2022-2023學年江西省宜春市宜豐縣宜豐中學高二下學期3月月考數(shù)學試題 一、單選題1．在等差數(shù)列中，設其前項和為，若，則（    ）A．4 B．13 C．26 D．52【答案】C【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可得結(jié)果．【詳解】，，故選：C．2．已知函數(shù)，則（    ）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】先求，再求的值.【詳解】解：因為，所以，所以，解得．故選：B.3．設數(shù)列的前n項和為，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用并項求和和等比數(shù)列的求和公式進行求解即可【詳解】因為數(shù)列的前n項和為，，所以故選：C4．點P在曲線上移動，設點P處切線的傾斜角為，則角的范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由導數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率的范圍，再求出傾斜角的范圍即可.【詳解】由可得，，即，當時，；當時，.，故選：.5．某企業(yè)為節(jié)能減排，用萬元購進一臺新設備用于生產(chǎn).第一年需運營費用萬元，從第二年起，每年運營費用均比上一年增加萬元，該設備每年生產(chǎn)的收入均為萬元.設該設備使用了年后，年平均盈利額達到最大值（盈利額等于收入減去成本），則等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】設該設備第年的營運費為萬元，利用為等差數(shù)列可求年平均盈利額，利用基本不等式可求其最大值.【詳解】設該設備第年的營運費為萬元，則數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，則，則該設備使用年的營運費用總和為，設第n年的盈利總額為，則，故年平均盈利額為，因為，當且僅當時，等號成立，故當時，年平均盈利額取得最大值4.故選：D.【點睛】本題考查等差數(shù)列在實際問題中的應用，注意根據(jù)題設條件概括出數(shù)列的類型，另外用基本不等式求最值時注意檢驗等號成立的條件.6．已知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知可得在上恒成立，可轉(zhuǎn)化為.求出的最小值，即可得出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】由已知，函數(shù)的定義域為，.由在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以在上恒成立，即，可轉(zhuǎn)化為在上恒成立，所以．因為，所以，所以．因此實數(shù)a的取值范圍是．故選：D．【點睛】思路點睛：求出函數(shù)的導函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到不等式恒成立的問題.分離參數(shù)或二次求導求出最值即可得出答案.7．已知定義在上的函數(shù)滿足，且有，則的解集為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，應用導數(shù)及已知條件判斷的單調(diào)性，而題設不等式等價于，結(jié)合單調(diào)性即可得解.【詳解】設，則，∴在上單調(diào)遞減.又，則.∵等價于，即，∴，即所求不等式的解集為.故選：B．8．已知函數(shù)（e是自然對數(shù)的底數(shù)），若存在，使得，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，得到，再研究函數(shù)的單調(diào)性，得到，將表示出來，然后利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可.【詳解】，，，，，當時，，，由得，由得，所以在上遞增，在上遞減，在處取得最小值，，，令，則，，當時，取得最小值，當時，取得最大值0，所以的取值范圍是.故選：A【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別． 二、多選題9．下列求導正確的是（    ）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ABD【分析】根據(jù)求導公式分別檢驗各項即可得出結(jié)果.【詳解】對于，的導數(shù)為，故選項正確；對于，的導數(shù)為，故選項正確；對于，的導數(shù)為，故選項錯誤；對于，的導數(shù)為，故選項正確，故選：.10．已知數(shù)列滿足，其中，為數(shù)列的前n項和，則下列四個結(jié)論中，正確的是（    ）A． B．數(shù)列的通項公式為：C．數(shù)列的前n項和為： D．數(shù)列為遞減數(shù)列【答案】ACD【分析】令可求；利用已知求的方法求數(shù)列通項公式；利用裂項相消法求數(shù)列的前n項和;根據(jù)數(shù)列與函數(shù)的關系判斷數(shù)列的單調(diào)性.【詳解】因為，所以當時，，兩式相減得，所以，又因為當時，滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為：，故A正確，B錯誤，，所以，故C正確；因為，隨著的增大，在減小，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，故D正確.故選:ACD.11．已知數(shù)列滿足，，，，是數(shù)列的前項和，則下列結(jié)論正確的有（    ）.A． B．數(shù)列是等比數(shù)列C．數(shù)列是等比數(shù)列 D．【答案】ABD【分析】由可求得的值，可判斷A選項；利用等比數(shù)列的定義可判斷B選項；求出數(shù)列的通項公式，利用等差數(shù)列的定義可判斷C選項；利用錯位相減法可判斷D選項.【詳解】對于A選項，，即，可得，A對；對于B選項，由A選項可得，可得，且，所以，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，B對；對于C選項，由A選項可知，，故，所以，，則，故數(shù)列為等差數(shù)列，C錯；對于D選項，，①，②①②可得，因此，，D對.故選：ABD.12．已知函數(shù)，若與的圖象上有且僅有兩對關于原點對稱的點，則的取值可能是（    ）A．e B．e C．3 D．4【答案】BD【分析】根據(jù)與的圖象上有且僅有兩對關于原點對稱的點，可轉(zhuǎn)化為與在上有兩個交點，分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)，求導討論單調(diào)性求最值即可求解.【詳解】依題意，因為與的圖象上有且僅有兩對關于原點對稱的點，所以與在上有兩個交點，即有兩個零點，整理得，只需滿足與有兩個交點即可.令，則有，所以在時，，單調(diào)遞減；在時，，單調(diào)遞增；所以在處取得最小值，所以只需即可滿足題設要求，故選：BD. 