§7.1　條件概率與全概率公式 7.1.1　條件概率 學習目標　1.結(jié)合古典概型，了解條件概率的定義.2.掌握條件概率的計算方法.3.利用條件概率公式解決一些簡單的實際問題． 知識點一　條件概率的概念 一般地，設(shè)A，B為兩個隨機事件，且P(A)>0，我們稱P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率． 思考　P(A|B)，P(B)，P(AB)間存在怎樣的等量關(guān)系？ 答案　P(A|B)＝eq \f(P?AB?,P?B?)，其中P(B)>0. 知識點二　概率乘法公式 對任意兩個事件A與B，若P(A)>0，則P(AB)＝P(A)P(B|A)為概率的乘法公式． 知識點三　條件概率的性質(zhì) 設(shè)P(A)>0，則 (1)P(Ω|A)＝1. (2)如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． (3)設(shè)eq \x\to(B)和B互為對立事件，則P(eq \x\to(B)|A)＝1－P(B|A)． 1．在“A已發(fā)生”的條件下，B發(fā)生的概率可記作P(A|B)．(　×　) 2．對事件A，B，有P(B|A)＝P(A|B)．(　×　) 3．若P(B|A)＝P(B)，則事件A，B相互獨立．(　√　) 4．P(B|A)相當于事件A發(fā)生的條件下，事件AB發(fā)生的概率．(　√　) 一、條件概率的定義及計算 命題角度1　利用定義求條件概率 例1　現(xiàn)有6個節(jié)目準備參加比賽，其中4個舞蹈節(jié)目，2個語言類節(jié)目，如果不放回地依次抽取2個節(jié)目，求 (1)第1次抽到舞蹈節(jié)目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率． 解　設(shè)第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件A，第2次抽到舞蹈節(jié)目為事件B，則第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目為事件AB. (1)從6個節(jié)目中不放回地依次抽取2個，總的事件數(shù)n(Ω)＝Aeq \o\al(2,6)＝30. 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有n(A)＝Aeq \o\al(1,4)Aeq \o\al(1,5)＝20， 所以P(A)＝eq \f(n?A?,n?Ω?)＝eq \f(20,30)＝eq \f(2,3). (2)因為n(AB)＝Aeq \o\al(2,4)＝12，所以P(AB)＝eq \f(n?AB?,n?Ω?)＝eq \f(12,30)＝eq \f(2,5). (3)方法一　由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?)＝eq \f(\f(2,5),\f(2,3))＝eq \f(3,5). 方法二　因為n(AB)＝12，n(A)＝20， 所以P(B|A)＝eq \f(n?AB?,n?A?)＝eq \f(12,20)＝eq \f(3,5). 反思感悟　利用定義計算條件概率的步驟 (1)分別計算概率P(AB)和P(A)． (2)將它們相除得到條件概率P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?)，這個公式適用于一般情形，其中AB表示A，B同時發(fā)生． 跟蹤訓練1　從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽取兩張，將其中一張放到驗鈔機上檢驗發(fā)現(xiàn)是假鈔，求兩張都是假鈔的概率． 解　設(shè)A＝“抽到的兩張都是假鈔”，B＝“抽到的兩張中至少有一張是假鈔”，則所求概率為P(A|B)． ∵P(AB)＝P(A)＝eq \f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,20))，P(B)＝eq \f(C\o\al(2,5)＋C\o\al(1,5)C\o\al(1,15),C\o\al(2,20))， ∴P(A|B)＝eq \f(P?AB?,P?B?)＝eq \f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,5)＋C\o\al(1,5)C\o\al(1,15))＝eq \f(10,85)＝eq \f(2,17). 命題角度2　縮小樣本空間求條件概率 例2　集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙兩人各從A中任取一個數(shù)，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇數(shù)的條件下，求乙抽到的數(shù)比甲抽到的數(shù)大的概率． 解　將甲抽到數(shù)字a，乙抽到數(shù)字b，記作(a，b)，甲抽到奇數(shù)的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15個．在這15個情形中，乙抽到的數(shù)比甲抽到的數(shù)大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9個，所以所求概率P＝eq \f(9,15)＝eq \f(3,5). 延伸探究 1．在本例條件下，求乙抽到偶數(shù)的概率． 