?2022-2023學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市鐵西區(qū)七年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本大題共10小題，共20.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）
1. 下列運(yùn)算不正確的是(????)
A. x2?x3=x5 B. (2xy2)2=4x2y4
C. a(a-3)=a2-3a D. (-2x)3=8x3
2. 已知某新型感冒病毒的直徑約為0.000000823米，將0.000000823用科學(xué)記數(shù)法表示為(????)
A. 8.23×10-6 B. 8.23×10-7 C. 8.23×106 D. 8.23×107
3. 下列圖形：直角三角形、等邊三角形、長(zhǎng)方形、圓，其中軸對(duì)稱圖形有(????)
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
4. 從標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4，5的5張卡片中，隨機(jī)抽取1張．下列事件中，必然事件是(????)
A. 標(biāo)號(hào)小于6 B. 標(biāo)號(hào)大于6 C. 標(biāo)號(hào)是奇數(shù) D. 標(biāo)號(hào)是3
5. 如圖，已知∠DCE=∠B，則下列結(jié)論正確的是(????)
A. AB//CD
B. AC//DE
C. AB//DE
D. AC//CD
6. 如圖是由9個(gè)全等的小正方形組成的圖案，假設(shè)可以隨意在圖中(不包括邊界線)取點(diǎn)，那么這個(gè)點(diǎn)取在空白部分的概率是(????)
A. 49
B. 59
C. 45
D. 1
7. 如圖，在△ABC中，AB=AC，∠C=65°，點(diǎn)D是BC邊上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF//AB交AC于點(diǎn)E，則∠FEC的度數(shù)是(????)
A. 120°
B. 130°
C. 140°
D. 150°
8. 已知△ABC，按圖示痕跡做△A'B'C'，得到△ABC≌△A'B'C'.則在作圖時(shí)，這兩個(gè)三角形滿足的條件是(????)


A. AB=A'B'，AC=A'C'
B. ∠B=∠B'，AB=A'B'
C. ∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'
D. AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'
9. 一列火車從A站行駛3公里到B處以后，以每小時(shí)90公里的速度前進(jìn).則離開(kāi)B處t小時(shí)后，火車離A站的路程s與時(shí)間t的關(guān)系是(????)
A. s=3+90t B. s=90t C. s=3t D. s=90+3t
10. 如圖，等邊三角形紙片ABC的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)是邊BC上的三等分點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)沿著平行于BA，CA方向各剪一刀，則剪下的△DEF的周長(zhǎng)是(????)
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）
11. 計(jì)算：(a-1)2=______．
12. 若從A，B，C三個(gè)直播間隨機(jī)選1個(gè)直播間聽(tīng)沈陽(yáng)市八年級(jí)“名師在線”直播課堂，則選中A直播間的概率為_(kāi)_____ ．
13. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為斜邊AB上的一點(diǎn)，連接CD，將△BCD沿CD翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，點(diǎn)F為直角邊AC上一點(diǎn)，連接DF，將△ADF沿DF翻折，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)E重合，則∠CEF的度數(shù)為_(kāi)_____．


14. 如圖，在條件：①∠A=∠ACE；②∠A=∠ECD；③∠B=∠BCA；④∠B=∠ACE中，能判斷AB//CE的條件是______ ．


15. 如圖，在△ABC中，CD是∠ACB的平分線，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E，使DE=12CD.連接BE，若AC=2BC，△BDE的面積為2，則△ABC的面積是______ ．

16. 在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，在直線BC上取一點(diǎn)P，使CP=CA，連接AP，則∠BAP的度數(shù)為_(kāi)_____ ．
三、解答題（本大題共9小題，共82.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
17. (本小題6.0分)
先化簡(jiǎn)，再求值：(x-2)2-4x(x-1)+(2x+1)(2x-1)，其中x=3．
18. (本小題8.0分)
尺規(guī)作圖(不寫作法，保留作圖痕跡)：
已知：如圖，線段a，c，α，求作：△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=α．

19. (本小題8.0分)
如圖，已知AB//CD，△ACE是等邊三角形，∠DCE=40°，求∠EAB的度數(shù)．

20. (本小題8.0分)
一個(gè)不透明的袋子中有兩個(gè)小球，上面分別寫著數(shù)字“1”、“2”，除數(shù)字外兩個(gè)小球無(wú)其他差別.從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記錄其數(shù)字，放回并搖勻，再?gòu)闹须S機(jī)摸出一個(gè)小球，記錄其數(shù)字，求兩次記錄的數(shù)字之和為3的概率．
21. (本小題8.0分)
如圖，已知∠ABC=90°，D是直線AB上的點(diǎn)，AD=BC，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AB，并截取AE=BD，連接DC、DE、CE，請(qǐng)判斷△CDE的形狀并證明．

