?考點(diǎn)15 數(shù)列綜合問題（核心考點(diǎn)講與練）

數(shù)列應(yīng)用題常見模型
(1)等差模型：如果后一個(gè)量比前一個(gè)量增加(或減少)的是同一個(gè)固定值，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差.
(2)等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是同一個(gè)固定的非零常數(shù)，該模型是等比模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公比.
(3)遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定，隨項(xiàng)的變化而變化，應(yīng)考慮an與an＋1(或者相鄰三項(xiàng)等)之間的遞推關(guān)系，或者Sn與Sn＋1(或者相鄰三項(xiàng)等)之間的遞推關(guān)系.

1.數(shù)列的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是通過找到圖形之間的關(guān)系，得到等比數(shù)列，求數(shù)列通項(xiàng)公式常用的方法：（1）由與的關(guān)系求通項(xiàng)公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）兩邊取到數(shù)，構(gòu)造新數(shù)列法.
2.等差、等比數(shù)列的綜合問題的分析，應(yīng)重點(diǎn)分析等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和；分析等差、等比數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系．往往用到轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法．
3.數(shù)列與函數(shù)常常以函數(shù)的解析式為載體，轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題，常用的數(shù)學(xué)思想方法有“函數(shù)與方程”“等價(jià)轉(zhuǎn)化”等．
4.數(shù)列與不等式問題要抓住一個(gè)中心——函數(shù)，兩個(gè)密切聯(lián)系：一是數(shù)列和函數(shù)之間的密切聯(lián)系，數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列問題的核心，函數(shù)的解析式是研究函數(shù)問題的基礎(chǔ)；二是方程、不等式與函數(shù)的聯(lián)系，利用它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行靈活的處理．
5.＂新定義＂型問題是指在問題中定義了初中數(shù)學(xué)中沒有學(xué)過的一些概念、新運(yùn)算、新符號(hào)，要求學(xué)生讀懂題意并結(jié)合已有知識(shí)進(jìn)行理解，而后根據(jù)新定義進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移的一種題型.它一般分為三種類型：（1）定義新運(yùn)算；（2）定義初、高中知識(shí)銜接＂新知識(shí)＂;（3）定義新概念.這類試題考查考生對(duì)＂新定義＂的理解和認(rèn)識(shí)，以及靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，解題時(shí)需要將＂新定義＂的知識(shí)與已學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來，利用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來解決問題.
6.數(shù)列與函數(shù)、不等式綜合問題的求解策略：
1、已知數(shù)列的條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一把要利用數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式，求和方法等對(duì)于式子化簡變形，注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問題時(shí)要注意這一特殊性；
2、解決數(shù)列與不等式的綜合問題時(shí)，若是證明題中，則要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等，若是含參數(shù)的不等式恒成立問題，則可分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究最值問題來解決.