解　在甲抽到奇數(shù)的情形中，乙抽到偶數(shù)的情形有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9個，所以所求概率P＝eq \f(9,15)＝eq \f(3,5). 2．若甲先取(放回)，乙后取，若事件A：“甲抽到的數(shù)大于4”；事件B：“甲、乙抽到的兩數(shù)之和等于7”，求P(B|A)． 解　甲抽到的數(shù)大于4的情形有：(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12個，其中甲、乙抽到的兩數(shù)之和等于7的情形有：(5,2)，(6,1)，共2個．所以P(B|A)＝eq \f(2,12)＝eq \f(1,6). 反思感悟　利用縮小樣本空間法求條件概率的方法 (1)縮：將原來的基本事件全體Ω縮小為事件A，原來的事件B縮小為AB. (2)數(shù)：數(shù)出A中事件AB所包含的基本事件． (3)算：利用P(B|A)＝eq \f(n?AB?,n?A?)求得結(jié)果． 跟蹤訓練2　拋擲紅、藍兩顆骰子，記事件A為“藍色骰子的點數(shù)為4或6”，事件B為“兩顆骰子的點數(shù)之和大于8”，求： (1)事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率； (2)事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率． 解　n(A)＝6×2＝12. 由3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4>8,4＋6＝6＋4＝5＋5>8,5＋6＝6＋5>8,6＋6>8知n(B)＝10， 其中n(AB)＝6. 所以(1)P(B|A)＝eq \f(n?AB?,n?A?)＝eq \f(6,12)＝eq \f(1,2). (2)P(A|B)＝eq \f(n?AB?,n?B?)＝eq \f(6,10)＝eq \f(3,5). 二、概率的乘法公式 例3　一個盒子中有6只白球、4只黑球，從中不放回地每次任取1只，連取2次．求： (1)第一次取得白球的概率； (2)第一、第二次都取得白球的概率； (3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率． 解　設(shè)A＝“第一次取得白球”，B＝“第二次取得白球”，則eq \x\to(A)＝“第一次取得黑球”，由題意得： (1)P(A)＝eq \f(6,10)＝0.6. (2)P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq \f(6,10)×eq \f(5,9)＝eq \f(1,3). (3)P(eq \x\to(A)B)＝P(eq \x\to(A))P(B|eq \x\to(A))＝eq \f(4,10)×eq \f(6,9)＝eq \f(4,15). 反思感悟　概率的乘法公式 (1)公式P(AB)＝P(A)P(B|A)反映了知二求一的方程思想． (2)該概率公式可以推廣P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2)，其中P(A1)>0，P(A1A2)>0. 跟蹤訓練3　已知某品牌的手機從1 m高的地方掉落時，屏幕第一次未碎掉的概率為0.5，當?shù)谝淮挝此榈魰r第二次也未碎掉的概率為0.3，試求這樣的手機從1 m高的地方掉落兩次后屏幕仍未碎掉的概率． 解　設(shè)Ai＝“第i次掉落手機屏幕沒有碎掉”，i＝1,2，則由已知可得P(A1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.3， 因此由乘法公式可得P(A2A1)＝P(A1)P(A2|A1)＝0.5×0.3＝0.15. 即這樣的手機從1 m高的地方掉落兩次后屏幕仍未碎掉的概率為0.15. 三、條件概率的性質(zhì)及應用 例4　在某次考試中，要從20道題中隨機抽出6道題，若考生至少能答對其中4道題即可通過，至少能答對其中5道題就獲得優(yōu)秀．已知某考生能答對其中10道題，并且知道他在這次考試中已經(jīng)通過，求他獲得優(yōu)秀成績的概率． 解　記事件A為“該考生6道題全答對”，事件B為“該考生答對了其中5道題，另一道答錯”，事件C為“該考生答對了其中4道題，另2道題答錯”，事件D為“該考生在這次考試中通過”，事件E為“該考生在這次考試中獲得優(yōu)秀”，則A，B，C兩兩互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝eq \f(C\o\al(6,10),C\o\al(6,20))＋eq \f(C\o\al(5,10)C\o\al(1,10),C\o\al(6,20))＋eq \f(C\o\al(4,10)C\o\al(2,10),C\o\al(6,20))＝eq \f(12 180,C\o\al(6,20))，P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)， P(E|D)＝P(A|D)＋P(B|D) ＝eq \f(P?A?,P?D?)＋eq \f(P?B?,P?D?)＝eq \f(\f(C\o\al(6,10),C\o\al(6,20)),\f(12 180,C\o\al(6,20)))＋eq \f(\f(C\o\al(5,10)C\o\al(1,10),C\o\al(6,20)),\f(12 180,C\o\al(6,20)))＝eq \f(13,58). 故獲得優(yōu)秀成績的概率為eq \f(13,58). 