新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專(zhuān)題4 第1講 空間幾何體（含解析）

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[考情分析] 幾何體的結(jié)構(gòu)特征是立體幾何的基礎(chǔ)，空間幾何體的表面積與體積是高考題的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，多以小題的形式進(jìn)行考查，屬于中等難度．
考點(diǎn)一 表面積與體積
核心提煉
1．旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和表面積
(1)S圓柱側(cè)＝2πrl，S圓柱表＝2πr(r＋l)(r為底面半徑，l為母線(xiàn)長(zhǎng))．
(2)S圓錐側(cè)＝πrl，S圓錐表＝πr(r＋l)(r為底面半徑，l為母線(xiàn)長(zhǎng))．
(3)S球表＝4πR2(R為球的半徑)．
2．空間幾何體的體積公式
V柱＝Sh(S為底面面積，h為高)；
V錐＝eq \f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)；
V球＝eq \f(4,3)πR3(R為球的半徑)．
例1 (1)已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線(xiàn)SA，SB所成角的余弦值為eq \f(7,8)，SA與圓錐底面所成角為45°.若△SAB的面積為5eq \r(15)，則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_______．
答案 40eq \r(2)π
解析 因?yàn)槟妇€(xiàn)SA與圓錐底面所成的角為45°，
所以圓錐的軸截面為等腰直角三角形．
設(shè)底面圓的半徑為r，則母線(xiàn)長(zhǎng)l＝eq \r(2)r.
在△SAB中，cs∠ASB＝eq \f(7,8)，所以sin∠ASB＝eq \f(\r(15),8).
因?yàn)椤鱏AB的面積為5eq \r(15)，即eq \f(1,2)SA·SBsin∠ASB
＝eq \f(1,2)×eq \r(2)r×eq \r(2)r×eq \f(\r(15),8)＝5eq \r(15)，
所以r2＝40，
故圓錐的側(cè)面積為πrl＝eq \r(2)πr2＝40eq \r(2)π.
(2)如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)D在棱AA1上，則三棱錐D－BB1C1的體積為_(kāi)_______．
答案 eq \f(2\r(3),3)
解析 如圖，取BC的中點(diǎn)O，
連接AO.
∵正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長(zhǎng)均為2，
∴AC＝2，OC＝1，則AO＝eq \r(3).
∵AA1∥平面BCC1B1，
∴點(diǎn)D到平面BCC1B1的距離為eq \r(3).
又＝eq \f(1,2)×2×2＝2，
∴＝eq \f(1,3)×2×eq \r(3)＝eq \f(2\r(3),3).
易錯(cuò)提醒 (1)計(jì)算表面積時(shí)，有些面的面積沒(méi)有計(jì)算到(或重復(fù)計(jì)算)．
(2)一些不規(guī)則幾何體的體積不會(huì)采用分割法或補(bǔ)形思想轉(zhuǎn)化求解．
(3)求幾何體體積的最值時(shí)，不注意使用基本不等式或求導(dǎo)等確定最值．
跟蹤演練1 (1)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過(guò)直線(xiàn)O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為( )
A．12eq \r(2)π B．12π
C．8eq \r(2)π D．10π
答案 B
解析 設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，由題意可知2r＝h＝2eq \r(2)，∴圓柱的表面積S＝2πr2＋2πr·h＝4π＋8π＝12π.故選B.
(2)如圖，在Rt△ABC中，AB＝BC＝1，D和E分別是邊BC和AC上異于端點(diǎn)的點(diǎn)，DE⊥BC，將△CDE沿DE折起，使點(diǎn)C到點(diǎn)P的位置，得到四棱錐P－ABDE，則四棱錐P－ABDE的體積的最大值為_(kāi)_______．
答案 eq \f(\r(3),27)
解析 設(shè)CD＝DE＝x(0