2022-2023學(xué)年南京師范大學(xué)附屬中學(xué)高一5月月考一．單項選擇題（本題共8小題，每小題4分，共32分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，為的共軛復(fù)數(shù)，則=（    ）A． B．1 C．2 D．4 2. 若圓錐的母線長為1，其側(cè)面展開圖的面積為，則這個圓錐的體積為　　A． B． C． D．  3. 已知，則=（   ）A． B． C． D．  4. 北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個球心為，半徑為的球，若地球表面上的觀測者與某顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星處于相同經(jīng)度，且能直接觀測到，設(shè)點的維度（與赤道平面所成角的度數(shù)）的最大值為，則（    ）．A． B． C． D．  5. 點分別在空間四邊形的邊上，若，則下列說法中正確的是（   ）A．直線與一定平行 B．直線與一定相交C．直線與可能異面 D． 直線與一定共面 6. 如圖，已知正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的表面積為　　A． B． C． D．  7. 如圖，在正方體中，分別是的中點，記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角平面角為，則（   ）A． B． C． D．
  8. 如圖，在菱形中， ，為的中點，將沿直線翻折成△，連接和，為的中點，則在翻折過程中，下列說法中錯誤的是　　A． B．不存在某個位置，使得 平面C．存在某個位置，使得D．與的夾角為  二．多項選擇題（本題共4小題，每小題4分，共16分，在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對的得4分，部分選對得得2分，有選錯的得0分）9. 對于直線和平面，下列命題為真命題的有A．若 ，則B．若 ，則 C．若 ，則D．若 ，則  10.已知函數(shù)，若有且僅有一個實數(shù)，使得，則實數(shù)的值可能為（   ）A． B．1 C． D．3  11.在正方體中，點是線段上的動點，若過三點的平面將正方體截為兩個部分，則所得截面的形狀可能為（   ）A．等邊三角形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 12.所有頂點都在兩個平行平面內(nèi)的多面體叫作擬柱體，擬柱體的側(cè)面是三角形、梯形或平行四邊形，如圖，在擬柱體中，平面平面，分別是的中點，為四邊形內(nèi)一點，設(shè)四邊形的面積的面積為，四邊形的面積為，平面與平面的距離為，下列說法中正確的有（   ）A．直線與是異面直線 B．四邊形的面積是的面積的4倍 C．挖去四棱錐與三棱錐后，擬柱體剩余部分的體積為 D．擬柱體的體積為 三．填空題：本題共4小題，每小題4分，共16分13. 已知向量，，且向量與共線，則實數(shù)　　．  14. 已知垂直于所在的平面，3，4，2，則點到平面的距離為_____________ 15.四面體每組對棱的棱長均相等，分別為，2，，則該四面體的體積為_______. 16.已知二面角的大小為，是等邊三角形，是以點為直角頂點的等腰直角三角形，=2，則四面體的外接球的體積為 　　．  四．解答題：本題共3小題，共36分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. （12分）如圖，在直三棱柱中，，分別為，的中點，．求證：（1）平面；（2）．    18. （12分）為了美化環(huán)境，某公園欲將一塊空地規(guī)劃建成休閑草坪，休閑草坪的形狀為如圖所示的四邊形．并修建兩條小路（路的寬度忽略不計），其中千米，千米，是以為直角頂點的等腰直角三角形．設(shè)，，．（1）當(dāng)時，求小路的長度（千米）；（2）當(dāng)草坪的面積最大時，求此時小路的長度（千米）．
  19. （12分）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，交于點，是上一點且平面（1）證明：為的中點；（2）在線段上是否存在點，使得平面平面，若存在，請給出點的位置，并證明，若不存在，請說明理由.
2022-2023學(xué)年南京師范大學(xué)附屬中學(xué)高一5月月考一．單項選擇題（本題共8小題，每小題4分，共32分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，為的共軛復(fù)數(shù)，則=（    ）A． B．1 C．2 D．4【答案】【解析】2. 若圓錐的母線長為1，其側(cè)面展開圖的面積為，則這個圓錐的體積為　　A． B． C． D． 【答案】【解答】解：圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長，設(shè)底面圓的半徑為，則有，所以，于是圓錐的高為，該圓錐的體積為：．故選：．3. 已知，則=（   ）A． B． C． D． 【答案】【解答】4. 北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個球心為，半徑為的球，若地球表面上的觀測者與某顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星處于相同經(jīng)度，且能直接觀測到，設(shè)點的維度（與赤道平面所成角的度數(shù)）的最大值為，則（    ）．A． B． C． D． 【答案】【解答】解：設(shè)表示衛(wèi)星，過作截面，截地球得大圓，過作圓的切線，，線段交圓于，如圖，則，，，，則5. 點分別在空間四邊形的邊上，若，則下列說法中正確的是（   ）A．直線與一定平行 B．直線與一定相交C．直線與可能異面 D． 直線與一定共面【答案】【解析】因為，所以直線與一定共面6. 如圖，已知正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的表面積為　　A． B． C． D．【答案】【解答】解：根據(jù)圖形，已知正方體的棱長為2，易知正八面體的棱長為正方體面對角線長的一半，即為，如圖，在正八面體中連接，，，可得，，互相垂直平分，為正八面體的中心，平面，平面，則，，．在中，，則該正八面體的體積，該八面體的表面積7. 如圖，在正方體中，分別是的中點，記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角平面角為，則（   ）A． B． C． D．
