考點(diǎn)三十六  空間幾何體的表面積和體積知識(shí)梳理1．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式 側(cè)面展開圖側(cè)面積圓柱S側(cè)＝2πrl圓錐S側(cè)＝πrl圓臺(tái)S側(cè)＝π(r1＋r2)l直棱柱S側(cè)＝ch正棱錐S側(cè)＝ch′正棱臺(tái)S側(cè)＝(c＋c′)h′                                   2.空間幾何體的表面積與體積公式 名稱幾何體　　表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝Sh臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝(S上＋S下＋)h球S＝4πR2V＝πR3說明：(1)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是各面面積之和．(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形；它們的表面積等于側(cè)面積與底面面積之和．3.幾個(gè)有關(guān)球的結(jié)論(1)設(shè)正方體的棱長為a，球的半徑為R，則①正方體的外接球，則2R＝a；②正方體的內(nèi)切球，則2R＝a；③球與正方體的各棱相切，則2R＝a.(2)設(shè)長方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝.(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.典例剖析題型一  簡單幾何體的表面積例1　已知某幾何體的三視圖的正視圖和側(cè)視圖是全等的等腰梯形，俯視圖是兩個(gè)同心圓，如圖所示，則該幾何體的表面積為________．答案  26π解析  由三視圖知該幾何體為上底直徑為2，下底直徑為6，高為2的圓臺(tái)，則幾何體的表面積S＝π×1＋π×9＋π×(1＋3)×＝26π.變式訓(xùn)練  某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的表面積是______．答案　16＋16解析  由三視圖知，四棱錐是底面邊長為4，高為2的正四棱錐，∴四棱錐的表面積是16＋4××4×2＝16＋16.解題要點(diǎn)  對于這類給出三視圖求表面積、體積的題，應(yīng)先根據(jù)三視圖換原實(shí)物圖，然后再求解．題型二  簡單幾何體的體積例2　如下的三個(gè)圖中，上面的是一個(gè)長方體截去一個(gè)角所得多面體的直觀圖，它的正視圖和側(cè)視圖在下面畫出(單位：cm)．(1)在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖；(2)按照給出的尺寸，求該多面體的體積．解析  (1)如圖．(2)所求多面體的體積V＝V長方體－V正三棱錐＝4×4×6－×(×2×2)×2＝(cm3)．變式訓(xùn)練  某三棱錐的側(cè)視圖、俯視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是______．答案  1解析  由三棱錐的側(cè)視圖和俯視圖可知該三棱錐的底面是邊長為2的正三角形，故其底面積為；其側(cè)視圖也是邊長為2的正三角形，故側(cè)視圖中三角形的高即為三棱錐的高，可求出為，所以三棱錐的體積V＝××＝1.題型三  球體有關(guān)表面積和體積例3　一個(gè)幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的表面積是________cm2.答案　(1)4π＋12解析　(1)由三視圖知該幾何體為一個(gè)四棱柱、一個(gè)半圓柱和一個(gè)半球的組合體，其中四棱柱上表面與半球重合部分之外的面積為1×2－×π×12＝2－，四棱柱中不重合的表面積為2－＋1×2×2＋2×2＋1×2＝12－，半圓柱中不重合的表面積為×2π×2＋π＝π，半球的表面積為×4π＝2π，所以該幾何體的表面積為4π＋12.變式訓(xùn)練  (2015新課標(biāo)Ⅰ理)圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示．若該幾何體的表面積為16＋20π，則r＝______．答案　2 解析　由正視圖與俯視圖想象出其直觀圖，然后進(jìn)行運(yùn)算求解．如圖，該幾何體是一個(gè)半球與一個(gè)半圓柱的組合體，球的半徑為r，圓柱的底面半徑為r，高為2r，則表面積S＝×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2. 例4　已知底面邊長為1，側(cè)棱長為的正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的體積為______．答案　解析　正四棱柱的外接球的球心為上下底面的中心連線的中點(diǎn)，所以球的半徑r＝ ＝1，球的體積V＝r3＝.解題要點(diǎn)  1．球的表面積公式：S＝4πR2；球的體積公式V＝πR32.注意掌握一些典型的球的切、接問題，以及相關(guān)的結(jié)論．如長方體外接球的半徑為R＝.對于一些問題，將球放到某個(gè)長方體(或正方體)中，然后利用相關(guān)結(jié)論問題便迎刃而解．當(dāng)堂練習(xí)1．(2015安徽文)一個(gè)四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是______．答案　2＋解析　由幾何體的三視圖可知空間幾何體的直觀圖如圖所示．∴其表面積S表＝2××2×1＋2××()2＝2＋.2．(2015北京理)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是______．                          答案　2＋2解析　該三棱錐的直觀圖如圖所示：                          過D作DE⊥BC，交BC于E，連接AE，則BC＝2，EC＝1，AD＝1，ED＝2，S表＝S△BCD＋S△ACD＋S△ABD＋S△ABC＝×2×2＋××1＋××1＋×2×＝2＋2.3. (2015新課標(biāo)Ⅱ文)已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)．若三棱錐OABC體積的最大值為36，則球O的表面積為______．答案　144π解析　如圖，要使三棱錐OABC即COAB的體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C到平面OAB的距離，即三棱錐COAB底面OAB上的高最大，其最大值為球O的半徑R，則VOABC最大＝VCOAB最大＝×S△OAB×R＝××R2×R＝R3＝36，所以R＝6，得S球O＝4πR2＝4π×62＝144π.4．(2015四川文)在三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，其正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是直角邊的長為1的等腰直角三角形，設(shè)點(diǎn)M，N，P分別是AB，BC，B1C1的中點(diǎn)，則三棱錐PA1MN的體積是________．