?北京市密云區(qū)2022-2023學年第二學期期末考試
高二數(shù)學試卷
一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)集合的交集運算即可求解.
【詳解】解：，
，
故選：D
2. 命題“，”的否定為（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由全稱命題的否定是特稱命題，即可得到結(jié)果.
【詳解】因為命題“，”，則其否定為“，”
故選：D
3. 已知，則下列不等式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】A選項可根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷，BCD選項可以舉反例得出.
【詳解】A選項，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增可知，，A選項正確；
BCD選項，取，B選項變成，C選項變成，D選項變成，BCD均錯誤.
故選：A
4. 5名同學分別報名參加學校的足球隊、籃球隊、乒乓球隊，每人限報其中的一個運動隊，則不同的報名方法的種數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
把不同的報名方法可分5步完成，結(jié)合分步計數(shù)原理，即可求解.
【詳解】由題意，不同的報名方法可分5步完成：
第一步：第一名同學報名由3種方法
第二步：第二名同學報名由3種方法
第三步：第三名同學報名由3種方法
第四步：第四名同學報名由3種方法
第五步：第五名同學報名由3種方法
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有種方法.
故選：B.
【點睛】本題主要考查了分步計數(shù)原理的應(yīng)用，其中解答中認真審題，合理分步求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.
5. 下列函數(shù)中，在上單調(diào)遞增的奇函數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函數(shù)奇偶性的定義及對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】對于A：，定義域為，不關(guān)于原點對稱，
所以不具有奇偶性，故選項A錯誤；
對于B：，定義域為，因為，所以為奇函數(shù)，
由冪函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，故選項B錯誤；
對于C：，定義域為，因為，
所以函數(shù)為偶函數(shù)，且時，，
由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故選項C錯誤；
對于D：，定義域為，因為，
所以為奇函數(shù)，又與都在上單調(diào)遞增，
由單調(diào)性的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，故選項D正確.
故選：D.
6. 某校開展“迎奧運陽光體育”活動，共設(shè)踢毽、跳繩、拔河、推火車、多人多足五個集體比賽項目，各比賽項目逐一進行．為了增強比賽的趣味性，在安排比賽順序時，多人多足不排在第一場，拔河排在最后一場，則不同的安排方案種數(shù)為（ ）
A. 3 B. 18 C. 21 D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，分析可得：“多人多足”有3種安排方法，再將踢毽、跳繩、推火車安排在剩下的3個位置，由分步計數(shù)原理計算可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，多人多足不排在第一場，拔河排在最后一場，
則“多人多足”有3種安排方法，
將踢毽、跳繩、推火車安排在剩下的3個位置，有種安排方法，
則有種安排方法．
故選：B．
7. 設(shè)是函數(shù)的導函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)導函數(shù)的圖象得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.
【詳解】由導函數(shù)的圖象可得當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增.
只有C選項的圖象符合.
故選：C.
8. “”是“”成立的（ ）
A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性化簡，得，從而根據(jù)充分條件與必要條件的定義判斷即可.
【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，
由，可得，
而“”是“”成立的充分不必要條件.
所以“”是“”成立充分不必要條件.
故選：A
9. 單級火箭在不考慮空氣阻力和地球引力的理想情況下的最大速度滿足公式：.其中，分別為火箭結(jié)構(gòu)質(zhì)量和推進劑的質(zhì)量.是發(fā)動機的噴氣速度.已知某單級火箭結(jié)構(gòu)質(zhì)量是推進劑質(zhì)量的2倍，火箭的最大速度為.則火箭發(fā)動機的噴氣速度約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：，，）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意可得，，其中，
則 ，求得.
故選：B
10. 已知函數(shù)，是的導函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. ， B. ，
C. 若，則 D. 若，則
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性概念判斷A，根據(jù)導函數(shù)的符號判斷B，利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合不等式的性質(zhì)即可判斷C，利用特例法排除選項D.
【詳解】對于A，函數(shù)定義域為，，所以，錯誤；
對于B，因為，所以，由知，錯誤；
對于C，因為，，所以在上遞增，
時，，故對，，
由不等式的性質(zhì)可得，正確；
對于D，，，，
取，則，，
此時，，錯誤.
故選：C
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.
11. 在的展開式中，的系數(shù)為______；各項系數(shù)之和為______.（用數(shù)字作答）
【答案】 ①. 10 ②. 32
【解析】
【分析】先求出二項式展開式的通項公式，然后令的次數(shù)為1求出，再代入通項公式可求出的系數(shù)，令可求出各項系數(shù)之和.
【詳解】的展開式的通項公式為，
令，得，所以的系數(shù)為，
令，則，所以各項系數(shù)之和為32，
故答案為：10，32
12. 已知，那么的最小值為__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式計算可得.
【詳解】因為，所以，
所以，
當且僅當，即時取等號.
故答案為：
13. 在5道試題中有2道代數(shù)題和3道幾何題，每次從中隨機抽出1道題，抽出的題不再放回，則第1次抽到代數(shù)題且第2次抽到幾何題的概率為______；在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為______.
【答案】 ①. ##0.3 ②. ##0.75
【解析】
【分析】設(shè)事件表示“第1次抽到代數(shù)題”，事件表示“第2次抽到幾何題”，然后利用古典概型公式代入求解出與，再代入條件概率公式即可求解.
【詳解】設(shè)事件表示“第1次抽到代數(shù)題”，事件表示“第2次抽到幾何題”，
則，所以第1次抽到代數(shù)題且第2次抽到幾何題的概率為.
在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為.
故答案為：；.
14. 一個車輛制造廠引進了一條摩托車整車裝配流水線，這條流水線生產(chǎn)的摩托車數(shù)量（單位：輛）與創(chuàng)造的價值（單位：元）之間的關(guān)系為：.如果這家工廠希望在一個星期內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收60000元以上，請你給出一個該工廠在這周內(nèi)生成的摩托車數(shù)量的建議，使工廠能夠達成這個周創(chuàng)收目標，那么你的建議是______.
【答案】摩托車數(shù)量在51到59輛
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得，解不等式，且取不等式解集中的正整數(shù)即可
【詳解】由題意得，化簡得，
得，解得，
因為取正整數(shù)，
所以該工廠在這周內(nèi)生成摩托車數(shù)量在51到59輛時，工廠能夠達成這個周創(chuàng)收目標.
故答案為：摩托車數(shù)量在51到59輛
15. 已知函數(shù).
①若，不等式的解集為______；
②若函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（空1）時，借助導數(shù)工具判斷，結(jié)合三次函數(shù)的零點情況，分段求解不等式；
（空2）結(jié)合上一空進行零點個數(shù)判斷
【詳解】時，，則，
令，即，解得，
令，，
即在上單調(diào)遞減，于是，
即，即無解，
綜上可知，的解集為；
，根據(jù)上一空的分析可知，，取得等號，
故時，無解，，，或，
在時有個根，即這個根需排除在外，則，于是；
當時，有唯一解，于是在時有個根，
即這個根需恰好被包含在內(nèi)，故，即.
綜上所述，.
故答案為：；
三、解答題：本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
16. 某校高二年級的全體學生都參加了體質(zhì)健康測試，已知測試成績滿分為100分，規(guī)定測試成績在區(qū)間內(nèi)為“體質(zhì)優(yōu)秀”，在內(nèi)為“體質(zhì)良好”，在內(nèi)為“體質(zhì)合格”，在內(nèi)為“體質(zhì)不合格”.現(xiàn)從這個年級中隨機抽取6名學生，測試成績?nèi)缦拢?br /> 學生編號
1
2
3
4
5
6
測試成績
60
85
80
78
90
91

