考點一 導數的幾何意義與計算
核心提煉
1．導數的運算法則
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f?x?,g?x?)))′＝eq \f(f′?x?g?x?－f?x?g′?x?,[g?x?]2)(g(x)≠0)．
2．導數的幾何意義
(1)函數在某點的導數即曲線在該點處的切線的斜率．
(2)曲線在某點的切線與曲線過某點的切線不同．
(3)切點既在切線上，又在曲線上．
例1 (1)已知函數f(x)的導函數為f′(x)，且滿足關系式f(x)＝x2＋3xf′(2)－ln x，則f′(2)的值為( )
A.eq \f(7,4) B．－eq \f(7,4) C.eq \f(9,4) D．－eq \f(9,4)
答案 B
解析 ∵f(x)＝x2＋3xf′(2)－ln x，
∴f′(x)＝2x＋3f′(2)－eq \f(1,x)，
令x＝2，得f′(2)＝4＋3f′(2)－eq \f(1,2)，
解得f′(2)＝－eq \f(7,4).
(2)(2019·江蘇)在平面直角坐標系xOy中，點A在曲線y＝ln x上，且該曲線在點A處的切線經過點(－e，－1)(e為自然對數的底數)，則點A的坐標是________．
答案 (e,1)
解析 設A(x0，ln x0)，又y′＝eq \f(1,x)，
則曲線y＝ln x在點A處的切線方程為
y－ln x0＝eq \f(1,x0)(x－x0)，
將(－e，－1)代入得，－1－ln x0＝eq \f(1,x0)(－e－x0)，
化簡得ln x0＝eq \f(e,x0)，解得x0＝e，
則點A的坐標是(e,1)．
易錯提醒 求曲線的切線方程要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異，過點P的切線中，點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上，而在點P處的切線，必以點P為切點．
跟蹤演練1 (1)直線2x－y＋1＝0與曲線y＝aex＋x相切，則a等于( )
A．e B．2e C．1 D．2
答案 C
解析 設切點為(n，aen＋n)，因為y′＝aex＋1，
所以切線的斜率為aen＋1，
切線方程為y－(aen＋n)＝(aen＋1)(x－n)，
即y＝(aen＋1)x＋aen(1－n)，
依題意切線方程為y＝2x＋1，
故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(aen＋1＝2，,aen?1－n?＝1，))解得a＝1，n＝0.
(2)若函數y＝f(x)的圖象上存在兩點，使得函數的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱y＝f(x)具有T性質．下列函數中具有T性質的是( )
A．y＝sin x B．y＝ln x
C．y＝ex D．y＝x3
答案 A
解析 對函數y＝sin x求導，得y′＝cs x，當x＝0時，該點處切線l1的斜率k1＝1，當x＝π時，該點處切線l2的斜率k2＝－1，所以k1·k2＝－1，所以l1⊥l2；對函數y＝ln x求導，得y′＝eq \f(1,x)恒大于0，斜率之積不可能為－1；對函數y＝ex求導，得y′＝ex恒大于0，斜率之積不可能為－1；對函數y＝x3求導，得y′＝3x2恒大于等于0，斜率之積不可能為－1.
考點二 利用導數研究函數的單調性
核心提煉
利用導數研究函數單調性的關鍵
(1)在利用導數討論函數的單調區(qū)間時，首先要確定函數的定義域．
(2)單調區(qū)間的劃分要注意對導數等于零的點的確認．
(3)已知函數單調性求參數范圍，要注意導數等于零的情況．
例2 已知f(x)＝a(x－ln x)＋eq \f(2x－1,x2)，a∈R.討論f(x)的單調性．
解 f(x)的定義域為(0，＋∞)，
f′(x)＝a－eq \f(a,x)－eq \f(2,x2)＋eq \f(2,x3)＝eq \f(?ax2－2??x－1?,x3).
若a≤0，當x∈(0,1)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，
x∈(1，＋∞)時，f′(x)0，f′(x)＝eq \f(a?x－1?,x3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\r(\f(2,a))))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\r(\f(2,a)))).
(1)當00，f(x)單調遞增，
當x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\r(\f(2,a))))時，f′(x)2時，00，所以函數g(x)＝ln xf(x)在(0，＋∞)上單調遞增．
而eq \f(ln x,f?x?)>0可化為ln xf(x)>0，
等價于g(x)>g(1)，解得x>1，
所以不等式eq \f(ln x,f?x?)>0的解集是(1，＋∞)．
5．若對?x1，x2∈(m，＋∞)，且x10，所以作出函數g(x)的簡圖如圖所示，
因為g(x)＝eq \f(x,ex)的圖象與直線y＝－a有兩個不同交點，所以00(x>0)，即x>eq \f(1,a).
此時f(x)的單調遞減區(qū)間為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，＋∞)).
依題意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)≤1，,a>0，))解得a≥1；
③當a0(x>0)，即x>－eq \f(1,2a).
此時f(x)的單調遞減區(qū)間為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2a)，＋∞))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2a)≤1，,a

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