答案　解析　由題意知還原后的幾何體是一個(gè)直放的三棱柱，三棱柱的底面是直角邊長為1的等腰直角三角形，高為1的直三棱柱，∵VPA1MN＝VA1PMN，又∵AA1∥平面PMN，∴VA1PMN＝VAPMN，∴VAPMN＝××1××＝，故VPA1MN＝.5．(2015浙江文)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是______．答案　解析　由三視圖可知該幾何體是由棱長為2 cm的正方體與底面為邊長為2 cm正方形、高為2 cm的四棱錐組成，V＝V正方體＋V四棱錐＝8 cm3＋ cm3＝ cm3.課后作業(yè)一、    選擇題1．(2015陜西文)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為____________．答案　3π＋4解析　由三視圖可知原幾何體為半圓柱，底面半徑為1，高為2，則表面積為：S＝2×π×12＋×2π×1×2＋2×2＝π＋2π＋4＝3π＋4.2．(2015福建文)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于______________．答案　11＋2解析　由三視圖知，該幾何體是一個(gè)直四棱柱，上、下底面為直角梯形，如圖所示．直角梯形斜腰長為＝，所以底面周長為4＋，側(cè)面積為2×(4＋)＝8＋2，兩底面的面積和為2××1×(1＋2)＝3，所以該幾何體的表面積為8＋2＋3＝11＋2.3．(2015山東文)已知等腰直角三角形的直角邊的長為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為______．答案　解析　如圖，設(shè)等腰直角三角形為△ABC，∠C＝90°，AC＝CB＝2，則AB＝2.設(shè)D為AB中點(diǎn)，則BD＝AD＝CD＝.∴所圍成的幾何體為兩個(gè)圓錐的組合體，其體積V＝2××π×()2×＝.4．若某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是個(gè)半圓，則該幾何體的表面積為___________．答案　π＋解析　由三視圖可知該幾何體為一個(gè)半圓錐，即由一個(gè)圓錐沿中軸線切去一半而得．∴S＝×2×＋×π＋×2π×1＝π＋.5．若一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為___________．答案　75＋4解析　由三視圖可知該幾何體是一個(gè)四棱柱．兩個(gè)底面面積之和為2××3＝27，四個(gè)側(cè)面的面積之和是(3＋4＋5＋)×4＝48＋4，故表面積是75＋4.6．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為______．答案　3π解析　方法一：由三視圖畫出幾何體，如圖所示，該幾何體的體積V＝2π＋π＝3π.方法二：V＝·π·12·(2＋4)＝3π.7．一個(gè)空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是一個(gè)直徑為1的圓，那么這個(gè)幾何體的全面積為______．答案  π解析  由題意可得，該幾何體是一個(gè)底面半徑為，高為1的圓柱，∴其全面積S＝2π×2＋2π××1＝π.8．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為______．答案  12解析  由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)如圖所示的四棱錐P－ABCD，其中，底面ABCD為矩形，AB＝3，BC＝4，PA⊥面ABCD，PA＝3，∴VP－ABCD＝SABCD·PA＝×3×4×3＝12.9．(2015天津文)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3.答案　π解析　由所給三視圖可知，該幾何體是由相同底面的兩圓錐和一圓柱組成，底面半徑為1 m，圓錐的高為1 m，圓柱的高為2 m，因此該幾何體的體積V＝2××π×12×1＋π×12×2＝π m3.10．某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為______．答案  3π解析  由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)半徑為1的半球，∴S表＝2πR2＋πR2＝3πR2＝3π.11．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3.答案  解析  根據(jù)三視圖知，該幾何體上部是一個(gè)底面直徑為4，高為2的圓錐，下部是一個(gè)底面直徑為2，高為4的圓柱．故該幾何體的體積V＝π×22×2＋π×12×4＝ (m2).二、解答題12． (2015湖南文)如圖，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是邊長為2的正三角形，E，F分別是BC，CC1的中點(diǎn)．(1)證明：平面AEF⊥平面B1BCC1；(2)若直線A1C與平面A1ABB1所成的角為45°，求三棱錐FAEC的體積．解析  (1)證明　∵△ABC為正三角形，E為BC中點(diǎn)，∴AE⊥BC，∴又B1B⊥平面ABC，AE?平面ABC，∴B1B⊥AE，∴由B1B∩BC＝B知，AE⊥平面B1BCC1，又由AE?平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1.(2)解　設(shè)AB中點(diǎn)為M，連接CM，則CM⊥AB，由平面A1ABB1⊥平面ABC且平面A1ABB1∩平面ABC＝AB知，CM⊥面A1ABB1，∴∠CA1M即為直線A1C與平面A1ABB1所成的角．∴∠CA1M＝45°，易知CM＝×2＝，在等腰Rt△CMA中，AM＝CM＝，在Rt△A1AM中，A1A＝＝.∴FC＝A1A＝，又S△AEC＝××4＝，∴V三棱錐FAEC＝××＝.13．(2015新課標(biāo)Ⅰ文)如圖，四邊形ABCD為菱形，G是AC與BD的交點(diǎn)，BE⊥平面ABCD.(1)證明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱錐EACD的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積．解析  (1)證明　因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD為菱形，所以AC⊥BD.因?yàn)?/span>BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.又AC?平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)解　設(shè)AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝x，GB＝GD＝.因?yàn)?/span>AE⊥EC，所以在Rt △AEC中，可得EG＝x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG為直角三角形，可得BE＝x.由已知得，三棱錐EACD的體積VEACD＝×AC·GD·BE＝x3＝.故x＝2.從而可得AE＝EC＝ED＝.所以△EAC的面積為3，△EAD的面積與△ECD的面積均為.故三棱錐EACD的側(cè)面積為3＋2.

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