?北京市朝陽(yáng)區(qū)2022~2023學(xué)年度第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)
高一數(shù)學(xué)
2023.7
（考試時(shí)間120分鐘 滿分150分）
本試卷分為選擇題（共50分）和非選擇題（共100分）兩部分
考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
第一部分（選擇題 共50分）
一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．
1. 計(jì)算（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算即可.
【詳解】.
故選：C.
2. 已知，，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意可得是線段的中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可.
【詳解】因?yàn)?，所以是線段的中點(diǎn)，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故選:A.
3. 在如圖所示的正方體中，異面直線與所成角的大小為（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)異面直線所成角的性質(zhì)，結(jié)合正方體線線關(guān)系即可求解.
【詳解】如圖，連接

在正方體中，因?yàn)?br /> 所以四邊形為平行四邊形，所以
又在正方形中，所以
則異面直線與所成角的大小為.
故選：B.
4. 從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)白球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，則下列事件是對(duì)立事件的是（ ）
A. “都是白球”與“至少有一個(gè)白球” B. “恰有一個(gè)白球”與“都是紅球”
C. “都是白球”與“都是紅球” D. “至少有一個(gè)白球”與“都是紅球”
【答案】D
【解析】
【分析】由題意可得總事件分別為（紅，白），（紅，紅），（白，白）三種情況，根據(jù)互斥事件以及對(duì)立事件的定義再對(duì)應(yīng)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)分析即可求解．
【詳解】從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)白球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，
抽取小球的情況分別為（紅，白），（紅，紅），（白，白）三種情況，
選項(xiàng)A, “至少有一個(gè)白球”包括（紅，白），（白，白），故既不互斥也不對(duì)立，A錯(cuò)誤，
選項(xiàng)B：“恰有一個(gè)白球”表示的是（紅，白），與“都是紅球”互斥但不對(duì)立，故B錯(cuò)誤，
選項(xiàng)C：“都是白球”與“都是紅球”互斥但不對(duì)立，故C錯(cuò)誤，
選項(xiàng)D：“至少有一個(gè)白球”包括（紅，白），（白，白），與“都紅球”是對(duì)立事件，故D正確，
故選：D．
5. 已知a，b是兩條不重合的直線，為一個(gè)平面，且a⊥，則“b⊥”是“a//b”的（ ）
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】利用充分條件、必要條件的定義即可得出選項(xiàng).
【詳解】當(dāng)b⊥時(shí)，結(jié)合a⊥，可得a//b，充分性滿足；
當(dāng)a//b時(shí)，結(jié)合a⊥a，可得b⊥a，必要性滿足.
故選：C.
6. 甲、乙兩人射擊，甲的命中率為0.6．乙的命中率為0.5，如果甲、乙兩人各射擊一次，恰有一人命中的概率為（ ）
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6
【答案】C
【解析】
【分析】甲乙相互獨(dú)立，而甲、乙兩人中恰好有一人擊中目標(biāo)即為事件：，由相互獨(dú)立事件的概率乘法公式可求．
【詳解】設(shè)“甲命中目標(biāo)”為事件，“乙命中目標(biāo)”為事件