（1）若該校高二年級有600名學生，試估計高二年級“體質(zhì)優(yōu)秀”的學生人數(shù)______；
（2）若從這6名學生中隨機抽取3人，記為抽取的3人中“體質(zhì)良好”的學生人數(shù)，求的分布列；
（3）求（2）中的均值.
【答案】（1）；
（2）分布列見解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）先計算出優(yōu)秀率的估計值，再由頻率和頻數(shù)的關(guān)系求頻數(shù)；
（2）可得X的可能取值為0，1，2，求出X取不同值的概率即可得出分布列；
（3）根據(jù)隨機變量的均值公式求解.
【小問1詳解】
高二年級隨機抽取的名學生中，“體質(zhì)優(yōu)秀”的有3人，優(yōu)秀率為，
將此頻率視為概率，估計高二年級“體質(zhì)優(yōu)秀”的學生人數(shù)為（人）；
【小問2詳解】
高二年級抽取的名學生中“體質(zhì)良好”的有2人，非“體質(zhì)良好”的有人.
所以X的可能取值為0，1，2，
，，，
所以隨機變量X的分布列為：
X
0
1
2
P



【小問3詳解】隨機變量X的均值
17. 已知函數(shù).
（1）求曲線在點處的切線方程；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.
【答案】（1）；
（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間有，，單調(diào)遞減區(qū)間有，
極大值為，極小值為.
【解析】
【分析】（1）求函數(shù)的定義域和導函數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義求切線斜率，由點斜式求切線方程；
（2）解方程求其根；由導數(shù)的正負來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的極值.
【小問1詳解】
函數(shù)的定義域為，
導函數(shù)，
所以,
故切線方程為；
【小問2詳解】
由（1），
令，可得或，
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間有，，單調(diào)遞減區(qū)間有，
所以當時，函數(shù)取極大值，極大值為，
當時，函數(shù)取極小值，極小值為.
18. 交通擁堵指數(shù)（TPI）是表征交通擁堵程度客觀指標，TPI越大代表擁堵程度越高．某平臺計算TPI的公式為：，并按TPI的大小將城市道路擁堵程度劃分為如下表所示的4個等級：
TPI



不低于4
擁堵等級
暢通
緩行
擁堵
嚴重擁堵
某市2023年元旦及前后共7天與2022年同期的交通高峰期城市道路TP1的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下圖：

