2021-2022學(xué)年江蘇省泰州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請將答案填涂到答題卡相應(yīng)區(qū)域.1．（5分）直線的傾斜角為　　A． B． C． D．2．（5分）拋物線的準(zhǔn)線方程為　　A． B． C． D．3．（5分）若圓與直線相切，則實(shí)數(shù)的值為　　A． B．或3 C． D．1或4．（5分）觀察：則第行的值為　　A． B． C． D．5．（5分）圓與圓公切線的條數(shù)為　　A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，，，當(dāng)最小時(shí)，的值為　　A．3 B．4 C．5 D．67．（5分）如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)，在橢圓上，四邊形是梯形，，且，則△的面積為　　A． B． C． D．8．（5分）已知函數(shù)滿足對于恒成立，，，，則下列不等關(guān)系正確的是　　A．（c）（a） B．（b）（c） C．（1）（c） D．（a）（b）二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．（5分）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的有　　A．在區(qū)間上單調(diào)遞減 B．在區(qū)間上單調(diào)遞增 C．在處取得極大值 D．在處取得極小值10．（5分）下列說法正確的有　　A．直線恒過定點(diǎn) B．直線，，若，則 C．圓與圓的公共弦長為 D．若圓，則過點(diǎn)的最短弦所在直線方程為11．（5分）已知雙曲線，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有　　A．雙曲線的離心率為 B．焦點(diǎn)到漸近線的距離為4 C．左、右焦點(diǎn)分別為，，若，則 D．若左、右頂點(diǎn)分別為，，當(dāng)與，不重合時(shí)，直線，的斜率之積為12．（5分）如圖，由正方形可以構(gòu)成一系列的長方形，在正方形內(nèi)繪出一個(gè)圓的，就可以近似地得到等角螺線，第一個(gè)和第二個(gè)正方形的邊長為1，第三個(gè)正方形邊長為2，，其邊長依次記為，，，，得到數(shù)列，每一段等角螺線與正方形圍成的扇形面積記為，得到數(shù)列，則下列說法正確的有　　A． B． C． D．三、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分，請將答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上.13．（5分）已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為 　　．14．（5分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則數(shù)列的前2022項(xiàng)的和為 　　．15．（5分）曲線在處的切線斜率為 　　．16．（5分）已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)恰好在以，為焦點(diǎn)的雙曲線上，則該雙曲線的離心率為 　　．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）已知兩條直線，．設(shè)為實(shí)數(shù)，分別根據(jù)下列條件求的值．（1）；（2）直線在軸、軸上截距之和等于6．18．（12分）已知圓．（1）若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為，求直線的方程；（2）若斜率為1的直線被圓截得的弦為，以為直徑的圓經(jīng)過圓的圓心，求直線的方程．19．（12分）已知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差不為0的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)的和為，且滿足．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．20．（12分）已知橢圓，離心率分別為左、右焦點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)滿足，且△的面積為1．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)．過點(diǎn)且平行于的直線交橢圓于點(diǎn)，，證明：為定值．21．（12分）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22．（12分）已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，在拋物線上，的面積為1．（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)是拋物線上異于點(diǎn)的一點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，過作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)．
