2021-2022學(xué)年江蘇省無錫市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．請將答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上．）1．（5分）已知直線與直線垂直，則實數(shù)的值為　　A． B． C．1 D．1或2．（5分）在平行六面體中，與的交點為，設(shè)，，，則　　A． B． C． D．3．（5分）在平面直角坐標系中，點關(guān)于直線的對稱點為　　A． B． C． D．4．（5分）已知點是，4，在坐標平面內(nèi)的射影，則　　A． B． C．5 D．5．（5分）已知圓，圓，則兩圓的位置關(guān)系為　　A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切6．（5分）已知是2與8的等比中項，則圓錐曲線的離心率是　　A．或 B． C． D．或7．（5分）橢圓的一個焦點為，過原點作直線（不經(jīng)過焦點與橢圓交于，兩點，若的面積是20，則直線的斜率為　　A． B． C． D．8．（5分）1202年，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契出版了他的《算盤全書》．他在書中收錄了一些有意思的問題，其中有一個關(guān)于兔子繁殖的問題：如果1對兔子每月生1對小兔子（一雌一雄），而每1對小兔子出生后的第3個月里，又能生1對小兔子，假定在不發(fā)生死亡的情況下，如果用表示第個月的兔子的總對數(shù)，則有，．設(shè)數(shù)列滿足：，則數(shù)列的前36項和為　　A．11 B．12 C．13 D．18二、多項選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．請將答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上．）9．（5分）關(guān)于無窮數(shù)列，以下說法正確的是　　A．若數(shù)列為正項等比數(shù)列，則也是等比數(shù)列 B．若數(shù)列為等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列 C．若數(shù)列的前項和為，且是等差數(shù)列，則為等差數(shù)列 D．若數(shù)列為等差數(shù)列，則依次取出該數(shù)列中所有序號為7的倍數(shù)的項，組成的新數(shù)列一定是等差數(shù)列10．（5分）關(guān)于曲線，下列說法正確的是　　A．曲線圍成圖形的面積為 B．曲線所表示的圖形有且僅有2條對稱軸 C．曲線所表示的圖形是中心對稱圖形 D．曲線是以為圓心，2為半徑的圓11．（5分）正四棱錐所有棱長均為2，為正方形的中心，，分別為側(cè)棱，的中點，則　　A． B．直線與夾角的余弦值為 C．平面平面 D．直線與平面所成角的余弦值為12．（5分）已知點在雙曲線上，，是雙曲線的左、右焦點，若△的面積為20，則下列說法正確的有　　A．點到軸的距離為 B． C．△為鈍角三角形 D．三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．請將答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上）13．（5分）已知，，，是直線的方向向量，，2，是平面的法向量，若，則　　．14．（5分）已知拋物線上的點，到焦點的距離為2，則　　．15．（5分）已知，是雙曲線的左、右焦點，點是雙曲線上的任意一點（不是頂點），過作的角平分線的垂線，垂足為，是坐標原點．若，則雙曲線的方程為 　　．16．（5分）傳說古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)．用一點（或一個小石子）代表1，兩點（或兩個小石子）代表2，三點（或三個小石子）代表3，他們研究了各種平面數(shù)（包括三角形數(shù)、正方形數(shù)、長方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)等等）和立體數(shù)（包括立方數(shù)、棱錐數(shù)等等）．如前四個四棱錐數(shù)為第個四棱錐數(shù)為．中國古代也有類似的研究，如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，若一個“三角垛”共有20層，則第6層有 　　個球，這個“三角垛”共有 　　個球．四、解答題：（本題共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．請將答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上．）17．（10分）定義：設(shè)，，是空間的一個基底，若向量，則稱有序?qū)崝?shù)組，，為向量在基底，，下的坐標．已知，，是空間的單位正交基底，，，是空間的另一個基底，若向量在基底，，下的坐標為，2，．（1）求向量在基底，，下的坐標；（2）求向量的模．18．（12分）已知圓，圓與軸交于，兩點．（1）求直線被圓所截得的弦長；（2）圓過點，，且圓心在直線上，求圓的方程．19．（12分）已知等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列滿足：點在曲線上，，___，數(shù)列的前項和為．從①，②，③這三個條件中任選一個，補充到上面問題的橫線上并作答．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）是否存在正整數(shù)，使得，且？若存在，求出滿足題意的值；若不存在，請說明理由．20．（12分）在平面直角坐標系中，已知橢圓的焦點為，，，，且過點，，橢圓的上、下頂點分別為，，右頂點為，直線過點且垂直于軸．（1）求橢圓的標準方程；（2）若點在橢圓上（且在第一象限），直線與交于點，直線與軸交于點，試問：是否為定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由．21．（12分）如圖，在平行四邊形中，，，，四邊形為正方形，且平面平面．（1）證明：；（2）求點到平面的距離；（3）求平面與平面夾角的正弦值．22．（12分）已知拋物線的焦點為，過的直線與拋物線交于，兩點，點在拋物線的準線上，，．（1）當時，求的值；（2）當時，求的最大值．