數(shù)列的綜合應(yīng)用
一、單選題
1．（2022·山東青島·一模）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有人持金出五關(guān)，前關(guān)二稅一，次關(guān)三而稅一，次關(guān)四而稅一，次關(guān)五而稅一，次關(guān)六而稅一，并五關(guān)所稅，適重一斤．問本持金幾何？”其意思為“今有人持金出五關(guān)，第1關(guān)收稅金為持金的，第2關(guān)收稅金為剩余金的，第3關(guān)收稅金為剩余金的，第4關(guān)收稅金為剩余金的，第5關(guān)收稅金為剩余金的，5關(guān)所收稅金之和恰好重1斤．問原來持金多少？”．記這個(gè)人原來持金為斤，設(shè)，則（???????）
A． B．7 C．13 D．26
【答案】C
【分析】根據(jù)題意求得每次收的稅金，結(jié)合題意得到，求得的值，代入函數(shù)的解析式，即可求解.
【詳解】由題意知：這個(gè)人原來持金為斤，
第1關(guān)收稅金為：斤；第2關(guān)收稅金為斤；
第3關(guān)收稅金為斤，
以此類推可得的，第4關(guān)收稅金為斤，第5關(guān)收稅金為斤，
所以，
即，解得，
又由，所以.
故選：C.
2．（2021·廣東佛山·二模）科技創(chuàng)新離不開科研經(jīng)費(fèi)的支撐，在一定程度上，研發(fā)投入被視為衡量“創(chuàng)新力”的重要指標(biāo).“十三五”時(shí)期我國科技實(shí)力和創(chuàng)新能力大幅提升，2020年我國全社會(huì)研發(fā)經(jīng)費(fèi)投入達(dá)到了24426億元，總量穩(wěn)居世界第二，其中基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)投入占研發(fā)經(jīng)費(fèi)投入的比重是6.16%.“十四五”規(guī)劃《綱要草案》提出，全社會(huì)研發(fā)經(jīng)費(fèi)投入年均增長要大于7%，到2025年基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)占比要達(dá)到8%以上，請(qǐng)估計(jì)2025年我國基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)為（???????）
A．1500億元左右 B．1800億元左右 C．2200億元左右 D．2800億元左右
【答案】D
【分析】由題意可知，2025年我國全社會(huì)研發(fā)經(jīng)費(fèi)投入不得低于, 再根據(jù)2025年基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)占比要達(dá)到8%以上，即可求出2025年我國基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)的最低值，從而選出正確選項(xiàng).
【詳解】由題意可知，2025年我國全社會(huì)研發(fā)經(jīng)費(fèi)投入不得低于億元，又因?yàn)?025年基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)占比要達(dá)到8%以上，
所以2025年我國基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)不得低于 億元
故選：D
3．（2022·湖南·一模）在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指在沒有外力介入，同時(shí)所有人都沒有免疫力的情況下，一個(gè)感染者平均傳染的人數(shù)．一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定．對(duì)于，而且死亡率較高的傳染病，一般要隔離感染者，以控制傳染源，切斷傳播途徑．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)，平均感染周期為7天（初始感染者傳染個(gè)人為第一輪傳染，經(jīng)過一個(gè)周期后這個(gè)人每人再傳染個(gè)人為第二輪傳染……）那么感染人數(shù)由1個(gè)初始感染者增加到1000人大約需要的天數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：，）（???????）
A．35 B．42 C．49 D．56
【答案】B
【分析】根據(jù)題意列出方程，利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算n輪傳染后感染的總?cè)藬?shù)，得到指數(shù)方程，求得近似解，然后可得需要的天數(shù).
【詳解】感染人數(shù)由1個(gè)初始感染者增加到1000人大約需要n輪傳染,
則每輪新增感染人數(shù)為，
經(jīng)過n輪傳染，總共感染人數(shù)為：，
∵，∴當(dāng)感染人數(shù)增加到1000人時(shí)，，化簡得，
由，故得，又∵平均感染周期為7天，
所以感染人數(shù)由1個(gè)初始感染者增加到1000人大約需要天，
故選：B
【點(diǎn)睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)該要分類討論，有時(shí)還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡化運(yùn)算過程．
4．（2022·陜西西安·一模（理））2020年底，國務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽脫貧攻堅(jiān)取得重大勝利！為進(jìn)步鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，接續(xù)實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號(hào)召，積極參與幫扶活動(dòng)．該企業(yè)2021年初有資金500萬元，資金年平均增長率可達(dá)到20%．每年年底扣除下一年必須的消費(fèi)資金后，剩余資金全部投入再生產(chǎn)為了實(shí)現(xiàn)5年后投入再生產(chǎn)的資金達(dá)到800萬元的目標(biāo)，每年應(yīng)扣除的消費(fèi)資金至多為（???????）（單位：萬元，結(jié)果精確到萬元）（參考數(shù)據(jù)：，）
A．83 B．60 C．50 D．44
【答案】B
【分析】由題可知5年后投入再生產(chǎn)的資金為：，即求.
【詳解】設(shè)每年應(yīng)扣除的消費(fèi)資金為萬元，則
1年后投入再生產(chǎn)的資金為：，
2年后投入再生產(chǎn)的資金為：
，

5年后投入再生產(chǎn)的資金為：

∴，
∴.
故選：B
二、雙空題
5．（2022·湖北·一模）2022年北京冬奧會(huì)開幕式中，當(dāng)《雪花》這個(gè)節(jié)目開始后，一片巨大的“雪花”呈現(xiàn)在舞臺(tái)中央，十分壯觀.理論上，一片雪花的周長可以無限長，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，又稱“科赫曲線”，是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年研究的一種分形曲線.如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：從一個(gè)正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復(fù)進(jìn)行這一過程

