南京師大附中2022-2023學(xué)年度第1學(xué)期高一年級期末考試數(shù)學(xué)試卷一?單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上1. 已知，則(    )A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由并集和補(bǔ)集的概念即可得出結(jié)果.【詳解】∵∴，則，故選：C.2. 已知，則(    )A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用對數(shù)換底公式和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算求解即可．【詳解】，故選：B．3. 設(shè)為實(shí)數(shù)，且，則“”是“的(    )A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】解：由不能推出，如，，，，滿足，但是，故充分性不成立；當(dāng)時，又，可得，即，故必要性成立；所以“”是“的必要不充分條件.故選：B.4. 函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為(    )A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由題意可知在遞增，且，由零點(diǎn)存在性定理即可得出答案.【詳解】易判斷在遞增，.由零點(diǎn)存在性定理知，函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為.故選:D.5. 已知，則的值是(    )A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】令，代入所求式子，結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡即可得出結(jié)果.【詳解】令，則，，則.故選：C.6. 將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，在縱坐標(biāo)不變的情況下，再把平移后的函數(shù)圖象上每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)所具有的性質(zhì)是(    )A. 圖象關(guān)于直線對稱B. 圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱C. 的一個單調(diào)遞增區(qū)間為D. 曲線與直線的所有交點(diǎn)中，相鄰交點(diǎn)距離的最小值為【答案】D【解析】【分析】先利用題意得到，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)對每個選項進(jìn)行判斷即可【詳解】函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍得到，對于A，因?yàn)?/span>所以直線不是的對稱軸，故錯誤；對于B，所以圖象不關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，故錯誤；對于C，當(dāng)，則，因?yàn)檎液瘮?shù)在不單調(diào)，故不是的一個單調(diào)遞增區(qū)間，故錯誤；對于D，當(dāng)時，則或，則或，則相鄰交點(diǎn)距離最小值為，故D正確故選：D.7. 函數(shù)的圖象大致為(    )A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性及在上的函數(shù)值正負(fù)逐個選項判斷即可．【詳解】因?yàn)?/span>，定義域?yàn)?/span>R，所以，所以為奇函數(shù)，又因?yàn)?/span>時，所以由圖象知D選項正確，故選D．8. 高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).例如：.已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是(    )A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】依題意可得，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)討論，和時，函數(shù)的單調(diào)性與值域，即可得出答案.【詳解】因?yàn)?/span>，定義域?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>在定義域上單調(diào)遞增，則在定義域上單調(diào)遞減，所以在定義域上單調(diào)遞減，時，，時，；則時，時，，時，.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵在于理解題中高斯函數(shù)的定義，才能通過研究的性質(zhì)來研究的值域，突破難點(diǎn).二?多項選擇題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，不選或有選錯的得0分)9. 下列說法正確的是(    )A. 若為正整數(shù)，則B. 若，則C. D. 若，則【答案】BC【解析】【分析】利用不等式性質(zhì)、基本不等式及正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)逐個選項判斷即可得到答案．【詳解】對于A，若，則，故A錯誤；對于B，時，，故B正確；對于C，由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故C正確；對于D，當(dāng)時，，故D錯誤；故選：BC．10. 設(shè)為實(shí)數(shù)，已知關(guān)于的方程，則下列說法正確的是(    )A. 當(dāng)時，方程的兩個實(shí)數(shù)根之和為0B. 方程無實(shí)數(shù)根的一個必要條件是C. 方程有兩個不相等的正根的充要條件是D. 方程有一個正根和一個負(fù)根的充要條件是【答案】BCD【解析】【分析】逐項分析每個選項方程根的情況對應(yīng)的參數(shù)m滿足的不等式，解出m的范圍，判斷正誤.【詳解】對于A選項，時無實(shí)根，A錯誤；對于B選項，當(dāng)時方程有實(shí)根，當(dāng)時，方程無實(shí)根則，解得，一個必要條件是，B正確； 對于C選項，方程有兩個不等正根，則，，，，解得；對于D選項，方程有一個正根和一個負(fù)根，則，，解得，D正確；故選：BCD.11. 設(shè)，已知，則下列說法正確的是(    )A. 有最小值 B. 沒有最大值C. 有最大值為 D. 有最小值為【答案】ABD【解析】【分析】由均值不等式分別求出的最值，即可得出答案.【詳解】時正確，時，則錯誤，D正確；故選：ABD.12. 設(shè)為正實(shí)數(shù)，為實(shí)數(shù)，已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(    )A. 若函數(shù)的最大值為2，則B. 若對于任意的，都有成立，則C. 當(dāng)時，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是D. 當(dāng)時，若對于任意的，函數(shù)在區(qū)間上至少有兩個零點(diǎn)，則的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】對A：根據(jù)正弦函數(shù)的有界性分析判斷；對B：利用函數(shù)的周期的定義分析判斷；對C：以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性分析判斷；對D：以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)分析判斷.【詳解】A選項，由題意，則，A正確；B選項，若，則的周期為，設(shè)的最小正周期為，則，解得，B錯誤；C選項，當(dāng)時，∵，則，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，C正確；選項，由題意可得，對，在上至少兩個零點(diǎn)，∵，則，若對，在上至少兩個零點(diǎn)，則，解得，D正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)問題的三種意識(1)轉(zhuǎn)化意識：利用三角恒等變換將所求函數(shù)轉(zhuǎn)化為f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式．