考點(diǎn)規(guī)范練37　空間幾何體的表面積與體積基礎(chǔ)鞏固1.圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20π,則r=(　　)A.1B.2C.4D.8答案:B解析:由條件及幾何體的三視圖可知該幾何體是由一個(gè)圓柱被過圓柱底面直徑的平面所截剩下的半個(gè)圓柱及一個(gè)半球拼接而成的.其表面積由一個(gè)矩形的面積、兩個(gè)半圓的面積、圓柱的側(cè)面積的一半及一個(gè)球的表面積的一半組成.∴S表=2r×2r+2×πr2+πr×2r+×4πr2=5πr2+4r2=16+20π,解得r=2.2.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是(　　)A.2 B.4 C.6 D.8答案:C解析:由三視圖可知該幾何體為直四棱柱.∵S底=×(1+2)×2=3,h=2,∴V=Sh=3×2=6.3.如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1的六個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的半球面上,AB=AC,側(cè)面BCC1B1是半球底面圓的內(nèi)接正方形,則側(cè)面ABB1A1的面積為(　　)A. B.1 C. D.答案:C解析:由題意知,球心在側(cè)面BCC1B1的中心O上,BC為△ABC所在圓面的直徑,所以∠BAC=90°,△ABC的外接圓圓心N是BC的中點(diǎn),同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中點(diǎn).設(shè)正方形BCC1B1的邊長為x,在Rt△OMC1中,OM=,MC1=,OC1=R=1(R為球的半徑),所以=1,即x=,則AB=AC=1.所以側(cè)面ABB1A1的面積S=×1=.4.某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖由矩形和等腰直角三角形組成,側(cè)視圖由半圓和等腰直角三角形組成,俯視圖的實(shí)線部分為正方形,則該幾何體的表面積為(　　)A.3π+4 B.4(π++1)C.4(π+) D.4(π+1)答案:A解析:由三視圖知幾何體的上半部分是半圓柱,圓柱的底面半徑為1,高為2,其表面積為S1=×π×2×2+π×12=3π,下半部分為正四棱錐,底面棱長為2,斜高為,其表面積S2=4×=4,所以該幾何體的表面積為S=S1+S2=3π+4.5.點(diǎn)A,B,C,D在同一個(gè)球的球面上,AB=BC=,∠ABC=90°.若四面體ABCD體積的最大值為3,則這個(gè)球的表面積為(　　)A.2π B.4π C.8π D.16π答案:D解析:由題意,知S△ABC=3,設(shè)△ABC所在球的小圓的圓心為Q,則Q為AC的中點(diǎn),當(dāng)DQ與面ABC垂直時(shí),四面體ABCD的最大體積為S△ABC·DQ=3,∴DQ=3,如圖,設(shè)球心為O,半徑為R,則在Rt△AQO中,OA2=AQ2+OQ2,即R2=()2+(3-R)2,∴R=2,則這個(gè)球的表面積為S=4π×22=16π.故選D.6.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個(gè)圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米有(　　)A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛答案:B解析:設(shè)底面圓半徑為R,米堆高為h.∵米堆底部弧長為8尺,∴·2πR=8,∴R=.∴體積V=·πR2h=×π××5.∵π≈3,∴V≈(立方尺).∴堆放的米約為≈22(斛).7.如圖,正方體的棱長為2,以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為　　　　　. 答案:解析:由題意知,多面體是棱長均為的八面體,它是由兩個(gè)有公共底面的正四棱錐組合而成的,正四棱錐的高為1,所以這個(gè)八面體的體積為2V正四棱錐=2××()2×1=.8.已知棱長為4的正方體被一平面截成兩個(gè)幾何體,其中一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是　　　　　. 答案:32解析:由三視圖,可得棱長為4的正方體被平面AJGI截成兩個(gè)幾何體,且J,I分別為BF,DH的中點(diǎn),如圖,兩個(gè)幾何體的體積各占正方體的一半,則該幾何體的體積是×43=32.9.(2020全國Ⅲ,文16)已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為　　　　　. 答案:解析:(方法一)由題意可知圓錐軸截面為底邊長為2,腰長為3的等腰三角形,其內(nèi)切圓為該球的大圓.如圖,SB=3,BC=1,SC==2.設(shè)該球內(nèi)切于母線SB,切點(diǎn)為點(diǎn)O.令OC=OD=R,由△SOD∽△SBC得,即,解得R=.因此V球=πR3=π·.(方法二)由題意可知該圓錐的軸截面為底邊長為2,腰長為3的等腰三角形,其內(nèi)切圓為該球的大圓.該三角形的周長為8,面積為2,由于三角形面積S,周長C和內(nèi)切圓半徑R的關(guān)系為S=,即R=,故該球的體積為V球=πR3=π·.10.在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,其正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形,俯視圖是直角邊的長為1的等腰直角三角形,設(shè)點(diǎn)M,N,P分別是棱AB,BC,B1C1的中點(diǎn),則三棱錐P-A1MN的體積是　　　　　. 