若第1個(gè)圖中的三角形的周長為1，則第n個(gè)圖形的周長為___________；若第1個(gè)圖中的三角形的面積為1，則第n個(gè)圖形的面積為___________.
【答案】???? ????
【分析】由圖形之間的邊長的關(guān)系，得到周長是等比數(shù)列，再按照等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得解；
由圖形之間的面積關(guān)系及累加法，結(jié)合等比數(shù)列求和可得解.
【詳解】記第個(gè)圖形為，三角形邊長為，邊數(shù)，周長為，面積為
有條邊，邊長；有條邊，邊長；有條邊，邊長；
分析可知，即；，即
當(dāng)?shù)?個(gè)圖中的三角形的周長為1時(shí)，即，
所以
由圖形可知是在每條邊上生成一個(gè)小三角形，即
即，，，
利用累加法可得
數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，故是以為公比的等比數(shù)列，
當(dāng)?shù)?個(gè)圖中的三角形的面積為1時(shí)，，即，此時(shí)，，有條邊，
則
所以， 所以
故答案為：，
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是通過找到圖形之間的關(guān)系，得到等比數(shù)列，求數(shù)列通項(xiàng)公式常用的方法：（1）由與的關(guān)系求通項(xiàng)公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）兩邊取到數(shù)，構(gòu)造新數(shù)列法.
三、填空題
6．（2021·遼寧鐵嶺·一模）趙先生準(zhǔn)備通過某銀行貸款5000元，然后通過分期付款的方式還款．銀行與趙先生約定：每個(gè)月還款一次，分12次還清所有欠款，且每個(gè)月還款的錢數(shù)都相等，貸款的月利率為，則趙先生每個(gè)月所要還款的錢數(shù)為______元．（精確到元，參考數(shù)據(jù)）
【答案】
【分析】本題首先可設(shè)每一期所還款數(shù)為元，然后結(jié)合題意列出每期所還款本金，并根據(jù)貸款5000元列出方程，最后借助等比數(shù)列前項(xiàng)和公式進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)果.
【詳解】設(shè)每一期所還款數(shù)為元，
因?yàn)橘J款的月利率為，
所以每期所還款本金依次為、、、、，
則，
即，
，
，
，小明每個(gè)月所要還款約元，
故答案為：.
四、解答題
7．（2020·河南·一模（理））市民小張計(jì)劃貸款60萬元用于購買一套商品住房，銀行給小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式.①等額本金：每月的還款額呈遞減趨勢(shì)，且從第二個(gè)還款月開始，每月還款額與上月還款額的差均相同；②等額本息：每個(gè)月的還款額均相同.銀行規(guī)定，在貸款到賬日的次月當(dāng)天開始首次還款（若2019年7月7日貸款到賬，則2019年8月7日首次還款）.
已知小張?jiān)摴P貸款年限為20年，月利率為0.004.
（1）若小張采取等額本金的還款方式，現(xiàn)已得知第一個(gè)還款月應(yīng)還4900元，最后一個(gè)還款月應(yīng)還2510元，試計(jì)算小張?jiān)摴P貸款的總利息；
（2）若小張采取等額本息的還款方式，銀行規(guī)定，每月還款額不得超過家庭平均月收入的一半，已知小張家庭平均月收入為1萬元，判斷小張?jiān)摴P貸款是否能夠獲批（不考慮其他因素）；
（3）對(duì)比兩種還款方式，從經(jīng)濟(jì)利益的角度來考慮，小張應(yīng)選擇哪種還款方式.
參考數(shù)據(jù)：.
【答案】（1）289200元；（2）能夠獲批；（3）應(yīng)選擇等額本金還款方式
【解析】（1）由題意可知，等額本金還款方式中，每月的還款額構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，即可由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得其還款總額，減去本金即為還款的利息；
（2）根據(jù)題意，采取等額本息的還款方式，每月還款額為一等比數(shù)列，設(shè)小張每月還款額為元，由等比數(shù)列求和公式及參考數(shù)據(jù)，即可求得其還款額，與收入的一半比較即可判斷；
（3）計(jì)算出等額本息還款方式時(shí)所付出的總利息，兩個(gè)利息比較即可判斷.
【詳解】（1）由題意可知，等額本金還款方式中，每月的還款額構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，記為，
表示數(shù)列的前項(xiàng)和，則，，
則，
故小張?jiān)摴P貸款的總利息為元.
（2）設(shè)小張每月還款額為元，采取等額本息的還款方式，每月還款額為一等比數(shù)列，
則，
所以，
即，
因?yàn)椋?br /> 所以小張?jiān)摴P貸款能夠獲批.
（3）小張采取等額本息貸款方式的總利息為：
，
因?yàn)椋?br /> 所以從經(jīng)濟(jì)利益的角度來考慮，小張應(yīng)選擇等額本金還款方式.
【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式的綜合應(yīng)用，數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用，理解題意是解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔題.
8．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）在一個(gè)傳染病流行的群體中，通常有3類人群：
類別
特征
S類（Susceptible）
易感染者，體內(nèi)缺乏有關(guān)抗體，與I類人群接觸后易變?yōu)镮類人群．
I類（Infectious）
感染者，可以接觸S類人群，并把傳染病傳染給S類人群；康復(fù)后成為R類人群．
R類（Recovered）
康復(fù)者，自愈或者經(jīng)治療后康復(fù)且體內(nèi)存在相關(guān)抗體的I類人群；若抗體存在時(shí)間有限，可能重新轉(zhuǎn)化為S類人群．
在一個(gè)600人的封閉環(huán)境中，設(shè)第n天S類，I類，R類人群人數(shù)分別為，，．其中第1天，，．為了簡化模型，我們約定各類人群每天轉(zhuǎn)化的比例參數(shù)恒定：
S類→I類占當(dāng)天S類比例
I類→R類占當(dāng)天I類比例
R類→S類占當(dāng)天R類比例