22. (本小題10.0分)
如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=12厘米，AD=8厘米，點(diǎn)P，Q都從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)P沿線段AB運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿線段AD運(yùn)動(dòng)(其中一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一點(diǎn)也隨之停止).設(shè)AP=AQ=x厘米，在這個(gè)變化過(guò)程中，圖中陰影部分的面積y(厘米?2)也隨之變化．
(1)求y與x之間的關(guān)系式；
(2)當(dāng)x=8厘米時(shí)，圖中陰影部分的面積y= ______ 厘米?2．

23. (本小題10.0分)
如圖，已知點(diǎn)O在直線AB上，射線OE平分∠AOC，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥OE，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥射線OB于點(diǎn)F，連接CD．
(1)請(qǐng)判斷∠AOE與∠ODF是否相等，并說(shuō)明理由；
(2)若∠ODF=∠C，試判斷CD與OE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

24. (本小題12.0分)
如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)E為AC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥AB交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，CG平分∠ACB交BD于點(diǎn)G，且點(diǎn)G恰好為BD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AB邊上一點(diǎn)，連接CF，∠ACF=∠CBG．
(1)判斷CF與BG的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(2)請(qǐng)直接寫出CF與DE的數(shù)量關(guān)系．

25. (本小題12.0分)
如圖，△ABC和△ADE中，AB=AD，BC=DE，∠B=∠D，邊AD與邊BC交于點(diǎn)P(不與點(diǎn)B，C重合)，點(diǎn)B，E在AD的異側(cè)，MA，MC分別是∠PAC，∠ACP的角平分線．
(1)判斷∠BAD與∠CAE是否相等，并說(shuō)明理由；
(2)當(dāng)AB⊥AC時(shí)，
①若AB=8，AC=6，則PD的最大值為_(kāi)_____ ；
②若∠B=30°，設(shè)∠BAP=α，請(qǐng)直接寫出∠AMC的度數(shù)(用含α的式子表示)．


答案和解析

1.【答案】D?
【解析】解：A、x2?x3=x5，故A不符合題意；
B、(2xy2)2=4x2y4，故B不符合題意；
C、a(a-3)=a2-3a，故C不符合題意；
D、(-2x)3=-8x3，故D符合題意；
故選：D．
利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，同底數(shù)冪的乘法的法則，積的乘方的法則對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可．
本題主要考查單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，積的乘方，同底數(shù)冪的乘法，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．

2.【答案】B?
【解析】
【分析】
本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10-n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．據(jù)此解答即可．
【解答】
解：0.000000823=8.23×10-7．
故選B．??
3.【答案】C?
【解析】解：在圖形：直角三角形、等邊三角形、長(zhǎng)方形和圓中，
軸對(duì)稱圖形的有：等邊三角形、長(zhǎng)方形和圓，
共三個(gè)．
故選：C．
結(jié)合軸對(duì)稱圖形的概念進(jìn)行求解即可．
本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，掌握判斷軸對(duì)稱圖形是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合是關(guān)鍵．

4.【答案】A?
【解析】解：A、是一定發(fā)生的事件，是必然事件，故選項(xiàng)正確；
B、是不可能發(fā)生的事件，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、是隨機(jī)事件，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、是隨機(jī)事件，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選A．
必然事件就是一定發(fā)生的事件，根據(jù)定義即可判斷．
解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件．不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．

5.【答案】A?
【解析】解：∵∠DCE=∠B，
∴AB//CD．
故選：A．
由平行線的判定定理：同位角相等，兩直線平行，即可判斷．
本題考查平行線的判定，關(guān)鍵是掌握平行線的判定方法．

6.【答案】A?
【解析】解：設(shè)空白部分的面積是4x，則整個(gè)圖形的面積是9x，
則這個(gè)點(diǎn)取在陰影部分的概率是4x9x=49．
故選：A．
設(shè)空白部分的面積是4x，得出整個(gè)圖形的面積是9x，再根據(jù)幾何概率的求法即可得出答案．
本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來(lái)，一般用陰影區(qū)域表示所求事件(A)；然后計(jì)算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個(gè)比例即事件(A)發(fā)生的概率．