由題意可得， 且甲乙相互獨(dú)立
甲、乙兩人中恰好有一人擊中目標(biāo)即為事件：，

故選：C
7. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）

A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用圖象求出函數(shù)的解析式，然后代值計(jì)算可得出的值.
【詳解】由圖可知，函數(shù)的最小正周期為，
因?yàn)?，則，所以，，
因?yàn)?，可得?br /> 因?yàn)?，則，故，
因此，.
故選：B.
8. 已知數(shù)據(jù)、、、、的平均數(shù)為，方差為，在這組數(shù)據(jù)中加入一個(gè)數(shù)后得到一組新數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，方差為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平均數(shù)公式可得出、的大小關(guān)系，由方差公式可得出、的大小關(guān)系.
【詳解】由已知可得，
，
加入新數(shù)據(jù)后，，
，
所以ABC錯(cuò)誤，D正確.
故選：D.
9. 塹堵、陽(yáng)馬、鱉臑這些名詞出自中國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)·商功》．如圖1，把一塊長(zhǎng)方體分成相同的兩塊，得到兩個(gè)直三棱柱（塹堵）．如圖2，再沿塹堵的一頂點(diǎn)與相對(duì)的棱剖開(kāi)，得四棱錐和三棱錐各一個(gè)，以矩形為底，另有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為陽(yáng)馬，余下的三棱錐是由四個(gè)直角三角形組成的四面體，稱為鱉臑．則圖2中的陽(yáng)馬與圖1中的長(zhǎng)方體的體積比是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】計(jì)算出長(zhǎng)方體的體積，利用錐體的體積公式計(jì)算出陽(yáng)馬的體積，即可求得陽(yáng)馬與長(zhǎng)方體的體積之比.
【詳解】設(shè)陽(yáng)馬的體積為，長(zhǎng)方體的體積為，
由圖2可知，陽(yáng)馬是底面為矩形，高為的四棱錐，則，
長(zhǎng)方體的體積為，因此，.
故選：B.
10. 設(shè)為平面四邊形所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，，，，．若且，則平面四邊形一定是（ ）
A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 梯形
【答案】C
【解析】
【分析】由結(jié)合平面向量的減法推導(dǎo)出，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算推導(dǎo)出，即可得出結(jié)論.
【詳解】因?yàn)?，則，即，
即，所以，平面四邊形為平行四邊形，
因?yàn)?，則，即，
因?yàn)椋?，，即?br /> 即，即，即平行四邊形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)相等，
故平面四邊形一定是矩形.
故選：C.
二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．
11. 在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義即可由模長(zhǎng)求解.
【詳解】由題意可知，
故答案為：
12. 某地區(qū)有高中生3000人，初中生6000人，小學(xué)生6000人．教育部門(mén)為了了解本地區(qū)中小學(xué)生的近視率，采用分層抽樣的方法，按高中生、初中生、小學(xué)生進(jìn)行分層，如果在各層中按比例分配樣本，總樣本量為150，那么在高中生中抽取了________人．
【答案】30
【解析】
【分析】根據(jù)分層抽樣的抽樣比即可求解.
【詳解】高中生中抽取了人，
故答案為：30
13. 在中，，，，則________；________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用余弦定理求出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；再利用誘導(dǎo)公式可得出的值.
【詳解】在中，，，，
由余弦定理可得，
因?yàn)?，則，故.
故答案為：；.
14. 把函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，則的一個(gè)對(duì)稱中心坐標(biāo)為_(kāi)_______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】先利用平移變換得到的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】由題意可得，
令，，解得，，
所以的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為，，
所以的一個(gè)對(duì)稱中心坐標(biāo)為，
故答案為：（答案不唯一）
15. 如圖，在中，設(shè)，，的平分線和交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且滿足，設(shè)，則______；當(dāng)______時(shí)，.

【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】利用向量的加法法則得，從而求得，利用角平分線性質(zhì)確定點(diǎn)D位置，然后利用平行線分線段成比例求解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br /> 所以，
所以，所以，
在中，由正弦定理可得，可得，
在中，由正弦定理可得，可得，
因?yàn)闉榈慕瞧椒志€，可知，
所以，
可得，所以，又，，所以，
在中，，所以，所以，解得.
故答案為：；.
16. 如圖1，四棱錐是一個(gè)水平放置裝有一定量水的密閉容器（容器材料厚度不計(jì)），底面為平行四邊形，現(xiàn)將容器以棱為軸向左側(cè)傾斜到圖2的位置，這時(shí)水面恰好經(jīng)過(guò)，其中、分別為棱、的中點(diǎn)，在傾斜過(guò)程中，給出以下四個(gè)結(jié)論：