(1)已知對(duì)于傳染病A有，，．求，；
(2)已知對(duì)于傳染病B有，，．
（Ⅰ）證明：存在常數(shù)p，q，使得是等比數(shù)列；
（Ⅱ）已知防止傳染病大規(guī)模傳播的關(guān)鍵途徑至少包含：①控制感染人數(shù)；②保護(hù)易感人群．請(qǐng)選擇一項(xiàng)，通過相關(guān)計(jì)算說明：實(shí)際生活中，相較于傳染病A需要投入更大力量防控傳染病B．
【答案】(1)；；
【分析】（1）根據(jù)條件可得，進(jìn)而可得，再通過構(gòu)造數(shù)列，可得，即求；
（2）由題可得，進(jìn)而可得，即得；再結(jié)合傳染病A和傳染病B的及傳染病A和傳染病B的分析即得結(jié)論.
(1)由題可知，
所以，
∵，，
∴是以540為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，
∴，
所以，
配湊得到，又，
所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
∴，即，
所以．
(2)（Ⅰ）由題可知，，，，
所以
，
對(duì)比系數(shù)得到

解得
或
因此我們有：
是首項(xiàng)為1480，公比為的等比數(shù)列；
是首項(xiàng)為1980，公比為的等比數(shù)列．
原命題得證．
（Ⅱ）由上可知，
，
解得，
，
選擇①：對(duì)比傳染病A和傳染病B的可知，當(dāng)時(shí)間足夠長時(shí)傳染病A的I類人群將趨向于0，傳染病B的I類人群將趨向于80．為了控制感染人數(shù)，相較于傳染病A需要投入更大力量防控傳染病B．
選擇②：對(duì)比傳染病A和傳染病B的可知，當(dāng)時(shí)間足夠長時(shí)傳染病A的S類人群將趨向于0，傳染病B的S類人群將趨向于40．為了保護(hù)易感人群，相較于傳染病A需要投入更大力量防控傳染病B．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第一問的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)列，進(jìn)而可得；第二問中關(guān)鍵是通過對(duì)比系數(shù)找出關(guān)系式，即得.
等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合
1.（2021黑龍江省大慶第一中學(xué)高三第三次模擬）在各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列中，，數(shù)列是等比數(shù)列，且，則的值為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，代入方程可求出，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì) 即可代入求解.
【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列中，所以，
因?yàn)楦黜?xiàng)不為零，所以，
因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以
所以，故選C.
2.（2020貴州省遵義航天高級(jí)中學(xué)高三（最后一卷)）已知等比數(shù)列中，若，且成等差數(shù)列，則（ ）
A. 2 B. 2或32 C. 2或-32 D. -1
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)，列出方程可得q的值，可得的值.
【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q（），
成等差數(shù)列，
，，
，解得：，
，，
故選B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義及性質(zhì)，熟悉其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
數(shù)列與函數(shù)
1.（2019河南省八市重點(diǎn)高中聯(lián)盟“領(lǐng)軍考試”高三壓軸）已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，-2和，三個(gè)數(shù)適當(dāng)排序后既可成為等差數(shù)列，也可成為等比數(shù)列，則函數(shù)的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由函數(shù)零點(diǎn)的定義和韋達(dá)定理，得，再由和，三個(gè)數(shù)適當(dāng)排序后既可成為等差數(shù)列，也可成為等比數(shù)列，得，，解得，，進(jìn)而可求解得值，得出函數(shù)的解析式．
【詳解】由題意，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，
可得，則，，
又由和，三個(gè)數(shù)適當(dāng)排序后既可成為等差數(shù)列，也可成為等比數(shù)列，
不妨設(shè)，則，，解得，，
所以，，所以，
故選C.
2.（2020上海市建平中學(xué)高三月考）已知數(shù)列滿足，若存在實(shí)數(shù)，使單調(diào)遞增，則的取值范圍是
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】由單調(diào)遞增，可得恒成立，則，分析和可排除錯(cuò)誤選項(xiàng).
【詳解】由單調(diào)遞增，可得，
由，可得，所以.
時(shí)，可得.①
時(shí)，可得，即.②
若，②式不成立，不合題意；
若，②式等價(jià)為，與①式矛盾，不合題意.
排除B,C,D,故選A.
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合不等式的性質(zhì)求解.
數(shù)列不等式
1.（2020山西重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三暑期聯(lián)考）已知數(shù)列的各項(xiàng)排成如圖所示的三角形數(shù)陣，數(shù)陣中每一行的第一個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，是的前項(xiàng)和，且，.