(2)整體意識：類比y＝sinx的性質(zhì)，只需將y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sinx中的“x”，采用整體代入求解．①令ωx＋φ＝kπ＋ (k∈Z)，可求得對稱軸方程．②令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得對稱中心的橫坐標(biāo)．③將ωx＋φ看作整體，可求得y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間，注意ω的符號．(3)討論意識：當(dāng)A為參數(shù)時，求最值應(yīng)分情況討論A>0，A<0.三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上13. 命題“”的否定是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)特稱命題的否定，可得答案.【詳解】由題意，則其否定為.故答案為：.14. 已知，則__________.【答案】3【解析】【分析】將已知式中分子，再分子分母同時除以，解方程即可得出答案.【詳解】由題意，即，則.故答案為：3.15. 設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)解析式，對分三種情況討論，分別計算可得.【詳解】當(dāng)時，，則在時無解；當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，時，則的解集為；當(dāng)時，，則時恒成立；綜上，的解集為.故答案為：．16. 已知函數(shù)是定義在上不恒為零的偶函數(shù)，且對于任意實(shí)數(shù)都有成立，則__________.【答案】0【解析】【分析】根據(jù)解析式求出，進(jìn)而得到若，則，從而求出.【詳解】由，令可得，今可得，由是偶函數(shù)可得，則，時，若，則，則，則.故答案為：0.三?解答題：本大題共6小題，共70分，請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上17. 設(shè)，已知集合.(1)當(dāng)時，求；(2)若“”是“”的必要條件，求的取值范圍.【答案】(1)    (2)【解析】【分析】(1)求出集合，由并集的定義即可得出答案.(2)由“”是“”必要條件可得，則，解不等式即可得出答案.【小問1詳解】由可得，即，則，時，.【小問2詳解】由“”是“”的必要條件可得，則，則，實(shí)數(shù)的取值范圍是.18. 設(shè)，計算下列各式的值：(1)；(2).【答案】(1)1    (2)5【解析】【分析】(1)所求表達(dá)式分子分母同時除以，代入求解即可；(2)將分子看成，所求表達(dá)式分子分母同時除以，代入求解即可；小問1詳解】原式；【小問2詳解】原式.19. 設(shè)函數(shù)和的定義域?yàn)?/span>，若是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且.(1)求函數(shù)和的解析式；(2)判斷在上的單調(diào)性，并給出證明.【答案】(1)，    (2)單調(diào)遞減，證明見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性構(gòu)造關(guān)于和得方程組，進(jìn)而求出它們的解析式；(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義進(jìn)行證明.【小問1詳解】由，可得，由為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，可得，則，；【小問2詳解】由(1)得在單調(diào)遞減，證明如下：取任意，由，可得，則，則，則，則在單調(diào)遞減.20. 如圖所示，有一條“L”形河道，其中上方河道寬，右側(cè)河道寬，河道均足夠長.現(xiàn)過點(diǎn)修建一條長為的棧道，開辟出直角三角形區(qū)域(圖中)養(yǎng)殖觀賞魚，且.點(diǎn)在線段上，且.線段將養(yǎng)殖區(qū)域分為兩部分，其中上方養(yǎng)殖金魚，下方養(yǎng)殖錦鯉.(1)當(dāng)養(yǎng)殖觀賞魚的面積最小時，求的長度；(2)若游客可以在河岸與棧道上投喂金魚，在棧道上投喂錦鯉，且希望投喂錦鯉的道路長度與投喂金魚的道路長度之比不小于，求的取值范圍.【答案】(1)；    (2).【解析】【分析】(1)過作垂直于，求得，從而得出養(yǎng)殖觀賞魚的面積，利用基本不等式可求得最小時的值，進(jìn)而求得的長度；(2)由，可得，則，由題意，則，化切為弦可得，結(jié)合即可求得結(jié)果.【小問1詳解】過作垂直于，垂足分別為，則，，養(yǎng)殖觀賞魚的面積，由可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，則最小時，，此時l 的長度為；【小問2詳解】由，可得，則，由題意，則，而，則，由可得，則，則.21. 設(shè)為實(shí)數(shù)，已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)和的定義域?yàn)?/span>，記的最小值為，的最小值為.當(dāng)時，求的取值范圍；(2)設(shè)為正實(shí)數(shù)，當(dāng)恒成立時，關(guān)于的方程是否存在實(shí)數(shù)解？若存在，求出此方程的解；若不存在，請說明理由.【答案】(1)    (2)不存在，理由見解析【解析】【分析】(1)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)，分別求出和的最小值，然后解不等式即可；(2)利用二次函數(shù)性質(zhì)，求得的最小值為，由題意可得，當(dāng)時,，，可得，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】當(dāng)時，函數(shù)和均單調(diào)遞增，所以函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取最小值，則；當(dāng)時，，，則當(dāng)，即時，取最小值，即，由題意得，則，即的取值范圍是；【小問2詳解】當(dāng)時，，，則當(dāng)，即時，取最小值為，則恒成立時，有，即，當(dāng)時，，， 則，則，故關(guān)于的方程不存在實(shí)數(shù)解.22. 設(shè)，函數(shù).(1)討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)；(2)若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求證：.【答案】(1)答案見解析    (2)證明見解析【解析】【分析】(1)利用分離參數(shù)法分類討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)；(2)利用根與系數(shù)關(guān)系和三角函數(shù)單調(diào)性證明.【小問1詳解】，令，即，時，即，或即時，無解；即時，僅有一解，此時僅有一解；即時，有兩解，各有一解，此時有兩個零點(diǎn)；綜上，時，無零點(diǎn)，時，有一個零點(diǎn)，時，有兩個零點(diǎn)；【小問2詳解】有兩個零點(diǎn)時，令，則為兩解，則，則，則，由可得，則，則，則，由可得，則，由在遞減，可得，則.【點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點(diǎn)．(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點(diǎn)．(3)利用圖象交點(diǎn)的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點(diǎn)． 
 

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