三、填空題13．已知函數(shù)是可導函數(shù)，且，則      .【答案】1【分析】根據(jù)導數(shù)的定義求解即可.【詳解】解：因為函數(shù)是可導函數(shù)，且，所以，根據(jù)導數(shù)的定義，故答案為：14．若是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且，則          .【答案】20【分析】根據(jù)等比數(shù)列下標和的性質(zhì)可得，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】因為是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且，所以，故，所以，故答案為：20．15．若是等差數(shù)列，首項，則使前項和成立的最小自然數(shù)是          .【答案】4045【分析】先判斷的符號，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式進行求解.【詳解】因為，所以；所以，，所以成立的最小自然數(shù)是4045.故答案為：4045.16．函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為         ．【答案】或．【分析】令，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線有兩個交點，作出函數(shù)圖象，觀察可得．【詳解】令，則方程有兩個解，即函數(shù)的圖象與直線有兩個交點，作出函數(shù)的圖象，如圖，再作出直線，它始終過原點，設直線與相切，切點為，由知，切線斜率為，切線方程為，把代入得，，所以切線斜率為，設與相切，則，即，，解得（舍去），由圖可得實數(shù)的范圍是或．故答案為：或．【點睛】本題考查由函數(shù)的零點個數(shù)確定參數(shù)范圍，解題關鍵是問題的轉(zhuǎn)化，把函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線的交點個數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合思想，從圖象中易得其結(jié)論與方法． 四、解答題17．已知為等差數(shù)列的前項和，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）設首項為，公差為，依題意得到方程組，解得、，即可得解；（2）由（1）可得得，利用分組求和法及等比、差數(shù)列求和公式計算可得.【詳解】（1）等差數(shù)列中設首項為，公差為，為其前項和，且，．故，解得，所以．（2）由（1）得，所以18．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，其中，，，，平面ABCD，且，點M在棱PD上（不包括端點），點N為BC中點．(1)若，求證：直線平面PAB；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理分析證明（2）建系，利用空間向量求二面角.【詳解】（1）取PA的點Q，滿足，連接MQ，QB，因為，所以且，又因為，且，點N為BC中點，即，且，所以且，則四邊形MQBN為平行四邊形，則，平面PAB，平面PAB，所以直線平面PAB．（2）如圖所示，以點A為坐標原點，以AB所在直線為x軸，以AD所在直線為y軸，以AP所在直線為z軸建立空間直角坐標系，則，，，，又N為BC的中點，則，所以，，，，設平面CPD的法向量為，則，令，則，設平面CPN的法向量為，則，令，則，所以，由題意可得：二面角的平面為鈍角，故其余弦值為．19．已知在時有極值0．(1)求常數(shù)，的值；(2)求在區(qū)間上的最值．【答案】(1)，；(2)最小值為0，最大值為4 【分析】（1）根據(jù)題意列方程求解可得；（2）根據(jù)導數(shù)討論單調(diào)性，然后可得最值.【詳解】（1），由題知：,解得或．因為，故舍去；當時，，當時，，當時，，當時，，所以在處有極小值，所以，，符合題意.（2）由（1）可知，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．函數(shù)在取得極大值，在取極小值；因為，所以，，，，所以最小值為0，最大值為420．數(shù)列的前n項和為，已知，．(1)求；(2)若，求的前n項和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用判斷出為等比數(shù)列，即可求出通項公式；（2）利用錯位相減法求和.【詳解】（1）∵，，∴，即，又，，，∴當時，也滿足，∴數(shù)列是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列.∴．（2），∴．∵∴兩式相減得：∴．∴．21．已知橢圓：左右焦點分別為、，離心率為，斜率為k的直線l交橢圓于兩點A、B，當直線l過時，的周長為8．(1)求橢圓的方程；(2)設OA、OB斜率分別為、，若，求證：，并求當面積為時，直線l的方程．【答案】(1)(2)證明見解析；或 【分析】（1）根據(jù)焦點三角形周長求出，再由離心率求出，即可得解；（2）設直線l的方程為，聯(lián)立橢圓方程，消元后由根與系數(shù)的關系及斜率公式可得，再由三角形面積求出即可得解.【詳解】（1）由題意，，，解得，，b=1，橢圓的方程為．（2）設直線l的方程為，，，與橢圓方程聯(lián)立得，，可得所以O到直線AB的距離，三角形OAB的面積解得，或所以直線l方程為或．22．已知函數(shù)，（a為常數(shù)）．(1)討論的單調(diào)性；(2)若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2) 【分析】（1）利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系，對參數(shù)進行分類討論求解.（2）利用分離參數(shù)法，再通過構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、最值進行求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，， ①若，有，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②若，有，∴當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．綜上，當，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）∵對任意的恒成立，即對任意的恒成立，令，得， 當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；∴，即，故得，設，∵，當時，，，∴，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；∴，故． 

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