①?zèng)]有水的部分始終呈棱錐形；
②有水的部分始終呈棱柱形；
③棱始終與水面所在平面平行；
④水的體積與四棱錐體積之比為.
其中所有正確結(jié)論序號(hào)為_(kāi)_______．
【答案】①③④
【解析】
【分析】由棱錐的定義可判斷①；由棱柱的定義可判斷②；利用線面平行的定義可判斷③；利用錐體的體積公式可判斷④.
【詳解】對(duì)于①，由棱錐的定義可知，在傾斜的過(guò)程中，沒(méi)有水的部分始終呈棱錐形，①對(duì)；
對(duì)于②，由棱柱的定義可知，在傾斜的過(guò)程中，有水的部分的幾何體不是棱柱，②錯(cuò)；
對(duì)于③，傾斜前，在圖1中，棱與水面所在平面平行，
在傾斜的過(guò)程中，容器以棱為軸向左側(cè)傾斜到圖2的位置的過(guò)程中，
棱始終與水面所在平面平行，③對(duì)；
對(duì)于④，連接、、，設(shè)三棱錐的體積為，則三棱錐的體積也為，

因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，所以，，
因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以，且，
所以，，所以，，
所以，沒(méi)有水的部分的幾何體的體積為，
所以，有水的部分的幾何體的體積為，
因此，水的體積與四棱錐體積之比為，④對(duì).
故答案為：①③④.
三、解答題共5小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．
17. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．
【答案】（1）
（2）最大值為，最小值為
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得函數(shù)的最小正周期；
（2）由求出的取值范圍，利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的最大值和最小值.
【小問(wèn)1詳解】
解：因?yàn)?br /> ，
所以，函數(shù)的最小正周期為.
【小問(wèn)2詳解】
解：當(dāng)時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，即，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，即.
18. 海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：），其頻率分布直方圖如圖所示．兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立．

（1）求頻率分布直方圖中的值；
（2）用頻率估計(jì)概率，從運(yùn)用新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的水產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取一個(gè)網(wǎng)箱，估計(jì)兩個(gè)網(wǎng)箱的箱產(chǎn)量都不低于的概率；
（3）假定新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的網(wǎng)箱數(shù)不變，為了提高總產(chǎn)量，根據(jù)樣本中兩種養(yǎng)殖法的平均箱產(chǎn)量，該養(yǎng)殖場(chǎng)下一年應(yīng)采用哪種養(yǎng)殖法更合適？（直接寫(xiě)出結(jié)果）
【答案】（1）
（2）
（3）新養(yǎng)殖法
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖利用頻率之和為，即可求得圖中的值；
（2）根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式計(jì)算即可；
（3）利用頻率分布直方圖分別估計(jì)新舊養(yǎng)殖法的平均值，即可做出判斷.
【小問(wèn)1詳解】
由
所以
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)事件分別表示：從運(yùn)用舊、新網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的水產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一個(gè)網(wǎng)箱，其箱產(chǎn)量不低于55kg，
用頻率估計(jì)概率，則，
因?yàn)橄嗷オ?dú)立，所以
所以估計(jì)兩個(gè)網(wǎng)箱的箱產(chǎn)量都不低于的概率為
【小問(wèn)3詳解】
新養(yǎng)殖法
（舊養(yǎng)殖法的平均值估計(jì)為