答案:解析:由題意,可得直三棱柱ABC-A1B1C1,如圖所示.其中AB=AC=AA1=BB1=CC1=A1B1=A1C1=1.∵M,N,P分別是棱AB,BC,B1C1的中點(diǎn),∴MN=,NP=1.∴S△MNP=×1=.∵點(diǎn)A1到平面MNP的距離為AM=,∴.11.已知邊長為2的等邊三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C都在以O為球心的球面上,若球O的表面積為,則三棱錐O-ABC的體積為　　　　　. 答案:解析:設(shè)球的半徑為R,則4πR2=,解得R2=.設(shè)△ABC所在平面截球所得的小圓的半徑為r,則r=.故球心到△ABC所在平面的距離為d=,即為三棱錐O-ABC的高,所以VO-ABC=S△ABC·d=.12.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示.已知正視圖是底邊長為1的平行四邊形,側(cè)視圖是一個(gè)長為、寬為1的矩形,俯視圖為兩個(gè)邊長為1的正方形拼成的矩形.(1)求該幾何體的體積V;(2)求該幾何體的表面積S.解:(1)由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)平行六面體(如圖),其底面是邊長為1的正方形,高為,所以V=1×1×.(2)由三視圖可知,該平行六面體中,A1D⊥平面ABCD,CD⊥平面BCC1B1,所以AA1=2,側(cè)面ABB1A1,CDD1C1均為矩形.S=2×(1×1+1×+1×2)=6+2.能力提升13.如圖,在多面體ABCDEF中,已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形,且△ADE,△BCF均為正三角形,EF∥AB,EF=2,則該多面體的體積為(　　)A. B. C. D.答案:A解析:如圖,分別過點(diǎn)A,B作EF的垂線,垂足分別為G,H,連接DG,CH,容易求得EG=HF=,AG=GD=BH=HC=,所以S△AGD=S△BHC=×1=.所以V=VE-ADG+VF-BHC+VAGD-BHC=2VE-ADG+VAGD-BHC=×2+×1=.14.芻薨,中國古代算術(shù)中的一種幾何形體,《九章算術(shù)》中記載“芻薨者,下有褒有廣,而上有褒無廣.芻,草也.薨,屋蓋也.”翻譯為“底面有長有寬為矩形,頂部只有長沒有寬為一條棱,芻薨字面意思為茅草屋頂”.一芻薨的三視圖如圖所示,其中正視圖為等腰梯形,側(cè)視圖為等腰三角形,若用茅草搭建它,則覆蓋的面積至少為(　　)A.6 B.7 C.8 D.9答案:C解析:由題意,得茅草覆蓋面積即為幾何體的側(cè)面積.由題意可知,該幾何體的側(cè)面為兩個(gè)全等的等腰梯形和兩個(gè)全等的等腰三角形.其中,等腰梯形的上底長為2,下底長為4,高為;等腰三角形的底邊長為2,高為.故側(cè)面積為S=2××(2+4)×+2××2×=8.即需要茅草覆蓋的面積至少為8,故選C.15.設(shè)A,B,C,D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn),△ABC為等邊三角形且其面積為9,則三棱錐D-ABC體積的最大值為(　　)A.12 B.18 C.24 D.54答案:B解析:由△ABC為等邊三角形且面積為9,設(shè)△ABC邊長為a,則S=a·a=9.∴a=6,則△ABC的外接圓半徑r=a=2<4.設(shè)球的半徑為R,如圖,OO1==2.當(dāng)D在O的正上方時(shí),VD-ABC=S△ABC·(R+|OO1|)=×9×6=18,最大.故選B.16.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點(diǎn)E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,過點(diǎn)E,F的平面α與此長方體的面相交,交線圍成一個(gè)正方形.(1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說明畫法和理由);(2)求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值.解:(1)交線圍成的正方形EHGF如圖:(2)作EM⊥AB,垂足為M,則AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因?yàn)?/span>EHGF為正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH==6,AH=10,HB=6.因?yàn)殚L方體被平面α分成兩個(gè)高為10的直棱柱,所以其體積的比值為兩棱柱底面積之比,即.高考預(yù)測17.已知球的直徑SC=4,A,B是該球球面上的兩點(diǎn),AB=,∠ASC=∠BSC=30°,則棱錐S-ABC的體積為(　　)A.3 B.2 C. D.1答案:C解析:如圖,過A作AD垂直SC于D,連接BD.因?yàn)?/span>SC是球的直徑,所以∠SAC=∠SBC=90°.又∠ASC=∠BSC=30°,又SC為公共邊,所以△SAC≌△SBC.因?yàn)?/span>AD⊥SC,所以BD⊥SC.由此得SC⊥平面ABD.所以VS-ABC=VS-ABD+VC-ABD=S△ABD·SC.因?yàn)樵赗t△SAC中,∠ASC=30°,SC=4,所以AC=2,SA=2.由于AD=.同理在Rt△BSC中也有BD=.又AB=,所以△ABD為正三角形.所以VS-ABC=S△ABD·SC=×()2·sin60°×4=,故選C.

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