7.【答案】B?
【解析】解：∵AB=AC，∠C=65°，
∴∠B=∠C=65°，
∵DF//AB，
∴∠CDE=∠B=65°，
∴∠FEC=∠CDE+∠C=65°+65°=130°．
故選：B．
由等腰三角形的性質(zhì)得出∠B=∠C=65°，由平行線的性質(zhì)得出∠CDE=∠B=65°，再由三角形的外角性質(zhì)即可得出答案．
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

8.【答案】D?
【解析】解：由作圖可知，B'A'=BA，B'C'=BC，A'C'=AC，
在△ABC和△A'B'C'中，
AB=A'B'AC=A'C'BC=B'C',
∴△ABC≌△A'B'C'(SSS)，
故選：D．
根據(jù)SSS證明三角形全等即可．
本題考查作圖-復(fù)雜作圖，全等三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，屬于中考常考題型．

9.【答案】A?
【解析】解：火車離A站的距離等于先行的3公理，加上后來(lái)t小時(shí)行駛的距離可得，
s=3+90t，
故選：A．
根據(jù)路程、速度、時(shí)間之間的關(guān)系可得關(guān)系式．
本題考查函數(shù)關(guān)系式，理解路程、速度、時(shí)間之間的關(guān)系是解決問(wèn)題的前提．

10.【答案】C?
【解析】解：∵點(diǎn)E，F(xiàn)是邊BC上的三等分點(diǎn)，
∴BC=3EF，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵DE//AB，DF//AC，
∴∠DEF=∠B=60°，∠DFE=∠C=60°，
∴∠EDF=180°-∠DEF-∠DFE=60°，
∴△DEF是等邊三角形，
∴DE=EF=DF，
∴△DEF的周長(zhǎng)=3EF=BC=6．
故選：C．
由△ABC是等邊三角形，得到∠B=∠C=60°，由平行線的性質(zhì)得到∠DEF=∠B=60°，∠DFE=∠C=60°，即可推出△DEF是等邊三角形，得到△DEF的周長(zhǎng)=3EF=BC=6．
本題考查等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由以上知識(shí)點(diǎn)證明△DEF是等邊三角形．

11.【答案】a2-2a+1?
【解析】
【分析】
本題考查了完全平方公式，熟記公式是解題的關(guān)鍵．直接利用完全平方公式計(jì)算即可解答．
【解答】
解：(a-1)2=a2-2a+1．
故答案為a2-2a+1．??
12.【答案】13?
【解析】解：∵直播間有A，B，C三個(gè)，
∴選中A直播間的概率為13．
故答案為：13．
根據(jù)概率公式直接計(jì)算即可．
本題考查了概率公式，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．

13.【答案】90°?
【解析】解：∵將△BCD沿CD翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，
∴∠B=∠CED，
∵將△ADF沿DF翻折，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)E重合，
∴∠A=∠DEF，
∴∠CEF=∠DEF+∠CED=∠A+∠B=90°，
故答案為：90°．
根據(jù)折疊的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
本題考查翻折變換、三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)．

14.【答案】①?
【解析】解：∵∠A=∠ACE，
∴AB//CE.(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)
由②∠A=∠ECD；③∠B=∠BCA；④∠B=∠ACE，都不能判斷AB//CE，
故答案為：①．
根據(jù)平行線的判定方法：內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，即可判斷AB//CE．
此題考查了平行線的判定，平行線的判定方法有：同位角相等兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行，熟練掌握平行線的判定是解本題的關(guān)鍵．

15.【答案】12?
【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AC于G，DH⊥CB于H，

∵DE=12CD，△BDE的面積為2，
∴S△BCD=2S△BDE=4，
∵CD是∠ACB的平分線，DH⊥CB，DG⊥AC，
∴DG=DH，
∵AC=2BC，S△ACD=12AC?GD，S△BCD=12BC?DH，
∴S△ACD=2S△BCD，
∴S△ACD=8，
∴S△ABC=S△ACD+S△BCD=8+4=12，
故答案為：12．
由角平分線的性質(zhì)可得DG=DH，由三角形的面積關(guān)系可求解．
本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積公式，添加恰當(dāng)輔助線是解題的關(guān)鍵．