2021-2022學(xué)年江蘇省無錫市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．請將答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上．）1．（5分）已知直線與直線垂直，則實數(shù)的值為　　A． B． C．1 D．1或【解答】解：直線與直線垂直，，求得，故選：．2．（5分）在平行六面體中，與的交點為，設(shè)，，，則　　A． B． C． D．【解答】解：如圖所示，，，，，，，，故選：．3．（5分）在平面直角坐標系中，點關(guān)于直線的對稱點為　　A． B． C． D．【解答】解：設(shè)點關(guān)于直線的對稱點是，則，解得：，故選：．4．（5分）已知點是，4，在坐標平面內(nèi)的射影，則　　A． B． C．5 D．【解答】解：點是點，4，在坐標平面內(nèi)的射影，，4，，則．故選：．5．（5分）已知圓，圓，則兩圓的位置關(guān)系為　　A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【解答】解：的圓心為，半徑，的標準方程為，圓心為，半徑，兩圓的圓心距，，故兩圓相交，故選：．6．（5分）已知是2與8的等比中項，則圓錐曲線的離心率是　　A．或 B． C． D．或【解答】解：是2與8的等比中項，可得，則圓錐曲線是橢圓時為：的離心率：，圓錐曲線為雙曲線時，，它的離心率為：．故選：．7．（5分）橢圓的一個焦點為，過原點作直線（不經(jīng)過焦點與橢圓交于，兩點，若的面積是20，則直線的斜率為　　A． B． C． D．【解答】解：橢圓，，，，則的焦點分別為和，，不妨取．①當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，，不符合題意；②可設(shè)直線的方程，聯(lián)立方程，可得，，，的面積為，．故選：．8．（5分）1202年，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契出版了他的《算盤全書》．他在書中收錄了一些有意思的問題，其中有一個關(guān)于兔子繁殖的問題：如果1對兔子每月生1對小兔子（一雌一雄），而每1對小兔子出生后的第3個月里，又能生1對小兔子，假定在不發(fā)生死亡的情況下，如果用表示第個月的兔子的總對數(shù)，則有，．設(shè)數(shù)列滿足：，則數(shù)列的前36項和為　　A．11 B．12 C．13 D．18【解答】解：由奇數(shù)奇數(shù)偶數(shù)，奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)可知，數(shù)列中，，，，，為偶數(shù)，其余項都為奇數(shù)，前36項共有12項為偶數(shù)，數(shù)列的前36項和為，故選：．二、多項選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．請將答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上．）9．（5分）關(guān)于無窮數(shù)列，以下說法正確的是　　A．若數(shù)列為正項等比數(shù)列，則也是等比數(shù)列 B．若數(shù)列為等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列 C．若數(shù)列的前項和為，且是等差數(shù)列，則為等差數(shù)列 D．若數(shù)列為等差數(shù)列，則依次取出該數(shù)列中所有序號為7的倍數(shù)的項，組成的新數(shù)列一定是等差數(shù)列【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于，若數(shù)列為正項等比數(shù)列，則，則有，即也是等比數(shù)列，正確；對于，設(shè)，數(shù)列為等差數(shù)列，但不是等差數(shù)列，錯誤；對于，數(shù)列的前項和為，且是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，變形可得，不一定為等差數(shù)列，錯誤；對于，若數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，依次取出該數(shù)列中所有序號為7的倍數(shù)的項，組成的新數(shù)列為，有，則組成的新數(shù)列一定是等差數(shù)列，正確；故選：．10．（5分）關(guān)于曲線，下列說法正確的是　　A．曲線圍成圖形的面積為 B．曲線所表示的圖形有且僅有2條對稱軸 C．曲線所表示的圖形是中心對稱圖形 D．曲線是以為圓心，2為半徑的圓【解答】解：曲線，畫出圖形，如圖所示：對于，故正確；結(jié)合圖像，顯然錯誤，正確，錯誤；故選：．11．（5分）正四棱錐所有棱長均為2，為正方形的中心，，分別為側(cè)棱，的中點，則　　A． B．直線與夾角的余弦值為 C．平面平面 D．直線與平面所成角的余弦值為【解答】解：對于，因為面，，分別為，中點，所以，且，又因為，，所以不會平行于，故錯誤；對于，以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，，，，，0，，，0，，，0，，，，，，，，，，，直線與夾角的余弦值為：，故正確；對于，由題意有，又，，，，平面，所以平面平面，故正確；對于，，0，，，，，，0，，，，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，，，設(shè)直線與平面所成角為，則，直線與平面所成角的余弦值為，故正確．故選：．12．（5分）已知點在雙曲線上，，是雙曲線的左、右焦點，若△的面積為20，則下列說法正確的有　　A．點到軸的距離為 B． C．△為鈍角三角形 D．【解答】解：由雙曲線方程得，，則，由△的面積為20得，得，即點到軸的距離為4，故錯誤，將代入雙曲線方程得，根據(jù)對稱性不妨設(shè)，，則，由雙曲線的定義知，則，則，故正確，在△中，，則，則△為鈍角三角形，故正確，，則錯誤，故正確的是，故選：．