§7.3　離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征 7.3.1　離散型隨機(jī)變量的均值 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.通過實(shí)例理解離散型隨機(jī)變量均值的概念，能計(jì)算簡單離散型隨機(jī)變量的均值.2.理解離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì).3.掌握兩點(diǎn)分布的均值.4.會(huì)利用離散型隨機(jī)變量的均值，解決一些相關(guān)的實(shí)際問題． 知識(shí)點(diǎn)一　離散型隨機(jī)變量的均值 1．離散型隨機(jī)變量的均值的概念 一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為 則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝eq \i\su(i＝1,n,x)ipi為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望． 2．離散型隨機(jī)變量的均值的意義 均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù)，它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平． 3．離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì) 若Y＝aX＋b，其中a，b均是常數(shù)(X是隨機(jī)變量)，則Y也是隨機(jī)變量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 證明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，X是隨機(jī)變量，那么Y也是隨機(jī)變量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列為 于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 思考　離散型隨機(jī)變量的均值與樣本平均值之間的關(guān)系如何？ 答案　(1)區(qū)別：隨機(jī)變量的均值是一個(gè)常數(shù)，它不依賴于樣本的抽取，而樣本平均值是一個(gè)隨機(jī)變量，它隨樣本抽取的不同而變化． (2)聯(lián)系：對(duì)于簡單的隨機(jī)樣本，隨著樣本容量的增加，樣本平均值越來越接近于總體的均值． 知識(shí)點(diǎn)二　兩點(diǎn)分布的均值 如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p. 1．隨機(jī)變量X的均值E(X)是個(gè)變量，其隨X的變化而變化．(　×　) 2．隨機(jī)變量的均值反映了樣本的平均水平．(　×　) 3．若隨機(jī)變量X的均值E(X)＝2，則E(2X)＝4.(　√　) 4．若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝P(X＝1)．(　√　) 一、利用定義求離散型隨機(jī)變量的均值 例1　袋中有4只紅球，3只黑球，現(xiàn)從袋中隨機(jī)取出4只球，設(shè)取到一只紅球得2分，取到一只黑球得1分，試求得分X的均值． 解　取出4只球顏色及得分分布情況是4紅得8分，3紅1黑得7分，2紅2黑得6分，1紅3黑得5分，因此，X的可能取值為5,6,7,8， P(X＝5)＝eq \f(C\o\al(1,4)C\o\al(3,3),C\o\al(4,7))＝eq \f(4,35)， P(X＝6)＝eq \f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,3),C\o\al(4,7))＝eq \f(18,35)， P(X＝7)＝eq \f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,3),C\o\al(4,7))＝eq \f(12,35)， P(X＝8)＝eq \f(C\o\al(4,4)C\o\al(0,3),C\o\al(4,7))＝eq \f(1,35)， 故X的分布列為 ∴E(X)＝5×eq \f(4,35)＋6×eq \f(18,35)＋7×eq \f(12,35)＋8×eq \f(1,35)＝eq \f(44,7). 反思感悟　求隨機(jī)變量X的均值的方法和步驟 (1)理解隨機(jī)變量X的意義，寫出X所有可能的取值． (2)求出X取每個(gè)值的概率P(X＝k)． (3)寫出X的分布列． (4)利用均值的定義求E(X)． 跟蹤訓(xùn)練1　某衛(wèi)視綜藝節(jié)目中有一個(gè)環(huán)節(jié)叫“超級(jí)猜猜猜”，規(guī)則如下：在這一環(huán)節(jié)中嘉賓需要猜三道題目，若三道題目中猜對(duì)一道題目可得1分，若猜對(duì)兩道題目可得3分，要是三道題目完全猜對(duì)可得6分，若三道題目全部猜錯(cuò)，則扣掉4分．如果嘉賓猜對(duì)這三道題目的概率分別為eq \f(2,3)，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，且三道題目之間相互獨(dú)立．求某嘉賓在該“猜題”環(huán)節(jié)中所得分?jǐn)?shù)的分布列與均值． 解　根據(jù)題意，設(shè)X表示“該嘉賓所得分?jǐn)?shù)”，則X的可能取值為－4,1,3,6. ∴P(X＝－4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq \f(1,9)， P(X＝1)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(7,18)， P(X＝3)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(7,18)， P(X＝6)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,18)＝eq \f(1,9). ∴X的分布列為 ∴E(X)＝(－4)×eq \f(1,9)＋1×eq \f(7,18)＋3×eq \f(7,18)＋6×eq \f(1,9)＝eq \f(16,9). 