(1)若數(shù)陣中從第3行開始每行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成公比為正數(shù)的等比數(shù)列，且公比相等，已知，求的值；
(2)設(shè)，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）160；（2）或.
試題分析：（I）由等差數(shù)列{bn}滿足b1=a1=1，S5=15．求出數(shù)列公差后，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合數(shù)陣中從第三行開始每行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成公比為正數(shù)的等比數(shù)列，且公比相等，a9=16，可求出公比，進(jìn)而求出a50的值；
（Ⅱ）由（1）求出Sn的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)相消法求出Tn的表達(dá)式，進(jìn)而將不等式恒成立問題，轉(zhuǎn)化為最值問題，利用導(dǎo)數(shù)法，可得答案．
試題解析：
(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，∵，，
∴，.
∴，
設(shè)從第3行起，每行的公比都是，且，，，.
，故是數(shù)陣中第10行的第5個(gè)數(shù).
故.
(2)∵，
∴


；
令，
則
當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)，
∴為遞減數(shù)列，的最大值為.
∴不等式變?yōu)楹愠闪ⅲO(shè)，，
則，即，解得或.
2.（2022河南省創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟高三聯(lián)考）已知數(shù)列滿足且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根據(jù)遞增數(shù)列可得關(guān)于的不等式組，從而可求其取值范圍.
【詳解】由題意可得解得.
故選：A.
數(shù)列新定義
1.（2020廣東省廣州、深圳市學(xué)調(diào)聯(lián)盟高三下學(xué)期第二次調(diào)研）對(duì)于實(shí)數(shù)x，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，已知正數(shù)列{an}滿足Sn=（an），n∈N*，其中Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，則[]=______．
【答案】20
【分析】先由數(shù)列的關(guān)系求出，再利用放縮法和裂項(xiàng)相消求得前n項(xiàng)和S的值，可得答案.
【詳解】由題可知，當(dāng)時(shí)，化簡可得，當(dāng)
所以數(shù)列是以首項(xiàng)和公差都是1等差數(shù)列，即
又時(shí)，
記
一方面
另一方面
所以
即
故答案為20
2.（2022遼寧省六校高三上學(xué)期期初聯(lián)考）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，…，其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【分析】由題意可得數(shù)列滿足遞推關(guān)系，依次判斷四個(gè)選項(xiàng)，即可得正確答案.
【詳解】對(duì)于A，寫出數(shù)列的前6項(xiàng)為，故A正確；
對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由，，，……，，可得：，故C正確.
對(duì)于D，斐波那契數(shù)列總有，則，，，……，，，可得，故D正確；
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】本題以“斐波那契數(shù)列”為背景，考查數(shù)列的遞推關(guān)系及性質(zhì)，考查方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意遞推關(guān)系的靈活轉(zhuǎn)換，屬于中檔題.

1.（2021年全國高考乙卷）設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．
（1）求和的通項(xiàng)公式；
（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．
【答案】（1），；（2）證明見解析.
【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及得到，解方程即可；
（2）利用公式法、錯(cuò)位相減法分別求出，再作差比較即可.
【詳解】（1）因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用錯(cuò)位相減法求和
，
，
．
設(shè)， ⑧
則． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最優(yōu)解】：公式法和錯(cuò)位相減求和法
證明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
[方法三]：構(gòu)造裂項(xiàng)法

由（Ⅰ）知，令，且，即，
通過等式左右兩邊系數(shù)比對(duì)易得，所以．
則，下同方法二．
[方法四]：導(dǎo)函數(shù)法
設(shè)，
由于，
則．
又，
所以
，下同方法二．
【整體點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時(shí)采用作差法，或者作商法要根據(jù)式子得結(jié)構(gòu)類型靈活選擇，關(guān)鍵是要看如何消項(xiàng)化簡的更為簡潔.
（2）的方法一直接作差后利用錯(cuò)位相減法求其部分和，進(jìn)而證得結(jié)論；
方法二根據(jù)數(shù)列的不同特點(diǎn)，分別利用公式法和錯(cuò)位相減法求得,然后證得結(jié)論,為最優(yōu)解；
方法三采用構(gòu)造數(shù)列裂項(xiàng)求和的方法，關(guān)鍵是構(gòu)造，使，求得的表達(dá)式，這是錯(cuò)位相減法的一種替代方法，
方法四利用導(dǎo)數(shù)方法求和，也是代替錯(cuò)位相減求和法的一種方法.

一、單選題
1．（2022·重慶八中模擬預(yù)測(cè)）如圖，將鋼琴上的12個(gè)鍵依次記為，，，．設(shè)．若且，則，，為原位大三和弦；若且，則稱，，為原位小三和弦．用這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個(gè)數(shù)之差為（???????）