反思感悟　條件概率的性質(zhì)及應用 (1)利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使條件概率的計算較為簡單，但應注意這個性質(zhì)的使用前提是“B與C互斥”． (2)為了求復雜事件的概率，往往需要把該事件分為兩個或多個互斥事件，求出簡單事件的概率后，相加即可得到復雜事件的概率． 跟蹤訓練4　有五瓶墨水，其中紅色一瓶，藍色、黑色各兩瓶，某同學從中隨機任取兩瓶，若取得的兩瓶中有一瓶是藍色，則另一瓶是紅色或黑色的概率為________． 答案　eq \f(6,7) 解析　設(shè)事件A為“其中一瓶是藍色”，事件B為“另一瓶是紅色”，事件C為“另一瓶是黑色”，事件D為“另一瓶是紅色或黑色”， 則D＝B∪C且B與C互斥． 又P(A)＝eq \f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq \f(7,10)，P(AB)＝eq \f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),C\o\al(2,5))＝eq \f(1,5)， P(AC)＝eq \f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq \f(2,5)， 故P(D|A)＝P(B∪C|A) ＝P(B|A)＋P(C|A) ＝eq \f(P?AB?,P?A?)＋eq \f(P?AC?,P?A?)＝eq \f(6,7). 1．設(shè)A，B為兩個事件，且P(A)>0，若P(AB)＝eq \f(1,3)，P(A)＝eq \f(2,3)，則P(B|A)等于(　　) A.eq \f(1,2) B.eq \f(2,9) C.eq \f(1,9) D.eq \f(4,9) 答案　A 解析　P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?)＝eq \f(\f(1,3),\f(2,3))＝eq \f(1,2). 2．市場上供應的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠產(chǎn)品占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠產(chǎn)品的合格率是80%，則從市場上買到的一個甲廠的合格燈泡的概率是(　　) A．0.665 B．0.564 C．0.245 D．0.285 答案　A 解析　記事件A為“甲廠產(chǎn)品”，事件B為“合格產(chǎn)品”，則P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95， ∴P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665. 3．某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是(　　) A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45 答案　A 解析　根據(jù)條件概率公式P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?)，得所求概率為eq \f(0.6,0.75)＝0.8. 4．投擲兩顆均勻的骰子，已知點數(shù)不同，設(shè)兩顆骰子點數(shù)之和小于等于6的概率為________． 答案　eq \f(2,5) 解析　設(shè)A＝“投擲兩顆骰子，其點數(shù)不同”，B＝“兩顆骰子點數(shù)之和小于等于6”， 則P(A)＝eq \f(30,36)＝eq \f(5,6)，P(AB)＝eq \f(1,3)， ∴P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?)＝eq \f(2,5). 5．某氣象臺統(tǒng)計，該地區(qū)下雨的概率為eq \f(4,15)，既刮四級以上的風又下雨的概率為eq \f(1,10).設(shè)事件A為該地區(qū)下雨，事件B為該地區(qū)刮四級以上的風，則P(B|A)＝________. 答案　eq \f(3,8) 解析　由題意知P(A)＝eq \f(4,15)，P(AB)＝eq \f(1,10)， 故P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?)＝eq \f(\f(1,10),\f(4,15))＝eq \f(3,8). 1．知識清單： (1)條件概率：P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?)＝eq \f(n?AB?,n?A?). (2)概率乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)·P(A|B)． (3)條件概率的性質(zhì)． 2．方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸、對立統(tǒng)一． 3．常見誤區(qū)：分不清“在誰的條件下”，求“誰的概率”． 1．已知P(B|A)＝eq \f(1,3)，P(A)＝eq \f(2,5)，則P(AB)等于(　　) A.eq \f(5,6) B.eq \f(9,10) C.eq \f(2,15) D.eq \f(1,15) 答案　C 解析　P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝eq \f(1,3)×eq \f(2,5)＝eq \f(2,15)，故選C. 2．