新養(yǎng)殖法的平均值估計(jì)為

又，所以該養(yǎng)殖場(chǎng)下一年應(yīng)采用新養(yǎng)殖法更合適.）
19. 在中，已知，．
（1）求證：；
（2）在①；②；③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求的值和的面積．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理可得，再根據(jù)余弦定理即可證明；
（2）若選①，由（1）可得，，,，從而可求,根據(jù)三角形面積公式即可求解；
若選②，由（1）可得，，,，根據(jù)可求，根據(jù)三角形面積公式即可求解；
若選③，根據(jù)邊的等量關(guān)系可得，矛盾.
【小問(wèn)1詳解】
由??，根據(jù)正弦定理可得.
又因?yàn)?，由余弦定理得：?br /> 可得，即.
【小問(wèn)2詳解】
若選①，
由?，且，
所以，解得，
所以,.
所以.
若選②，
根據(jù)，所以,.
因?yàn)?，所以，解?
所以.
若選③，
由（1）可得，，則,與，矛盾，
故不存在.
20. 已知四棱錐的底面為直角梯形，，，，平面平面，是的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；
（2）求證：平面；
（3）設(shè)棱與平面交于點(diǎn)，求的值．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）見(jiàn)解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)即可得到線面垂直.
（2）取中點(diǎn)，根據(jù)線線平行可得平面平面，由此能證明直線平面；
（3）作點(diǎn)滿足，則與的交點(diǎn)即為與平面的交點(diǎn)，從而可求得的值，
【小問(wèn)1詳解】
平面平面,且兩平面的交線為,
由于，，所以,平面,
故平面，
【小問(wèn)2詳解】
證明：取中點(diǎn)，連，
，是的中點(diǎn)，
，,
由于平面,平面,所以平面
同理可得平面
，平面,
平面平面，
平面，直線平面；
【小問(wèn)3詳解】
作點(diǎn)滿足，則，，，四點(diǎn)共面，
作的中點(diǎn)，則，所以，
所以四邊形是平行四邊形，則，又，
所以，即，，，四點(diǎn)共面，平面平面，
則與平面的交點(diǎn)必定在上，
所以與的交點(diǎn)即為與平面的交點(diǎn)，
所以，所以，

21. 設(shè)，已知由自然數(shù)組成的集合，集合，，…，是的互不相同的非空子集，定義數(shù)表：
，其中，設(shè)，令是，，…，中的最大值．
（1）若，，且，求，，及；
（2）若，集合，，…，中的元素個(gè)數(shù)均相同，若，求的最小值；
（3）若，，集合，，…，中的元素個(gè)數(shù)均為3，且，求證：的最小值為3．
【答案】（1），
（2）4 （3）見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)和即可求解，
（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為至少有3個(gè)元素個(gè)數(shù)相同的非空子集．分別對(duì)中的元素個(gè)數(shù)進(jìn)行列舉討論，即可求解，
（3）由的定義以及，即可結(jié)合，，…，中的元素個(gè)數(shù)均為3，進(jìn)行求解.
【小問(wèn)1詳解】
根據(jù)和可得，故，
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)使得，
則，所以．
所以至少有3個(gè)元素個(gè)數(shù)相同的非空子集．
當(dāng)時(shí)，，其非空子集只有自身，不符題意．
當(dāng)時(shí)，，其非空子集只有，不符題意．
當(dāng)時(shí)，，元素個(gè)數(shù)為1的非空子集有，
元素個(gè)數(shù)為2的非空子集有．
當(dāng)時(shí)，，不符題意．
當(dāng)時(shí)，，不符題意．
當(dāng)時(shí)，，令，
則，．
所以的最小值為
【小問(wèn)3詳解】
由題可知，，記為集合中的元素個(gè)數(shù)，
則為數(shù)表第列之和．
因?yàn)槭菙?shù)表第行之和，
所以．
因?yàn)椋裕?br /> 所以．
當(dāng)，
時(shí)，
，
．
所以的最小值為.
【點(diǎn)睛】求解新定義運(yùn)算有關(guān)的題目，關(guān)鍵是理解和運(yùn)用新定義的概念以及元算，利用化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，將不熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成熟悉的問(wèn)題進(jìn)行求解.
對(duì)于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和計(jì)算特性，抽象特性是將集合可近似的當(dāng)作數(shù)列或者函數(shù)分析.計(jì)算特性，將復(fù)雜的關(guān)系通過(guò)找規(guī)律即可利用已學(xué)相關(guān)知識(shí)求解.

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