A．5 B． C．0 D．10
【答案】C
【分析】按照題目中的定義依次列舉出來，計(jì)算差即可.
【詳解】若且，則，，為原位大三和弦，
即有，，；，，；，，；，，；，，，共5個(gè)；
若且，則，，為原位小三和弦，
可得，，；，，；，，；，，；，，，共5個(gè)，
個(gè)數(shù)差為0．
故選：C.
2．（2021·陜西咸陽·模擬預(yù)測(cè)）某城鎮(zhèn)為改善當(dāng)?shù)厣鷳B(tài)環(huán)境，2016年初投入資金120萬元，以后每年投入資金比上一年增加10萬元，從2020年初開始每年投入資金比上一年增加，到2025年底該城鎮(zhèn)生態(tài)環(huán)境建設(shè)共投資大約為（???????）
A．1600萬元 B．1660萬元 C．1700萬元 D．1810萬元
【答案】D
【解析】設(shè)2016年到2025年每年投入資金分別為，，，，，，，，由題意知分別為等差數(shù)列、等比數(shù)列，分別求數(shù)列和，即可求解.
【詳解】設(shè)2016年到2025年每年投入資金分別為，，，，，，，，
由已知，，，為等差數(shù)列，，，
其和為.
，，，為等比數(shù)列，，公比，
其和為，
又，.
共投入資金大約為1810萬元.
故選：D.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：實(shí)際問題中，關(guān)鍵要讀懂題意，抽象出數(shù)列，并判斷數(shù)列為等差還是等比數(shù)列，利用數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式解決實(shí)際問題.
3．（2022·四川涼山·二模（文））在“全面脫貧”行動(dòng)中，貧困戶小王2020年1月初向銀行借了扶貧免息貸款10000元，用于自己開設(shè)的土特產(chǎn)品加工廠的原材料進(jìn)貨，因產(chǎn)品質(zhì)優(yōu)價(jià)廉，上市后供不應(yīng)求，據(jù)測(cè)算每月獲得的利潤是該月月初投入資金的20%，每月月底需繳納房租600元和水電費(fèi)400元.余款作為資金全部用于再進(jìn)貨，如此繼續(xù).設(shè)第n月月底小王手中有現(xiàn)款為，則下列結(jié)論正確的是（???????）（參考數(shù)據(jù)：，）
①
②
③2020年小王的年利潤約為40000元
④兩年后，小王手中現(xiàn)款約達(dá)41萬
A．②③④ B．②④ C．①②④ D．②③
【答案】A
【分析】由題可知，月月底小王手中有現(xiàn)款為，月月底小王手中有現(xiàn)款為之間的遞推關(guān)系為，，進(jìn)而根據(jù)遞推關(guān)系求出通項(xiàng)公式即可得答案.
【詳解】
對(duì)于①選項(xiàng)，元，故①錯(cuò)誤
對(duì)于②選項(xiàng)，第月月底小王手中有現(xiàn)款為，則第月月底小王手中有現(xiàn)款為，由題意故②正確；
對(duì)于③選項(xiàng)，由得
所以數(shù)列是首項(xiàng)為公比為1.2的等比數(shù)列，
所以，即
所以2020年小王的年利潤為元，故③正確；
對(duì)于④選項(xiàng)，兩年后，小王手中現(xiàn)款為元，即41萬，故④正確.
故選：A.
二、多選題
4．（2022·重慶·一模）已知數(shù)列，均為遞增數(shù)列，它們的前項(xiàng)和分別為，，且滿足，，則下列結(jié)論正確的是（???????）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】利用代入法求出前幾項(xiàng)的關(guān)系即可判斷出與的取值范圍，再分別求出數(shù)列與的前項(xiàng)和的表達(dá)式即可判斷大小關(guān)系．
【詳解】由是遞增數(shù)列，得；又，所以，
所以，所以，故選項(xiàng)A正確；
，故B不正確；
由是遞增數(shù)列，得，又，所以，
所以，所以，故選項(xiàng)C正確；
所以
，
所以，又，所以，
而，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，可驗(yàn)證，
所以對(duì)于任意的，，故選項(xiàng)D正確．
故選：ACD．
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的第一個(gè)關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性建立不等式，從而判斷選項(xiàng)A、C，第二個(gè)關(guān)鍵是在求和時(shí)采用分組求和，第三個(gè)關(guān)鍵是比較大小.
5．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于給定數(shù)列，如果存在實(shí)數(shù)t，m，對(duì)于任意的均有成立，那么我們稱數(shù)列為“M數(shù)列”，則下列說法正確的是（???????）
A．?dāng)?shù)列是“M數(shù)列”
B．?dāng)?shù)列不是“M數(shù)列”
C．若數(shù)列為“M數(shù)列”，則數(shù)列是“M數(shù)列”
D．若數(shù)列滿足，，則數(shù)列是“M數(shù)列”
【答案】ACD
【分析】根據(jù)“M數(shù)列”定義，依次判斷四個(gè)答案，驗(yàn)證t，m的存在性，進(jìn)而判斷答案.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由“M數(shù)列”定義，得，即，存在，對(duì)于任意的都成立，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，由“M數(shù)列”定義，得，即，存在，對(duì)于任意的都成立，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，若數(shù)列為“M數(shù)列”，則，所以，存在m=0成立所以數(shù)列是“M數(shù)列”，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，若數(shù)列是“M數(shù)列”，則，可得，即，故，對(duì)于任意的都成立，則所以，或.當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)數(shù)列是“M數(shù)列”；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列是“M數(shù)列”，故選項(xiàng)D正確.
故選：ACD.
6．（2021·全國·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于首項(xiàng)為負(fù)數(shù)的無窮等比數(shù)列，若對(duì)任意的n，，，則稱為“M數(shù)列”；若對(duì)任意的，存在，使得，則稱為“L數(shù)列”.若數(shù)列的公比為q，則（???????）
A．當(dāng)q0時(shí)，為“M數(shù)列”，則一定為“L數(shù)列”
【答案】BC
【分析】根據(jù)“M數(shù)列”和“L數(shù)列”的定義逐一對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可.
【詳解】選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，取，則，不成立，
這與對(duì)任意的n，，，相矛盾，故不是“M數(shù)列”，故A不正確；
選項(xiàng)B，假設(shè)為“L數(shù)列”，則對(duì)任意的，存在，使得，
由，得，所以，即，所以，
但此時(shí)，與對(duì)任意的，存在，使得相矛盾，
所以假設(shè)不成立，所以當(dāng)q0時(shí)，為“M數(shù)列”，取，則不存在，使得成立，故不為“L數(shù)列”，故D不正確.
故選：BC
7．（2022·山東聊城·一模）在數(shù)列中，對(duì)于任意的都有，且，則下列結(jié)論正確的是（???????）
A．對(duì)于任意的，都有
B．對(duì)于任意的，數(shù)列不可能為常數(shù)列
C．若，則數(shù)列為遞增數(shù)列
D．若，則當(dāng)時(shí)，
【答案】ACD
【分析】A由遞推式有上，結(jié)合恒成立，即可判斷：B反證法：假設(shè)為常數(shù)列，根據(jù)遞推式求判斷是否符合，即可判斷；C、D由上，討論、研究數(shù)列單調(diào)性，即可判斷.
【詳解】A：由，對(duì)有，則，即任意都有，正確；
B：由，若為常數(shù)列且，則滿足，錯(cuò)誤；
C：由且，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)且，數(shù)列遞增；
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，數(shù)列遞減；
所以時(shí)數(shù)列為遞增數(shù)列，正確；
D：由C分析知：時(shí)且數(shù)列遞減，即時(shí)，正確.
故選：ACD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：選項(xiàng)B應(yīng)用反證法，假設(shè)為常數(shù)列求通項(xiàng)，判斷是否與矛盾；對(duì)于C、D，將遞推式變形為，討論、研究數(shù)列單調(diào)性.
8．（2021·福建·廈門一中模擬預(yù)測(cè)）記表示與實(shí)數(shù)最接近的整數(shù)，數(shù)列通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為，設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（???????）．
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】由時(shí)，可判定A不正確；由，可判定B正確；由，可得，根據(jù)是右側(cè)的最接近的整數(shù)，可判定C正確；根據(jù)題意歸納得到數(shù)列中，有2個(gè)1，4個(gè)，6個(gè)，8個(gè)，，結(jié)合等差數(shù)列求和公式，可判定D不正確.
【詳解】由題意，記表示與實(shí)數(shù)最接近的整數(shù)，且，
當(dāng)時(shí)，可得，所以A不正確；
由，即，可得，
可得成立，所以B正確；
由，可得，平方可得，
因?yàn)椋也皇钦麛?shù)，
其中是右側(cè)的最接近的整數(shù)，
所以成立，所以C正確；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；