二、離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì) 例2　已知隨機(jī)變量X的分布列為 若Y＝－2X，則E(Y)＝________. 答案　eq \f(17,15) 解析　由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，得 eq \f(1,4)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,5)＋m＋eq \f(1,20)＝1，解得m＝eq \f(1,6)， ∴E(X)＝(－2)×eq \f(1,4)＋(－1)×eq \f(1,3)＋0×eq \f(1,5)＋1×eq \f(1,6)＋2×eq \f(1,20)＝－eq \f(17,30). 由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)， 即E(Y)＝－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,30)))＝eq \f(17,15). 延伸探究 本例條件不變，若ξ＝aX＋3，且E(ξ)＝－eq \f(11,2)，求a的值． 解　E(ξ)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－eq \f(17,30)a＋3＝－eq \f(11,2)， 所以a＝15. 反思感悟　求線性關(guān)系的隨機(jī)變量η＝aξ＋b的均值方法 (1)定義法：先列出η的分布列，再求均值． (2)性質(zhì)法：直接套用公式，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可． 跟蹤訓(xùn)練2　已知隨機(jī)變量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如下表，則m的值為(　　) A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,8) 答案　A 解析　因?yàn)棣牵?2ξ＋7， 則E(η)＝12E(ξ)＋7， 即E(η)＝12×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1×\f(1,4)＋2×m＋3×n＋4×\f(1,12)))＋7＝34. 所以2m＋3n＝eq \f(5,3)，① 又eq \f(1,4)＋m＋n＋eq \f(1,12)＝1，所以m＋n＝eq \f(2,3)，② 由①②可解得m＝eq \f(1,3). 三、均值的實(shí)際應(yīng)用 例3　隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元，設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(單位：萬元)為X. (1)求X的分布列； (2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(即X的均值)； (3)經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品，但次品率降為1%，一等品率提高為70%.若此時(shí)要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？ 解　(1)X的所有可能取值有6,2,1，－2， P(X＝6)＝eq \f(126,200)＝0.63，P(X＝2)＝eq \f(50,200)＝0.25， P(X＝1)＝eq \f(20,200)＝0.1，P(X＝－2)＝eq \f(4,200)＝0.02. 故X的分布列為 (2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(萬元)． (3)設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x，則此時(shí)1件產(chǎn)品的平均利潤為E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)， 依題意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73， 解得x≤0.03，所以三等品率最多為3%. 反思感悟　解答概率模型的三個(gè)步驟 (1)建模：即把實(shí)際問題概率模型化． (2)解模：確定分布列，計(jì)算隨機(jī)變量的均值． (3)回歸：利用所得數(shù)據(jù)，對(duì)實(shí)際問題作出判斷． 跟蹤訓(xùn)練3　受轎車在保修期內(nèi)維修費(fèi)等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤與該轎車首次出現(xiàn)故障的時(shí)間有關(guān)，某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年，現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中隨機(jī)抽取50輛，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下： 將頻率視為概率，解答下列問題： (1)從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛，求其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率； (2)若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤為X1，生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤為X2，分別求X1，X2的分布列； (3)該廠預(yù)計(jì)今后這兩種品牌轎車銷量相當(dāng)，由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種品牌轎車，若從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮，你認(rèn)為應(yīng)該生產(chǎn)哪種品牌的轎車？