16.【答案】15°或75°?
【解析】解：如圖所示，
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，
∵AB=AC，∠ABC=70°，
∴∠ACB=∠ABC=70°，
∴∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=180°-70°-70°=40°，
∵CA=CP1，
∴∠CAP1=∠CP1A=180°-∠ACP12=180°-70°2=55°，
∴∠BAP1=∠CAP1-∠CAB=55°-40°=15°；
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，
∵AB=AC，∠ABC=70°，
∴∠ACB=∠ABC=70°，
∴∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=180°-70°-70°=40°，
∵CA=CP2，
∴∠CAP2=∠CP2A=∠ACB2=12×70°=35°，
∴∠BAP2=∠CAP2+∠CAB=35°+40°=75°；
由上可得，∠BAP的度數(shù)是15°或75°，
故答案為：15°或75°．
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以得到△ABC各內(nèi)角的關(guān)系，然后根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，利用分類討論的方法求出∠BAP的度數(shù)即可．
本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是正確畫(huà)出圖形，利用分類討論的方法解答．

17.【答案】解：(x-2)2-4x(x-1)+(2x+1)(2x-1)
=x2-4x+4-4x2+4x+4x2-1
=x2+3，
當(dāng)x=3時(shí)，
原式=32+3
=9+3
=12．?
【解析】先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)，然后把x的值代入化簡(jiǎn)后的式子進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了整式的混合運(yùn)算-化簡(jiǎn)求值，掌握整式的混合運(yùn)算-化簡(jiǎn)求值是解題的關(guān)鍵．

18.【答案】解：如圖，△ABC為所作．
?
【解析】先作∠MBN=∠α，再在BM上截取BC=a，在BN上截取BA=c，則△ABC滿足條件．
本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．

19.【答案】解：∵△ACE是等邊三角形，
∴∠ACE=∠CAE=60°，
∵CD//AB，
∴∠DCE+∠ACE+∠CAE+∠EAB=180°，
∵∠DCE=40°，
∴∠EAB=20°．?
【解析】由△ACE是等邊三角形，得到∠ACE=∠CAE=60°，由平行線的性質(zhì)得到∠DCE+∠ACE+∠CAE+∠EAB=180°，又∠DCE=40°，即可求出∠EAB=20°．
本題考查平行線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)得到∠DCE+∠ACE+∠CAE+∠EAB=180°．

20.【答案】解：根據(jù)題意，作樹(shù)狀圖如下：

由樹(shù)狀圖可知，共有4種等可能的結(jié)果，其中兩次記錄的數(shù)字之和為3的有2種結(jié)果，
所以，兩次記錄的數(shù)字之和為3的概率為P=24=12．?
【解析】根據(jù)題意作出樹(shù)狀圖，結(jié)合樹(shù)狀圖即可獲得答案．
本題主要考查了列舉法求概率，正確作出樹(shù)狀圖是解題關(guān)鍵．

21.【答案】解：△CDE是等腰直角三角形，理由如下：
∵AE⊥AB，∠ABC=90°，
∴∠EAD=90°=∠DBC，
在△EAD與△DBC中，
AD=BC ∠EAD=∠DBC AE=BD ，
∴△FAD≌△DBC(SAS)，
∴ED=DC，
∴△CDE是等腰三角形，
∵△EAD≌△DBC，
∴∠EDA=∠DCB，
∵∠BDC+∠DCB=90°，
∴∠BDC+∠EDA=90°，
∴∠EDC=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形．?
【解析】利用SAS證明△FAD和△DBC全等即可，利用全等三角形的性質(zhì)得出ED=DC，∠EDC=90°，即可判斷三角形的形狀．
此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，等腰直角三角形的判定，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．

22.【答案】160?
【解析】解：(1)由題意可得，y=12×8-x?x2=96-12x2(0≤x≤8)，
即y與x之間的關(guān)系是：y=96-12x2(0≤x≤8)，
(2)當(dāng)x=8時(shí)，y=12×16-12×82=160，
即AP為8cm時(shí)，圖中陰影部分的面積是160cm2．
故答案為：160．
(1)根據(jù)題意和圖象可以列出y與x之間的關(guān)系；
(2)將x=8cm，代入第一問(wèn)求得的關(guān)系式即可求得圖中陰影部分的面積．
本題考查矩形的性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問(wèn)題．

