形外輪廓的周長(zhǎng)為______；若個(gè)全等的正多邊形中間圍成的圖形是正三角形，且相鄰的兩個(gè)正多邊形有一條公共邊，設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為1，則該圖形外輪廓的周長(zhǎng)是 ______．

例題4．（2022春·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末）我們知道，正五邊形不能進(jìn)行平面鑲嵌．如圖，將三個(gè)全等的正五邊形拼接在一起，則度數(shù)是______．

題型六同類題型歸類練
1．（2023·四川·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AC是正五邊形ABCDE的對(duì)角線，的度數(shù)是（?????）

A．72° B．36° C．74° D．88°
2．（2023·河北·九年級(jí)專題練習(xí)）若過(guò)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)作一條直線，把這個(gè)多邊形截掉兩個(gè)角，它的內(nèi)角和變?yōu)?260°，則這個(gè)多邊形原來(lái)的邊數(shù)為（????）
A．12 B．10 C．11 D．10或11
3．（2023秋·廣東汕頭·八年級(jí)汕頭市翠英中學(xué)?？计谥校┤鐖D，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部時(shí)，則∠A與∠1＋∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變．請(qǐng)?jiān)囍乙徽疫@個(gè)規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是（????）

A．∠A＝∠1＋∠2 B．2∠A＝∠1＋∠2 C．3∠A＝2∠1＋∠2 D．3∠A＝2（∠1＋∠2）

4．（2023秋·湖北武漢·八年級(jí)湖北省水果湖第二中學(xué)?？计谀┤绻粋€(gè)多邊形的內(nèi)角和是1800度，它是______邊形．
5．（2023秋·河北唐山·八年級(jí)唐山市第九中學(xué)?？计谀┮阎?，正多邊形的一個(gè)外角是30°，則這個(gè)正多邊形是（????）
A．六邊形 B．九邊形 C．十邊形 D．十二邊形
6．（2022秋·云南昭通·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，七邊形中，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)O，若，，，的和等于，則的度數(shù)為______．

7．（2022秋·湖北武漢·八年級(jí)?？计谀┮阎粋€(gè)n邊形的各內(nèi)角都等于，則這個(gè)n邊形的對(duì)角線的總條數(shù)為（????）．
A．9 B．54 C．12 D．60
8．（2022春·河南駐馬店·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）在正邊形中，每個(gè)內(nèi)角與每個(gè)外角的度數(shù)之比為．
(1)求的值．
(2)利用（1）中求出的的值填空：正邊形每個(gè)頂點(diǎn)可引出的對(duì)角線的條數(shù)為______，正邊形對(duì)角線的總條數(shù)為______．
9．（2022秋·重慶巴南·八年級(jí)?？计谥校┤粢粋€(gè)邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍多．
(1)求的值；
(2)在（1）條件下，求正邊形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)及對(duì)角線條數(shù)．




10．（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，求這個(gè)多邊形共有對(duì)角線的條數(shù)．






11．（2022春·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)長(zhǎng)春市解放大路學(xué)校校考期末）我們知道用正五邊形不能鋪滿地面，若將三個(gè)相同的正五邊形按如圖所示拼接在一起，那么圖中的的度數(shù)是______．

12．（2022·福建·模擬預(yù)測(cè)）如圖是某小區(qū)花園內(nèi)用同一種正多邊形和正方形地磚鋪設(shè)的小路的局部示意圖，四塊正多邊形地磚圍成的中間區(qū)域使用一塊正方形地磚，則正多邊形的內(nèi)角和為___________．

13．（2022春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：如果幾個(gè)全等的正邊形依次有一邊重合，排成一圈，中間可以圍成一個(gè)正多邊形，那么我們稱作正邊形的環(huán)狀連接．如圖1，我們可以看作正八邊形的環(huán)狀連接，中間圍成一個(gè)正方形．

（1）若正六邊形作環(huán)狀連接，如圖2，中間可以圍成的正多邊形的邊數(shù)為______；
（2）若邊長(zhǎng)為的正邊形作環(huán)狀連接，中間圍成的是等邊三角形，則這個(gè)環(huán)狀連接的外輪廓長(zhǎng)為_____．（用含的代數(shù)式表示）


第四部分：中考真題感悟
1．（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E為AD的中點(diǎn)，連接OE，，，則（????）

A．4 B． C．2 D．
2．（2022·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，是邊的中點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)，若平分的周長(zhǎng)，則的長(zhǎng)為（????）

A． B． C． D．
3．（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，以的三邊為邊在上方分別作等邊、、．且點(diǎn)A在內(nèi)部．給出以下結(jié)論：
①四邊形是平行四邊形；
②當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形；
③當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形；
④當(dāng)，且時(shí)，四邊形是正方形．
其中正確結(jié)論有__________（填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）．

4．（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為2，，對(duì)角線與交于點(diǎn)，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為_________．





5．（2022·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)B和D為圓心，以大于BD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E和F；②作直線EF分別與DC，DB，AB交于點(diǎn)M，O，N．若DM＝5，CM＝3，則MN＝_____．

6．（2022·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，將邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD沿其對(duì)角線AC平移，使A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′滿足AA′＝AC，則所得正方形與原正方形重疊部分的面積是 _____．

7．（2022·寧夏·中考真題）如圖，四邊形中，ABDC，，于點(diǎn)．

(1)用尺規(guī)作的角平分線，交于點(diǎn)；（不寫作法，保留作圖痕跡）
(2)連接．求證：四邊形是菱形．

相關(guān)試卷

第24講 特殊四邊形-菱形（18題型）（練習(xí)）-2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義+練習(xí)+測(cè)試（全國(guó)通用）：

這是一份第24講 特殊四邊形-菱形（18題型）（練習(xí)）-2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義+練習(xí)+測(cè)試（全國(guó)通用），文件包含第24講特殊四邊形-菱形練習(xí)原卷版docx、第24講特殊四邊形-菱形練習(xí)解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共169頁(yè)， 歡迎下載使用。

第23講 特殊四邊形-矩形（19題型）（練習(xí)）-2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義+練習(xí)+測(cè)試（全國(guó)通用）：

這是一份第23講 特殊四邊形-矩形（19題型）（練習(xí)）-2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義+練習(xí)+測(cè)試（全國(guó)通用），文件包含第23講特殊四邊形-矩形練習(xí)原卷版docx、第23講特殊四邊形-矩形練習(xí)解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共210頁(yè)， 歡迎下載使用。

第24講 特殊四邊形-菱形（18題型）（練習(xí)）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高效講練測(cè)（全國(guó)通用）：

這是一份第24講 特殊四邊形-菱形（18題型）（練習(xí)）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高效講練測(cè)（全國(guó)通用），文件包含第24講特殊四邊形-菱形練習(xí)原卷版docx、第24講特殊四邊形-菱形練習(xí)解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共167頁(yè)， 歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

第23講 特殊四邊形-矩形（19題型）（練習(xí)）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高效講練測(cè)（全國(guó)通用）

第23講 特殊四邊形-矩形（19題型）（練習(xí)）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高效講練測(cè)（全國(guó)通用）
第03講+分式（12題型）（練習(xí)）-2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（全國(guó)通用）

第03講+分式（12題型）（練習(xí)）-2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（全國(guó)通用）
第01講+實(shí)數(shù)（12題型）（練習(xí)）-2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（全國(guó)通用）

第01講+實(shí)數(shù)（12題型）（練習(xí)）-2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（全國(guó)通用）
第3講 三角形（題型精練）-中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（全國(guó)通用版）

第3講 三角形（題型精練）-中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（全國(guó)通用版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部