歸納可得數(shù)列中，有2個(gè)1，4個(gè)，6個(gè)，8個(gè)，
又由構(gòu)成首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，可得，
令，解得，
所以，所以D不正確.
故選：BC.
【點(diǎn)睛】與數(shù)列的新定義有關(guān)的問題的求解策略：
1、通過給出一個(gè)新的數(shù)列的定義，或約定一種新的運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)心信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的；
2、遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使得問題得以解決.
三、填空題
9．（2022·重慶八中模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足：①仍為數(shù)列中的項(xiàng)；②當(dāng)，且時(shí)，仍為數(shù)列中的項(xiàng)；③仍為數(shù)列中的項(xiàng).則其通項(xiàng)公式可以為___________.
【答案】(答案不唯一)
【分析】結(jié)合三個(gè)性質(zhì)與等比數(shù)列的性質(zhì)即可猜測(cè)該數(shù)列為一個(gè)等比數(shù)列，構(gòu)造一個(gè)通項(xiàng)公式逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得到一個(gè)答案．
【詳解】結(jié)合三個(gè)性質(zhì)與等比數(shù)列的性質(zhì)，不妨設(shè)，
則仍為數(shù)列中的項(xiàng)；
當(dāng)，且時(shí)，仍為數(shù)列中的項(xiàng)；
仍為數(shù)列中的項(xiàng)；
故滿足題意．
故答案為：．
四、解答題
10．（2022·湖北·二模）已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿足：，且成等比數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意均有恒成立，求的最小值．
【答案】(1)(2)最小值為
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到，則，再根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)得到方程，求出，即可得解；
（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法求和得到，即可得到，從而求出的取值范圍，即可得解；
(1)解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得，則，
所以．
因?yàn)椤?、成等比?shù)列，所以，即，
所以，解得或，
因?yàn)闉檎?xiàng)數(shù)列，所以，所以，所以．
(2)解：由（1）可得，
所以，
因?yàn)閷?duì)任意均有，所以，所以實(shí)數(shù)的最小值為
11．（2022·湖南·雅禮中學(xué)二模）已知數(shù)列{}滿足∈N*，為該數(shù)列的前n項(xiàng)和.
(1)求證：數(shù)列{}為遞增數(shù)列；
(2)求證：.
【分析】（1）由題可得即可證明；
（2）由已知可得，即可求出，根據(jù)數(shù)列為遞增數(shù)列可得即可證明.
(1)因?yàn)?，取倒?shù)可得，
整理可得，
所以數(shù)列為遞增數(shù)列；
(2)由可得，即，
所以