說明理由． 解　(1)設(shè)“甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)”為事件A，則P(A)＝eq \f(2＋3,50)＝eq \f(1,10). (2)依題意得，X1的分布列為 X2的分布列為 (3)由(2)得E(X1)＝1×eq \f(1,25)＋2×eq \f(3,50)＋3×eq \f(9,10)＝2.86(萬元)． E(X2)＝1.8×eq \f(1,10)＋2.9×eq \f(9,10)＝2.79(萬元)． ∵E(X1)>E(X2)，∴應(yīng)生產(chǎn)甲品牌轎車． 1．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為 則X的均值E(X)等于(　　) A.eq \f(3,2) B．2 C.eq \f(5,2) D．3 答案　A 解析　E(X)＝1×eq \f(3,5)＋2×eq \f(3,10)＋3×eq \f(1,10)＝eq \f(3,2). 2．拋擲一枚硬幣，規(guī)定正面向上得1分，反面向上得－1分，則得分X的均值為(　　) A．0 B.eq \f(1,2) C．1 D．－1 答案　A 解析　因?yàn)镻(X＝1)＝eq \f(1,2)，P(X＝－1)＝eq \f(1,2)，所以由均值的定義得E(X)＝1×eq \f(1,2)＋(－1)×eq \f(1,2)＝0. 3．設(shè)ξ的分布列為 又設(shè)η＝2ξ＋5，則E(η)等于(　　) A.eq \f(7,6) B.eq \f(17,6) C.eq \f(17,3) D.eq \f(32,3) 答案　D 解析　E(ξ)＝1×eq \f(1,6)＋2×eq \f(1,6)＋3×eq \f(1,3)＋4×eq \f(1,3)＝eq \f(17,6)， E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×eq \f(17,6)＋5＝eq \f(32,3). 4．若隨機(jī)變量Y＝aX＋3，且E(Y)＝eq \f(7,3)，E(X)＝－eq \f(1,3)，則a＝________. 答案　2 解析　∵E(X)＝－eq \f(1,3)，E(Y)＝eq \f(7,3)，Y＝aX＋3， ∴aE(X)＋3＝eq \f(7,3)，解得a＝2. 5．某人進(jìn)行一項(xiàng)試驗(yàn)，若試驗(yàn)成功，則停止試驗(yàn)，若試驗(yàn)失敗，再重新試驗(yàn)一次，若試驗(yàn)3次均失敗，則放棄試驗(yàn)．若此人每次試驗(yàn)成功的概率均為eq \f(2,3)，則此人試驗(yàn)次數(shù)ξ的均值是________． 答案　eq \f(13,9) 解析　試驗(yàn)次數(shù)ξ的可能取值為1,2,3， 則P(ξ＝1)＝eq \f(2,3)， P(ξ＝2)＝eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(2,9)， P(ξ＝3)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)＋\f(1,3)))＝eq \f(1,9). 所以ξ的分布列為 所以E(ξ)＝1×eq \f(2,3)＋2×eq \f(2,9)＋3×eq \f(1,9)＝eq \f(13,9). 1．知識(shí)清單： (1)離散型隨機(jī)變量的均值． (2)離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)． (3)兩點(diǎn)分布的均值． 2．方法歸納：函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化化歸． 3．常見誤區(qū)：不會(huì)應(yīng)用均值對(duì)實(shí)際問題作出正確分析． 1．某便利店記錄了100天某商品的日需求量(單位：件)，整理得下表： 試估計(jì)該商品日平均需求量為(　　) A．16 B．16.2 C．16.6 D．16.8 答案　D 解析　估計(jì)該商品日平均需求量為14×0.1＋15×0.2＋16×0.3＋18×0.2＋20×0.2＝16.8，故選D. 2．(多選)已知某一隨機(jī)變量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，則(　　) A.a＝7 B．b＝0.4 C．E(aX)＝44.1 D．E(bX＋a)＝2.62 答案　ABC 解析　由題意和分布列的性質(zhì)得0.5＋0.1＋b＝1， 且E(X)＝4×0.5＋0.1a＋9b＝6.3， 解得b＝0.4，a＝7. ∴E(aX)＝aE(X)＝7×6.3＝44.1， E(bX＋a)＝bE(X)＋a＝0.4×6.3＋7＝9.52， 故ABC正確． 3．現(xiàn)有一個(gè)項(xiàng)目，對(duì)該項(xiàng)目每投資10萬元，一年后利潤是1.2萬元，1.18萬元，1.17萬元的概率分別為eq \f(1,6)，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，隨機(jī)變量X表示對(duì)此項(xiàng)目投資10萬元一年后的利潤，則X的均值為(　　) A．1.18 B．3.55 C．1.23 D．2.38 答案　A 解析　因?yàn)閄的所有可能取值為1.2,1.18,1.17， P(X＝1.2)＝eq \f(1,6)，P(X＝1.18)＝eq \f(1,2)，P(X＝1.17)＝eq \f(1,3)， 所以X的分布列為 所以E(X)＝1.2×eq \f(1,6)＋1.18×eq \f(1,2)＋1.17×eq \f(1,3)＝1.18. 4．袋中有10個(gè)大小相同的小球，其中記為0號(hào)的有4個(gè)，記為n號(hào)的有n個(gè)(n＝1,2,3)．現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取到球的標(biāo)號(hào)，則E(X)等于(　　) A．