三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．請將答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上）13．（5分）已知，，，是直線的方向向量，，2，是平面的法向量，若，則　36　．【解答】解：，，，解得，．故答案為：36．14．（5分）已知拋物線上的點，到焦點的距離為2，則　2　．【解答】解：拋物線上的點，到焦點的距離為2，由拋物線的定義可得，，解得．故答案為：2．15．（5分）已知，是雙曲線的左、右焦點，點是雙曲線上的任意一點（不是頂點），過作的角平分線的垂線，垂足為，是坐標原點．若，則雙曲線的方程為 　　．【解答】解：延長與，交于，連接，由題意可得為邊的垂直平分線，則，且為的中點，，由雙曲線的定義可得，則，又，所以，即，，又雙曲線，知，所以，所以雙曲線的方程為．故答案為：．16．（5分）傳說古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)．用一點（或一個小石子）代表1，兩點（或兩個小石子）代表2，三點（或三個小石子）代表3，他們研究了各種平面數(shù)（包括三角形數(shù)、正方形數(shù)、長方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)等等）和立體數(shù)（包括立方數(shù)、棱錐數(shù)等等）．如前四個四棱錐數(shù)為第個四棱錐數(shù)為．中國古代也有類似的研究，如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，若一個“三角垛”共有20層，則第6層有 　21　個球，這個“三角垛”共有 　　個球．【解答】解：由題意可知，，，，，，故，所，所以．故答案為：21；1540．四、解答題：（本題共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．請將答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上．）17．（10分）定義：設(shè)，，是空間的一個基底，若向量，則稱有序?qū)崝?shù)組，，為向量在基底，，下的坐標．已知，，是空間的單位正交基底，，，是空間的另一個基底，若向量在基底，，下的坐標為，2，．（1）求向量在基底，，下的坐標；（2）求向量的模．【解答】解：向量在基底下的坐標為，2，，則，（1）所以向量在基底下的坐標為，，，（2）模為．18．（12分）已知圓，圓與軸交于，兩點．（1）求直線被圓所截得的弦長；（2）圓過點，，且圓心在直線上，求圓的方程．【解答】解：（1）圓，，即圓心為，半徑，直線，即，圓心到直線的距離，由垂徑定理可得，直線被圓所截得的弦長為．（2）設(shè)，，，，圓，圓與軸交于，兩點，，則，，圓心的橫坐標為，圓心在直線上，圓心為，半徑，故圓的方程為．19．（12分）已知等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列滿足：點在曲線上，，___，數(shù)列的前項和為．從①，②，③這三個條件中任選一個，補充到上面問題的橫線上并作答．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）是否存在正整數(shù)，使得，且？若存在，求出滿足題意的值；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）點在曲線上，，，設(shè)等差數(shù)列的公差為，若選①，則，解得，；若選②，則，，，解得，；若選③，則，，即，，；（2）由（1）可知，，，假設(shè)存在正整數(shù)，使得，且，，即，此不等式組無解，不存在正整數(shù)，使得，且．20．（12分）在平面直角坐標系中，已知橢圓的焦點為，，，，且過點，，橢圓的上、下頂點分別為，，右頂點為，直線過點且垂直于軸．（1）求橢圓的標準方程；（2）若點在橢圓上（且在第一象限），直線與交于點，直線與軸交于點，試問：是否為定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由．【解答】解：（1）由焦點坐標可知，橢圓的焦點在軸上，設(shè)橢圓，記，，則，，于是，則，又，所以，所以橢圓的標準方程為；（2）設(shè)，，由橢圓的方程可知，，，直線，則直線，令得，直線，令得，因為點在第一象限，所以，，則，又因為，即，所以．21．（12分）如圖，在平行四邊形中，，，，四邊形為正方形，且平面平面．（1）證明：；（2）求點到平面的距離；（3）求平面與平面夾角的正弦值．【解答】（1）證明：過作于，，，因為四邊形為正方形，所以，又因為平面平面，所以平面，建系如圖，，，，，，，，0，，，，，，，，因為，所以．（2）解：，，，，0，，，，，，，，令，，，因為，，所以是平面的法向量，所以點到平面的距離為．（3）解：平面的法向量是，0，，由（2）知平面的法向量為，，，設(shè)平面與平面夾角為，，，，．22．（12分）已知拋物線的焦點為，過的直線與拋物線交于，兩點，點在拋物線的準線上，，．（1）當時，求的值；（2）當時，求的最大值．【解答】解：（1）當時，即，由題意可得，因為拋物線的焦點為，準線方程為，設(shè)，，，，直線的方程為，聯(lián)立，整理可得：，顯然△，①，②，，由，則，，可得③，①③聯(lián)立可得，，代入②中可得，解得，由拋物線的性質(zhì)可得，所以的值為；（2）由（1）可得的中點，由，則④，同（1）的算法：①②④聯(lián)立，因為，所以，令，，則函數(shù)先減后增，所以或時，最大且為，此時最大，且它的最大值為，所以的范圍，，直線的方程為：，令，可得，即，因為，而，所以的最大值為．聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/8/4 9:08:14；用戶：高中數(shù)學(xué)6；郵箱：tdjyzx38@xyh.com；學(xué)號：42412367

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