23.【答案】(1)∠AOE=∠ODF，
理由：∵OD⊥OE，
∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOF=90°，
∵∠ODF+∠DOF=90°，
∴∠AOE=∠ODF；
(2)CD//OE，理由如下：
由(1)得∠AOE=∠ODF，
∵射線OE平分∠AOC，
∴∠AOE=∠EOC，
∵∠ODF=∠C，
∴∠EOC=∠C，
∴CD//OE．?
【解析】(1)由OD⊥OE得到∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOF=90°，再利用等角的余角相等即可證明∠AOE=∠ODF；
(2)證明∠EOC=∠C，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，即可證明CD//OE．
本題考查了角平分線定義，垂直的定義，平行線的判定，等角的余角相等，正確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．

24.【答案】解：(1)CF=BG，理由如下：
∵∠ACB=90°，AC=BC，CG平分∠ACB，
∴∠CAF=∠CBA=45°，∠BCG=∠ACG=45°，
∴∠BCG=∠CAF=45°
在△BCG與△CAF中，
∠BCG=∠CAF=45°BC=CA∠CBG=∠ACF，
∴△BCG≌△CAF(ASA)，
∴BG=CF；
(2)CF=2DE，理由如下：
如圖，延長(zhǎng)CG交AB于H，
∵CG平分∠ACB，AC=BC，
∴CH⊥AB，CH平分AB，
∵AD⊥AB，
∴AD//CG，
∴∠D=∠EGC，
在△ADE與△CGE中，
∠AED=∠CEG∠D=∠EGC∈AE=CE，
∴△ADE≌△CGE(AAS)，
∴DE=GE，
∴DG=2DE，
∵AD//CG，CH平分AB，
∴DG=BG，
∵CF=BG，
∴CF=2DE．?
【解析】(1)證明△AFC≌△CBG即可解決問(wèn)題；
(2)延長(zhǎng)CG交AB于H，則CH⊥AB，H平分AB，繼而證得CH//AD，得出DG=BG和△ADE與△CGE全等，從而證得CF=2DE．
本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定及性質(zhì)，三角形全等是解本題的關(guān)鍵．

25.【答案】3.2?
【解析】解：(1)∠BAD=∠CAE，
理由：在△ABC和△ADE中，
AB=AD∠B=∠DBC=DE，
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠PAC=∠DAE-∠PAC，
∴∠BAD=∠CAE；
(2)①∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵AB=8，AC=6，
∴BC= AB2+AC2= 82+62=10，
∵AB=AD=8，
∴當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP有最小值，此時(shí)PD有最大值，
∵△ABC的面積=12BC?AP=12AB?AC，
∴BC?AP=AB?AC，
∴10AP=6×8，
∴AP=4.8，
∴PD=AD-AP=8-4.8=3.2，
∴當(dāng)AP取最小值=4.8時(shí)，PD的最大值為3.2，
故答案為：3.2；
②∠AMC的度數(shù)為105°+12α，
理由：∵∠B=30°，∠BAP=α，
∴∠APC=∠B+∠BAP=30°+α，
∵M(jìn)A，MC分別是∠PAC，∠ACP的角平分線，
∴∠MAC=12∠PAC，∠MCA=12∠ACP，
∴∠AMC=180°-(∠MAC+∠MCA)
=180°-12(∠PAC+∠ACP)
=180°-12(180°-∠APC)
=180°-90°+12∠APC
=90°+12(30°+α)
=90°+15°+12α
=105°+12α，
∴∠AMC的度數(shù)為105°+12α.
(1)根據(jù)手拉手模型-旋轉(zhuǎn)型全等可證△ABC≌△ADE，然后利用全等三角形的性質(zhì)可得∠BAC=∠DAE，從而利用等式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答；
(2)①根據(jù)垂直定義可得∠BAC=90°，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理求出BC的長(zhǎng)，再根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP有最小值，此時(shí)PD有最大值，最后根據(jù)面積法可求出AP的長(zhǎng)，從而求出PD的長(zhǎng)，即可解答；
②先利用三角形的外角性質(zhì)可得∠APC=30°+α，再根據(jù)角平分線的定義可得∠MAC=12∠PAC，∠MCA=12∠ACP，然后利用三角形的內(nèi)角和定理以及等量代換可得∠AMC=90°+12∠APC，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，列代數(shù)式，垂線段最短，熟練掌握手拉手模型-旋轉(zhuǎn)型全等是解題的關(guān)鍵．

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