2021-2022學(xué)年江蘇省泰州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請將答案填涂到答題卡相應(yīng)區(qū)域.1．（5分）直線的傾斜角為　　A． B． C． D．【解答】解：直線 即，故直線的斜率等于，設(shè)直線的傾斜角等于，則，且，故，故選：．2．（5分）拋物線的準(zhǔn)線方程為　　A． B． C． D．【解答】解：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，開口朝上，準(zhǔn)線方程為，故選：．3．（5分）若圓與直線相切，則實(shí)數(shù)的值為　　A． B．或3 C． D．1或【解答】解：圓與直線相切，圓心到直線的距離，解得或．故選：．4．（5分）觀察：則第行的值為　　A． B． C． D．【解答】解：由題意可知：第行為，故選：．5．（5分）圓與圓公切線的條數(shù)為　　A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：依題意，圓，圓心，半徑為，圓，圓心，半徑為，圓心距為，故圓，相離，故兩圓有4條公切線，故選：．6．（5分）等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，，，當(dāng)最小時(shí)，的值為　　A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，，，當(dāng)時(shí)，，，兩式相除得，將代入，解得，，，，，其中單調(diào)遞增，時(shí)，取得最小值，當(dāng)最小時(shí)，的值為4．故選：．7．（5分）如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)，在橢圓上，四邊形是梯形，，且，則△的面積為　　A． B． C． D．【解答】解：由橢圓，可得，，所以，所以，，，，設(shè)，，，，因?yàn)?/span>，且，所以，即，，，因?yàn)?/span>，在橢圓上，所以，解得，，所以，故選：．8．（5分）已知函數(shù)滿足對于恒成立，，，，則下列不等關(guān)系正確的是　　A．（c）（a） B．（b）（c） C．（1）（c） D．（a）（b）【解答】解：令，則，故函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，令，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，，，即，從而（1）（b）（a）（c），即，據(jù)此可得：（a）（c），（b）（c），（1）（c），（b）（a）．故選：．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．（5分）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的有　　A．在區(qū)間上單調(diào)遞減 B．在區(qū)間上單調(diào)遞增 C．在處取得極大值 D．在處取得極小值【解答】解：由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，在上，，單調(diào)遞減，在上，，單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，無極大值，故正確，錯(cuò)誤．故選：．10．（5分）下列說法正確的有　　A．直線恒過定點(diǎn) B．直線，，若，則 C．圓與圓的公共弦長為 D．若圓，則過點(diǎn)的最短弦所在直線方程為【解答】解：對于選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以直線過定點(diǎn)，故選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)，若，則，解得：或，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)，由，兩式相減并化簡得，又因?yàn)閳A的圓心到直線的距離，所以公共弦長為，故正確；對于選項(xiàng)，圓的圓心設(shè)為則，，所以過點(diǎn)的最短弦所在直線方程為，即，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．11．（5分）已知雙曲線，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有　　A．雙曲線的離心率為 B．焦點(diǎn)到漸近線的距離為4 C．左、右焦點(diǎn)分別為，，若，則 D．若左、右頂點(diǎn)分別為，，當(dāng)與，不重合時(shí)，直線，的斜率之積為【解答】解：雙曲線，的，，，則，故錯(cuò)誤；焦點(diǎn)，到漸近線的距離為，故正確；，，又，或（舍去），故正確；設(shè)，可得，又，，可得，所以不正確；故選：．12．（5分）如圖，由正方形可以構(gòu)成一系列的長方形，在正方形內(nèi)繪出一個(gè)圓的，就可以近似地得到等角螺線，第一個(gè)和第二個(gè)正方形的邊長為1，第三個(gè)正方形邊長為2，，其邊長依次記為，，，，得到數(shù)列，每一段等角螺線與正方形圍成的扇形面積記為，得到數(shù)列，則下列說法正確的有　　A． B． C． D．【解答】解：由圖中數(shù)據(jù)可得，，由題意可得，對于；故正確；對于，可得，，故正確；對于，，，故錯(cuò)誤；對于：若，，，，顯然成立，故正確．故選：．三、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分，請將答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上.13．（5分）已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為 　　．【解答】解：設(shè)，由得，整理得，點(diǎn)的軌跡方程為．故答案為：．14．（5分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則數(shù)列的前2022項(xiàng)的和為 　　．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?/span>，，所以，解得，因此，所以，所以數(shù)列的前2022項(xiàng)的和為．故答案為：．15．（5分）曲線在處的切線斜率為 　　．【解答】解：的導(dǎo)數(shù)為，可得在處的切線斜率為．故答案為：．16．（5分）已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)恰好在以，為焦點(diǎn)的雙曲線上，則該雙曲線的離心率為 　　．【解答】解：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則由拋物線的定義可得，設(shè)，，，設(shè)的傾斜角為，則，當(dāng)取得最小值時(shí)，最小，此時(shí)直線與拋物線相切，設(shè)直線的方程為，代入，可得，即，△，，，雙曲線的實(shí)軸長為，，，即，雙曲線的離心率為．