2 B.eq \f(3,2) C.eq \f(4,5) D.eq \f(7,5) 答案　D 解析　由題意，可知X的所有可能取值為0,1,2,3. P(X＝0)＝eq \f(2,5)，P(X＝1)＝eq \f(1,10)，P(X＝2)＝eq \f(1,5)， P(X＝3)＝eq \f(3,10). ∴E(X)＝0×eq \f(2,5)＋1×eq \f(1,10)＋2×eq \f(1,5)＋3×eq \f(3,10)＝eq \f(7,5). 5．一個(gè)課外興趣小組共有5名成員，其中3名女性成員，2名男性成員，現(xiàn)從中隨機(jī)選取2名成員進(jìn)行學(xué)習(xí)匯報(bào)，記選出女性成員的人數(shù)為X，則X的均值是(　　) A.eq \f(6,5) B.eq \f(3,10) C.eq \f(4,5) D.eq \f(1,5) 答案　A 解析　由題意得，X的所有可能的取值為0,1,2， P(X＝0)＝eq \f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq \f(1,10)， P(X＝1)＝eq \f(C\o\al(1,2)×C\o\al(1,3),C\o\al(2,5))＝eq \f(6,10)＝eq \f(3,5)， P(X＝2)＝eq \f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq \f(3,10). ∴E(X)＝0×eq \f(1,10)＋1×eq \f(3,5)＋2×eq \f(3,10)＝eq \f(6,5)，故A正確． 6．已知E(Y)＝6，Y＝4X－2，則E(X)＝________. 答案　2 解析　∵Y＝4X－2，E(Y)＝4E(X)－2， ∴4E(X)－2＝6，即E(X)＝2. 7．離散型隨機(jī)變量X的可能取值為1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，E(X)＝3，則a＝________，b＝________. 答案　eq \f(1,10)　0 解析　易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3， 即30a＋10b＝3.① 又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1， 即10a＋4b＝1，② 由①②，得a＝eq \f(1,10)，b＝0. 8．某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列如下： 已知E(X)＝8.9，則y的值為________． 答案　0.4 解析　由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝0.6，,7x＋10y＝8.9－0.8－2.7，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝0.2，,y＝0.4.)) 9．盒中裝有5節(jié)同牌號(hào)的五號(hào)電池，其中混有兩節(jié)廢電池．現(xiàn)無放回地每次取一節(jié)電池檢驗(yàn)，直到取到好電池為止，求抽取次數(shù)X的分布列及均值． 解　X的可能取值為1,2,3， 則P(X＝1)＝eq \f(3,5)，P(X＝2)＝eq \f(2,5)×eq \f(3,4)＝eq \f(3,10)， P(X＝3)＝eq \f(2,5)×eq \f(1,4)×1＝eq \f(1,10). 所以抽取次數(shù)X的分布列為 所以E(X)＝1×eq \f(3,5)＋2×eq \f(3,10)＋3×eq \f(1,10)＝eq \f(3,2). 10．春節(jié)期間，小王用私家車送4位朋友到三個(gè)旅游景點(diǎn)去游玩，每位朋友在每一個(gè)景點(diǎn)下車的概率均為eq \f(1,3)，用ξ表示4位朋友在第三個(gè)景點(diǎn)下車的人數(shù)，求： (1)隨機(jī)變量ξ的分布列； (2)隨機(jī)變量ξ的均值． 解　(1)ξ的所有可能值為0,1,2,3,4. 則P(ξ＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4＝eq \f(16,81)，P(ξ＝1)＝eq \f(C\o\al(1,4)·23,34)＝eq \f(32,81)， P(ξ＝2)＝eq \f(C\o\al(2,4)·22,34)＝eq \f(8,27)，P(ξ＝3)＝eq \f(C\o\al(3,4)·2,34)＝eq \f(8,81)， P(ξ＝4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4＝eq \f(1,81). 從而ξ的分布列為 (2)由(1)得ξ的均值為 E(ξ)＝0×eq \f(16,81)＋1×eq \f(32,81)＋2×eq \f(8,27)＋3×eq \f(8,81)＋4×eq \f(1,81)＝eq \f(4,3). 11．某船隊(duì)若出海后天氣好，可獲得5 000元；若出海后天氣壞，將損失2 000元．根據(jù)預(yù)測(cè)知天氣好的概率為0.6，則出海的期望效益是(　　) A．2 000元 B．2 200元 C．2 400元 D．2 600元 答案　B 解析　出海的期望效益E(X)＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝2 200(元)． 12．若X是一個(gè)隨機(jī)變量，則E(X－E(X))的值為(　　) A．無法確定 B．0 C．E(X) D．2E(X) 答案　B 解析　∵E(aX＋b)＝aE(X)＋b，而E(X)為常數(shù)， ∴E(X－E(X))＝E(X)－E(X)＝0. 13．若p為非負(fù)實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量ξ的分布列為 則E(ξ)的最大值為(　　) A．1 B.eq \f(3,2) C.eq \f(2,3) D．2 答案　B 解析　由p≥0，eq \f(1,2)－p≥0，得0≤p≤eq \f(1,2)，則E(ξ)＝p＋1≤eq \f(3,2)，故選B. 14．甲、乙、丙三人參加某次招聘會(huì)，甲應(yīng)聘成功的概率為eq \f(4,9)，乙、丙應(yīng)聘成功的概率均為eq \f(t,3)(01.75，則p2－3p＋3>1.75， 解得p>eq \f(5,2)或p

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