，
又，所以，，即.
12．（2022·北京順義·二模）設(shè)正整數(shù)數(shù)列滿足．
(1)若，請(qǐng)寫出所有可能的取值；
(2)記集合，證明：若集合存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，則的所有元素都是3的倍數(shù)；
(3)若為周期數(shù)列，求所有可能的取值.
【答案】(1)，，(2)證明見解析(3)
【分析】（1）根據(jù)遞推公式求出、即可求出，再分類討論，分別計(jì)算可得；
（2）首先證明如果存在為3的倍數(shù)，根據(jù)遞推公式得到都是3的倍數(shù)，再證都是3的倍數(shù)，即可得證；
（3）依題意數(shù)列一定有最小值，設(shè)為，再或，即可得到當(dāng)數(shù)列中出現(xiàn)或時(shí)數(shù)列為周期數(shù)列，即可得解；
(1)解：因?yàn)檎麛?shù)數(shù)列滿足，
當(dāng)時(shí)，，所以，，所以，則或，即或，
當(dāng)時(shí)，或，所以或；
當(dāng)時(shí)，，所以；
所以的可能取值為、、；
(2)證明：如果存在正整數(shù)，滿足是的倍數(shù)，則對(duì)，都是的倍數(shù)；
如果存在為3的倍數(shù)，根據(jù)，可知也是3的倍數(shù)，
以此類推，都是3的倍數(shù)；
另一方面，當(dāng)時(shí)，由于，當(dāng)為3的倍數(shù)時(shí)，可知也是3的倍數(shù)，以此類推，都是3的倍數(shù)；
綜上所述，若集合存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，則的所有元素都是3的倍數(shù)；
(3)證明：
首先注意到是正整數(shù)數(shù)列，則數(shù)列一定有最小值，設(shè)為，下證或；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則，與是最小值矛盾；????????????????????????????????
所以是奇數(shù)；不妨設(shè)，則是偶數(shù)，，????????????????????????????
假設(shè)，則，與是最小值矛盾；
綜上，只能是小于的正奇數(shù)，即或；????????????????????????????????????????????????????????????
當(dāng)數(shù)列中出現(xiàn)1時(shí)，后面的項(xiàng)為4，2，1，4，2，1，4，2，1…循環(huán)；
當(dāng)數(shù)列中出現(xiàn)3時(shí)，后面的項(xiàng)為6，3，6，3…循環(huán)；
所以數(shù)列為周期數(shù)列時(shí)，只能為1，2，3，4，6中某一個(gè)數(shù)；
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，數(shù)列確實(shí)是周期數(shù)列；
13．（2021·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的公比為，且，數(shù)列滿足，
．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）規(guī)定：表示不超過的最大整數(shù)，如，．若，，記 求的值，并指出相應(yīng)的取值范圍．
【答案】（1），；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
【分析】（1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得，即可得，然后利用累加法求即可；（2）由（1）得，可求出，，得到和時(shí)的值，然后對(duì)進(jìn)行放縮，可得當(dāng)時(shí)，，最后通過換元，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求解即可．
【詳解】（1）由題意得，則，
當(dāng)時(shí)，，

，
又由，符合上式，
因此，．
（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，．
易知時(shí)，，此時(shí)；
時(shí)，，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闀r(shí)，，
所以，
因此，
令，則，，
利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，得（其中），
從而．
綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
【點(diǎn)睛】數(shù)列與函數(shù)、不等式綜合問題的求解策略：
1、已知數(shù)列的條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一把要利用數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式，求和方法等對(duì)于式子化簡變形，注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問題時(shí)要注意這一特殊性；
2、解決數(shù)列與不等式的綜合問題時(shí)，若是證明題中，則要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等，若是含參數(shù)的不等式恒成立問題，則可分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究最值問題來解決.



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