故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）已知兩條直線，．設(shè)為實(shí)數(shù)，分別根據(jù)下列條件求的值．（1）；（2）直線在軸、軸上截距之和等于6．【解答】解：（1），，，，，，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，重合，．（2），令，則；令，則，直線在軸、軸上截距之和等于6，，解得．18．（12分）已知圓．（1）若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為，求直線的方程；（2）若斜率為1的直線被圓截得的弦為，以為直徑的圓經(jīng)過圓的圓心，求直線的方程．【解答】解：（1）圓，得圓心，半徑，直線的斜率：，直線的斜率為，有，解得．所求直線的方程為：．（2）直線被圓截得的弦為直徑的圓經(jīng)過圓心，為等腰直角三角形，圓心到直線的距離為．設(shè)直線方程為，則，解得或，直線的方程為：或．19．（12分）已知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差不為0的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)的和為，且滿足．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解答】解：（1）設(shè)數(shù)列公差為，由，，成等比數(shù)列有：，解得：．所以．數(shù)列，當(dāng)時(shí)，即，解得：．當(dāng)時(shí)，有，所以，得：，又．所以數(shù)列為以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列．所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為：．（2）因?yàn)?/span>，即，，所以，，，化簡得：．20．（12分）已知橢圓，離心率分別為左、右焦點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)滿足，且△的面積為1．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)．過點(diǎn)且平行于的直線交橢圓于點(diǎn)，，證明：為定值．【解答】（1）解：方法一：由離心率，得：，所以，橢圓上一點(diǎn)，滿足，所以點(diǎn)為圓：與橢圓的交點(diǎn)，聯(lián)立方程組解得，所以，解得：，，所以柯圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．方法二：由橢圓定義；，，得到：，即，又，得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）證明：設(shè)直線的方程為：．得，，設(shè)過點(diǎn)且平行于的直線方程：，．21．（12分）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1），定義域：，，當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在遞減，在遞增；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，所以至多存一個(gè)零點(diǎn)，不符題意，故舍去．當(dāng)時(shí)，在遞減，在遞增；所以有極小值為（a），構(gòu)造函數(shù)（a），，，恒成立，所以（a）在單調(diào)遞減，注意到（1），，①當(dāng)時(shí)，（a），則函數(shù)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符題意，舍去；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象連續(xù)不間斷，的極小值為（a），，又函數(shù)在單調(diào)遞減，所以在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)；，，，令，構(gòu)造函數(shù)，，恒成立，在單調(diào)遞增，所以（2），即，所以，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)怡有兩個(gè)零點(diǎn)，即在上各有一個(gè)零點(diǎn)．綜上，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍為．22．（12分）已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，在拋物線上，的面積為1．（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)是拋物線上異于點(diǎn)的一點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，過作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)．【解答】解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，即，，因?yàn)?/span>，故解得，，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；證明：（2）設(shè)直線的方程為，，，，，，，由，得，所以，，由（1）可知，著時(shí)，，此時(shí)直線的方程為，若時(shí)，因?yàn)?/span>，，三點(diǎn)共線，所以，即，又因?yàn)?/span>，，，化簡可得，又，進(jìn)而可得，，整理得，，因?yàn)?/span>，所以，此時(shí)直線的方程為，直線恒過定點(diǎn)，又直線也過點(diǎn)，綜上：直線過定點(diǎn)．聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/8/4 9:10:31；用戶：高中數(shù)學(xué)6；郵箱：tdjyzx38@xyh.com；學(xué)號(hào)：42412367

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