(多選)設(shè)P(A|B)＝P(B|A)＝eq \f(1,2)，P(A)＝eq \f(1,3)，則(　　) A．P(AB)＝eq \f(1,6) B．P(AB)＝eq \f(5,6) C．P(B)＝eq \f(1,3) D．P(B)＝eq \f(1,12) 答案　AC 解析　P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,6)， 由P(A|B)＝eq \f(P?AB?,P?B?)，得P(B)＝eq \f(P?AB?,P?A|B?)＝eq \f(1,6)×2＝eq \f(1,3). 3．某人忘記了一個電話號碼的最后一個數(shù)字，只好去試撥，他第一次失敗、第二次成功的概率是(　　) A.eq \f(1,10) B.eq \f(2,10) C.eq \f(8,10) D.eq \f(9,10) 答案　A 解析　記事件A為第一次失敗，事件B為第二次成功，則P(A)＝eq \f(9,10)，P(B|A)＝eq \f(1,9)， 所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq \f(1,10). 4．某班學生考試成績中，數(shù)學不及格的占15%，語文不及格的占5%，兩門都不及格的占3%.已知一學生數(shù)學不及格，則他語文也不及格的概率是(　　) A．0.2 B．0.33 C．0.5 D．0.6 答案　A 解析　記“數(shù)學不及格”為事件A，“語文不及格”為事件B，P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?)＝eq \f(0.03,0.15)＝0.2， 所以數(shù)學不及格時，該生語文也不及格的概率為0.2. 5．將兩枚質(zhì)地均勻的骰子各擲一次，設(shè)事件A＝“兩個點數(shù)互不相同”，B＝“出現(xiàn)一個5點”，則P(B|A)等于(　　) A.eq \f(1,3) B.eq \f(5,18) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,4) 答案　A 解析　出現(xiàn)點數(shù)互不相同的共有6×5＝30(種)，出現(xiàn)一個5點共有5×2＝10(種)，所以P(B|A)＝eq \f(10,30)＝eq \f(1,3). 6．袋中有5個小球(3白2黑)，現(xiàn)從袋中每次取一個球，不放回地抽取兩次，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率是________，兩次都取到白球的概率是________． 答案　eq \f(1,2)　eq \f(3,10) 解析　第一次取到白球，則還剩下4個小球，2個白球，2個黑球，故第二次取到白球的概率P＝eq \f(2,4)＝eq \f(1,2)，兩次都取到白球的概率P＝eq \f(3×2,5×4)＝eq \f(3,10). 7．設(shè)某種動物由出生算起活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率 0.4，現(xiàn)有一個20歲的這種動物，則它能活到25歲的概率是________． 答案　0.5 解析　設(shè)該動物活到20歲為事件A，活到25歲為事件B，則P(A)＝0.8，P(B)＝0.4， 又P(AB)＝P(B)， 所以P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?)＝eq \f(P?B?,P?A?)＝eq \f(0.4,0.8)＝0.5. 8．有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機抽取一粒，則這粒種子能成長為幼苗的概率是________． 答案　0.72 解析　“種子發(fā)芽”為事件A，“種子成長為幼苗”為事件AB(發(fā)芽，并成活才成長為幼苗)，則P(A)＝0.9，又種子發(fā)芽后的幼苗成活率為P(B|A)＝0.8，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.9×0.8＝0.72. 9．某校高三(1)班有學生40人，其中共青團員15人．全班平均分成4個小組，其中第一組有共青團員4人．從該班任選一人作學生代表． (1)求選到的是第一組的學生的概率； (2)已知選到的是共青團員，求他是第一組學生的概率． 解　設(shè)事件A表示“選到第一組學生”，事件B表示“選到共青團員”． (1)由題意，得P(A)＝eq \f(10,40)＝eq \f(1,4). (2)方法一　要求的是在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率P(A|B)． 不難理解，在事件B發(fā)生的條件下(即以所選到的學生是共青團員為前提)，有15種不同的選擇，其中屬于第一組的有4種選擇． 因此，P(A|B)＝eq \f(4,15). 方法二　P(B)＝eq \f(15,40)＝eq \f(3,8)，P(AB)＝eq \f(4,40)＝eq \f(1,10)， ∴P(A|B)＝eq \f(P?AB?,P?B?)＝eq \f(4,15). 10．設(shè)b和c分別是拋擲一枚骰子先后得到的點數(shù)． (1)求方程x2＋bx＋c＝0有實根的概率； (2)求在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下，方程x2＋bx＋c＝0有實根的概率． 