（1）從2022年元旦及前后共7天中任取1天，求這一天交通高峰期城市道路擁堵程度為“擁堵”的概率；
（2）從2023年元旦及前后共7天中任取3天，將這3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學期望；
（3）把12月29日作為第1天，將2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TPI依次記為，將2022年同期TPI依次記為，記，．請直接寫出取得最大值時的值．
【答案】（1）
（2）答案見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)隨機事件的概率公式即可求解；
（2）結(jié)合題意先求出的分布列，再結(jié)合數(shù)學期望的公式求解即可；
（3）結(jié)合題意先求得，進而即可求解.
【小問1詳解】
由圖可知，2022年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路擁堵程度為“擁堵”的共2天，
所以這一天交通高峰期城市道路擁堵程度為“擁堵”的概率為.
【小問2詳解】
由圖可知，2023年元旦及前后共7天中比2022年同日TPI高的天數(shù)只有1月3日和1月4日這2天，
所以，
，
，
所以的分布列為：

0
1
2




數(shù)學期望.
【小問3詳解】
由題意，，
，
，
，
，
，
，
所以，
所以取得最大值時，.
19. 高爾頓釘板裝置如圖所示，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃，讓一個小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落的過程中每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右滾下，最后掉入高爾頓板底部的格子中，格子從左到右依次編號為0，1，2，?，10，用表示小球最后落入格子的號碼.

（1）當時，求小球向右下落的次數(shù)；
（2）求的分布列；
（3）求.
【答案】（1）4 （2）分布列見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)試驗即可求出；
（2）分析得到，進而利用二項分布求概率公式求出相應(yīng)的概率；
（3）利用期望公式求出期望.
【小問1詳解】
當時，則小球最終落入號格子，則在通過的10層中有4層需要向右，6層向左，
故小球向右下落的次數(shù)為4；
【小問2詳解】
設(shè)“向右下落”，“向左下落”，則，
因為小球最后落入格子的號碼等于事件發(fā)生的次數(shù)，
而小球下落的過程中共碰撞小木釘10次，所以，
的可能取值為0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，
所以，，，，，，
，，，，，
所以的分布列為：

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10












【小問3詳解】由（2）知.
20. 已知函數(shù)．
（1）若在上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；
（2）當時，判斷0是否為函數(shù)的極值點，并說明理由；
（3）判斷的零點個數(shù)，并說明理由．
【答案】（1）
（2）是，理由見解析 （3）答案見解析
【解析】
【分析】（1）對函數(shù)求導，若在上是增函數(shù)，即恒成立，得，設(shè)，求導后利用單調(diào)性求得函數(shù)的最小值，即可求得結(jié)果；
（2），令，對函數(shù)求導后求得的單調(diào)性即可判斷出結(jié)果；
（3）令，即，對分類討論求解方程的根，從而得出答案．
【小問1詳解】
，則，
若在上是增函數(shù)，即恒成立，得，
設(shè)，，
得，得，
即在遞減，在遞增，
則，
故，即．
【小問2詳解】
當時，，
令，，
當時，，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，又，
當時，，單調(diào)遞減，
當時，，單調(diào)遞增，
故是函數(shù)的極小值點．
【小問3詳解】
令，即，
當時，，故的根有1個，即，則有1個零點；
當時，由，得，故的根有1個，即，則有1個零點；
當且時，由，得，故的根有2個，即或，則有2個零點，
綜上，當或時，有1個零點；當且時，有2個零點．
21. 已知數(shù)列A：，，?，，?，滿足，，數(shù)列A的前項和記為.
（1）寫出的值；
（2）若，求的值；
（3）是否存在數(shù)列A，使得?如果存在，寫出此時的值；如果不存在，說明理由.
【答案】（1）或
（2）
（3）不存在，理由見解析
【解析】
【分析】（1）利用與遞推公式求出的可能值，從而求出的值；
（2）由（1）的值，分類討論，結(jié)合求出的值，從而求出的值；
（3）將兩邊平方后，推出，從而求出，結(jié)合為整數(shù)，判斷方程無解即可.
【小問1詳解】
因為，，
所以，解得或，
當時，由，解得或，
當時，由，解得，
所以或或，
【小問2詳解】
當時，，則或，此時由知，不滿足，舍去；
當時，，則或，滿足，不滿足，舍去；
當時，由，得或，由知滿足題意，當時，不滿足題意，
綜上， 或，或，
所以或或，
故.
【小問3詳解】
由，可得為整數(shù)，，
所以，
則，
所以，
若存在數(shù)列A，使得，則，
又為整數(shù)，所以方程無解，
故不存在數(shù)列A，使得.
【點睛】思路點睛：分類討論思想解決高中數(shù)學問題的一種重要思想方法，是中學數(shù)學四種重要的數(shù)學思想之一，尤其在解決含參數(shù)問題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透，這樣才能快速找準突破點. 充分利用分類討論思想方法能夠使問題條理清晰，進而順利解答，希望同學們能夠熟練掌握并應(yīng)用與解題當中.

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