 【答案】【解析】設(shè)正方形邊長為1，取中點，連接，連接連接8. 如圖，在菱形中， ，為的中點，將沿直線翻折成△，連接和，為的中點，則在翻折過程中，下列說法中錯誤的是　　A． B．不存在某個位置，使得 平面C．存在某個位置，使得D．與的夾角為【答案】【解答】解：設(shè)，對于：因為四邊形為菱形，，所以，則是等等邊三角形，又因為為中心，所以，即，因為，又因為，平面，平面，所以平面，因為平面，所以，故正確；對于：連接交為，連接， 因為為的中點，所以不存在某個位置，使得平面，故正確；對于：因為（或補(bǔ)角）就是與所成的角，又，，所以，因為，所以，與所成角為，故正確； 二．多項選擇題（本題共4小題，每小題4分，共16分，在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對的得4分，部分選對得得2分，有選錯的得0分）9. 對于直線和平面，下列命題為真命題的有A．若 ，則B．若 ，則 C．若 ，則D．若 ，則【答案】【解析】對于A. 若 ，則不一定垂直，錯誤對于B. 若 ，則，又，所以平面內(nèi)存在與平行的直線，設(shè)為直線，故可推出，因為，所以，正確對于C．若 ，則或，錯誤對于D．若，則直線分別與平面的法向量平行，故，正確 10.已知函數(shù)，若有且僅有一個實數(shù)，使得，則實數(shù)的值可能為（   ）A． B．1 C． D．3【答案】【解析】，因為在上有且僅有一個實數(shù)滿足，則，解得，所以或 11.在正方體中，點是線段上的動點，若過三點的平面將正方體截為兩個部分，則所得截面的形狀可能為（   ）A．等邊三角形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形【答案】【解析】當(dāng)點與重合時，過三點的平面是等邊三角形，當(dāng)點與重合時，過三點的平面是矩形，當(dāng)點與中點重合時，過三點的平面是等腰梯形12.所有頂點都在兩個平行平面內(nèi)的多面體叫作擬柱體，擬柱體的側(cè)面是三角形、梯形或平行四邊形，如圖，在擬柱體中，平面平面，分別是的中點，為四邊形內(nèi)一點，設(shè)四邊形的面積的面積為，四邊形的面積為，平面與平面的距離為，下列說法中正確的有（   ）A．直線與是異面直線 B．四邊形的面積是的面積的4倍 C．挖去四棱錐與三棱錐后，擬柱體剩余部分的體積為 D．擬柱體的體積為【答案】【解析】對于A. 平面平面，，，共面，不共面，故直線與是異面直線，正確對于B.設(shè)，到的距離為，到距離為由上問可知，,所以四邊形是梯形，因為分別是的中點，所以,所以，正確對于C．,故挖去四棱錐與三棱錐后，擬柱體剩余部分的體積為，正確故D錯誤三．填空題：本題共4小題，每小題4分，共16分13. 已知向量，，且向量與共線，則實數(shù)　　．【答案】【解答】解：向量，，向量與，向量與共線可得：，解得．故答案為：． 14. 已知垂直于所在的平面，3，4，2，則點到平面的距離為_____________【答案】【解答】解：垂直于所在的平面，，，，可得．底面三角形的面積為：棱錐是體積為：點到平面的距離為．，可得： ，15.四面體每組對棱的棱長均相等，分別為，2，，則該四面體的體積為_______.【答案】【解析】.四面體每組對棱的棱長均相等，分別為，2，，所以可將其補(bǔ)充為一個三個面上對角線長度分貝為，2，的長方體，所以長方體三邊長分別為，，1，所以四面體體積為16.已知二面角的大小為，是等邊三角形，是以點為直角頂點的等腰直角三角形，=2，則四面體的外接球的體積為 　　．【答案】【解答】解：如圖，取的中點，連接，，由題意，2，，所以，，所以為二面角的平面角，所以，因為，是等邊三角形，且，所以，又是以點為直角頂點的等腰直角三角形，所以1，過點作與平面垂直的直線，則球心在該直線上，設(shè)球的半徑為，連接，，可得，在中，，利用余弦定理可得，所以，解得，所以其外接球的體積為．故答案為：． 四．解答題：本題共3小題，共36分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. （12分）如圖，在直三棱柱中，，分別為，的中點，．求證：（1）平面；（2）．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解答】證明：（1）在直三棱柱中，，分別為，的中點，，，，平面，平面，平面．解：（2）在直三棱柱中，是的中點，．，直三棱柱中，平面，平面，，又，平面，平面，．  18. （12分）為了美化環(huán)境，某公園欲將一塊空地規(guī)劃建成休閑草坪，休閑草坪的形狀為如圖所示的四邊形．并修建兩條小路（路的寬度忽略不計），其中千米，千米，是以為直角頂點的等腰直角三角形．設(shè)，，．（1）當(dāng)時，求小路的長度（千米）；（2）當(dāng)草坪的面積最大時，求此時小路的長度（千米）．
【答案】（1）5；（2）1【解答】解：（1）在中，由，又，．，由，解得：，是以為直角頂點的等腰直角三角形，，且，，在中，25，解得：5．（2）由（1）得：，此時，，且，當(dāng)時，四邊形的面積最大，即，此時，，所以，即1． 19. （12分）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，交于點，是上一點且平面（1）證明：為的中點；（2）在線段上是否存在點，使得平面平面，若存在，請給出點的位置，并證明，若不存在，請說明理由.【答案】（1）見解析；（2）存在，為中點時，平面平面【解析】（1）連接，設(shè)，連接，因為平面，平面，平面平面，所以，又底面為平行四邊形，所以為的中點，所以為的中點．（2）存在，為中點時，平面平面因為為中點，為的中點，所以，由（1）可知,因為所以，平面平面

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