解　(1)方程有實根，Δ＝b2－4c≥0，∴b2≥4c， 又b，c∈{1,2,3,4,5,6}， ∴當b＝2時，c＝1， 當b＝3時，c＝1,2， 當b＝4時，c＝1,2,3,4， 當b＝5時，c＝1,2,3,4,5,6， 當b＝6時，c＝1,2,3,4,5,6， 共19種情況． 故所求的概率為eq \f(19,6×6)＝eq \f(19,36). (2)把“出現(xiàn)5點”記為事件A，“方程有實根”記為事件B，滿足b2≥4c的有序數(shù)對記為(b，c)， 則事件A包含的事件有(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共11種， 事件AB包含的有(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共7種， 故所求的概率為eq \f(7,11). 11．7名同學從左向右站成一排，已知甲站在中間，則乙站在最右端的概率是(　　) A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,5) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,7) 答案　C 解析　記“甲站在中間”為事件A，“乙站在最右端”為事件B， 則n(A)＝Aeq \o\al(6,6)，n(AB)＝Aeq \o\al(5,5)， 所以P(B|A)＝eq \f(A\o\al(5,5),A\o\al(6,6))＝eq \f(1,6). 12．已知某產(chǎn)品的次品率為4%，其合格品中75%為一級品，則任選一件為一級品的概率為(　　) A．75% B．96% C．72% D．78.125% 答案　C 解析　記“任選一件產(chǎn)品是合格品”為事件A，則P(A)＝1－P(eq \x\to(A))＝1－4%＝96%. 記“任選一件產(chǎn)品是一級品”為事件B，由于一級品必是合格品，所以事件A包含事件B，故P(AB)＝P(B)． 由合格品中75%為一級品知P(B|A)＝75%， 故P(B)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝96%×75%＝72%. 13．一個盒子里有6支好晶體管，4支壞晶體管，任取兩次，每次取1支，每次取后不放回，已知第一支是好晶體管，則第二支也是好晶體管的概率為(　　) A.eq \f(2,3) B.eq \f(5,12) C.eq \f(5,9) D.eq \f(7,9) 答案　C 解析　記“第i(i＝1,2)支晶體管是好的”為事件Ai(其中i＝1,2)．由題意可知，要求的概率為P(A2|A1)．因為P(A1)＝eq \f(3,5)，P(A1A2)＝eq \f(6×5,10×9)＝eq \f(1,3)，所以P(A2|A1)＝eq \f(P?A1A2?,P?A1?)＝eq \f(\f(1,3),\f(3,5))＝eq \f(5,9). 14．某項射擊游戲規(guī)定：選手先后對兩個目標進行射擊，只有兩個目標都射中才能過關(guān)．某選手射中第一個目標的概率為0.8，繼續(xù)射擊，射中第二個目標的概率為0.5，則這個選手過關(guān)的概率為________． 答案　0.4 解析　記“射中第一個目標”為事件A，“射中第二個目標”為事件B，則P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5， 所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.5＝0.4， 即這個選手過關(guān)的概率為0.4. 15．從1～100共100個正整數(shù)中任取一數(shù)，已知取出的一個數(shù)不大于50，則此數(shù)是2或3的倍數(shù)的概率為________． 答案　eq \f(33,50) 解析　設(shè)事件C為“取出的數(shù)不大于50”，事件A為“取出的數(shù)是2的倍數(shù)”，事件B是“取出的數(shù)是3的倍數(shù)”，則P(C)＝eq \f(1,2)，且所求概率為P(A∪B|C)＝P(A|C)＋P(B|C)－P(AB|C)＝eq \f(P?AC?,P?C?)＋eq \f(P?BC?,P?C?)－eq \f(P?ABC?,P?C?)＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,100)＋\f(16,100)－\f(8,100)))＝eq \f(33,50). 16．如圖，三行三列的方陣有9個數(shù)aij(i＝1,2,3，j＝1,2,3)，從中任取三個數(shù)，已知取到a22的條件下，求至少有兩個數(shù)位于同行或同列的概率． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a11　a12　a13,a21　a22　a23,a31　a32　a33)) 解　設(shè)事件A＝“任取的三個數(shù)中有a22”， 事件B＝“三個數(shù)至少有兩個數(shù)位于同行或同列”， 則eq \x\to(B)＝“三個數(shù)互不同行且不同列”， 依題意得n(A)＝Ceq \o\al(2,8)＝28，n(Aeq \x\to(B))＝2， 故P(eq \x\to(B)|A)＝eq \f(n?A\x\to(B)?,n?A?)＝eq \f(2,28)＝eq \f(1,14)， 則P(B|A)＝1－P(eq \x\to(B)|A)＝1－eq \f(1,14)＝eq \f(13,14). 即已知取到a22的條件下，至少有兩個數(shù)位于同行或同列的概率為eq \f(13,14).

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