2021-2022學(xué)年江蘇省蘇州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1．（5分）直線的傾斜角為　　A．0 B． C． D．2．（5分）已知平面的一個(gè)法向量為，則所在直線與平面的位置關(guān)系為　　A． B． C．與相交但不垂直 D．3．（5分）若數(shù)列是等差數(shù)列，，則　　A． B． C． D．4．（5分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，是拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于．若是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則　　A． B． C．1 D．25．（5分）在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量是　　A． B． C． D．6．（5分）橢圓上的點(diǎn)到直線的最短距離為　　A． B． C． D．7．（5分）若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“半差遞增”數(shù)列．已知“半差遞增”數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　A． B． C． D．8．（5分）已知線段的端點(diǎn)在直線上，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，線段的中點(diǎn)的軌跡為曲線，若曲線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是　　A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．（5分）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)為，，過(guò)的直線與雙曲線右支交于點(diǎn)．若，且△有一個(gè)內(nèi)角為，則雙曲線的離心率可能是　　A． B．2 C． D．10．（5分）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為，則下列說(shuō)法正確的有　　A． B．，，都有 C．，，使得 D．若平面，則直線與平面所成的角大于11．（5分）如圖1，曲線為四葉玫瑰線，它是一個(gè)幾何虧格為零的代數(shù)曲線，這種曲線在苜宿葉型立交橋的布局中有非常廣泛的應(yīng)用．如圖2，苜宿葉型立交橋有兩層，將所有原來(lái)需要穿越相交道路的轉(zhuǎn)向都由環(huán)形匝道來(lái)實(shí)現(xiàn)，即讓左轉(zhuǎn)車(chē)輛駛?cè)氕h(huán)道后再自右側(cè)切向匯入主路，四條環(huán)形匝道就形成了苜宿葉的形狀．給出下列結(jié)論正確的是　　 A．曲線只有兩條對(duì)稱軸 B．曲線僅經(jīng)過(guò)1個(gè)整點(diǎn)（即橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)） C．曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都不超過(guò)2 D．過(guò)曲線上的任一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積最大值為212．（5分）已知數(shù)列滿足，其中，0，，下列說(shuō)法正確的是　　A．當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列 B．當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列 C．當(dāng)時(shí)，數(shù)列是常數(shù)列 D．?dāng)?shù)列總存在最大項(xiàng)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）若，則與向量同方向的單位向量的坐標(biāo)為 　　．14．（5分）小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)家中墻壁上燈光的邊界類(lèi)似雙曲線的一支．如圖，為雙曲線的頂點(diǎn)，經(jīng)過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)，該雙曲線的漸近線相互垂直，，，，雙曲線的焦點(diǎn)位于直線上，則該雙曲線的焦距為 　　．15．（5分）已知數(shù)列滿足，且，，則的值為 　　．16．（5分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線過(guò)點(diǎn)且與拋物線交于，兩點(diǎn)，以為圓心的圓交線段于，兩點(diǎn)（從上到下依次為，，，，若，則該圓的半徑的取值范圍是 　　．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知直線與直線的交點(diǎn)在第一、三象限的角平分線上．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若點(diǎn)在直線上且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．18．（12分）已知函數(shù)，從下列兩個(gè)條件中選擇一個(gè)使得數(shù)列成等比數(shù)列．條件1：數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列；條件2：數(shù)列是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，底面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，二面角的余弦值為．（1）求的長(zhǎng)；（2）求異面直線與所成角的余弦值；（3）求直線與平面所成角的正弦值．20．（12分）已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）是否存在正實(shí)數(shù)，使得不等式對(duì)一切正整數(shù)都成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．21．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)．（1）若，求直線的方程；（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意滿足條件的實(shí)數(shù)，都有，為常數(shù)），求的值．22．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為．點(diǎn)是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，且在第一象限．記△的面積為，當(dāng)時(shí)，．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，，的延長(zhǎng)線分別交橢圓于點(diǎn)，，記△和△的面積分別為和．（?。┣笞C：存在常數(shù)，使得成立；（ⅱ）求的最大值．
2021-2022學(xué)年江蘇省蘇州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1．（5分）直線的傾斜角為　　A．0 B． C． D．【解答】解：直線，，即斜率不存在，直線的傾斜角為．故選：．2．（5分）已知平面的一個(gè)法向量為，則所在直線與平面的位置關(guān)系為　　A． B． C．與相交但不垂直 D．【解答】解：平面的一個(gè)法向量為，，，所在直線與平面的位置關(guān)系為．故選：．3．（5分）若數(shù)列是等差數(shù)列，，則　　A． B． C． D．【解答】解：因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，，所以，，所以該等差數(shù)列的公差，所以，則．故選：．4．（5分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，是拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于．若是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則　　A． B． C．1 D．2【解答】解：如圖所示，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以，所以在中，計(jì)算，所以． 故選：．5．（5分）在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量是　　A． B． C． D．【解答】解：平行六面體中，．故選：．6．（5分）橢圓上的點(diǎn)到直線的最短距離為　　A． B． C． D．【解答】解：由是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)．可設(shè)，，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，，，，，，，最短距離．故選：．7．（5分）若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“半差遞增”數(shù)列．已知“半差遞增”數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　A． B． C． D．【解答】解：因?yàn)?/span>所以當(dāng)時(shí)，兩式相減可得，即，所以數(shù)列是以公比的等比數(shù)列當(dāng)時(shí)，所以，則，，由“半差遞增”數(shù)列的定義可知，，化簡(jiǎn)可得，解不等式可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：．8．（5分）已知線段的端點(diǎn)在直線上，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，線段的中點(diǎn)的軌跡為曲線，若曲線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是　　A． B． C． D．【解答】解：設(shè)線段中點(diǎn)，，，，，由題意知：，，，，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，，線段的中點(diǎn)的軌跡方程為，即曲線是以，為圓心，以1為半徑的圓，若曲線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，則，即，平方整理得，，即，解得，故選：．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．（5分）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)為，，過(guò)的直線與雙曲線右支交于點(diǎn)．若，且△有一個(gè)內(nèi)角為，則雙曲線的離心率可能是　　A． B．2 C． D．【解答】解：過(guò)的直線與雙曲線右支交于點(diǎn)，所以，又，所以，，當(dāng)時(shí)，由余弦定理有，所以，可得，當(dāng)時(shí)，由余弦定理有，所以，整理得，所以，故選：．10．（5分）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為，則下列說(shuō)法正確的有　　A． B．，，都有 C．，，使得 D．若平面，則直線與平面所成的角大于【解答】解：由，得，故錯(cuò)誤；，故正確；當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，，顯然平行，所以，故正確；平面，則為平面的一個(gè)法向量，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，1，，，0，，所以，，，，，，設(shè)直線與平面所成的角為，則，，所以直線與平面所成的角小于，故錯(cuò)誤；故選：．11．（5分）如圖1，曲線為四葉玫瑰線，它是一個(gè)幾何虧格為零的代數(shù)曲線，這種曲線在苜宿葉型立交橋的布局中有非常廣泛的應(yīng)用．如圖2，苜宿葉型立交橋有兩層，將所有原來(lái)需要穿越相交道路的轉(zhuǎn)向都由環(huán)形匝道來(lái)實(shí)現(xiàn)，即讓左轉(zhuǎn)車(chē)輛駛?cè)氕h(huán)道后再自右側(cè)切向匯入主路，四條環(huán)形匝道就形成了苜宿葉的形狀．給出下列結(jié)論正確的是　　 A．曲線只有兩條對(duì)稱軸 B．曲線僅經(jīng)過(guò)1個(gè)整點(diǎn)（即橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)） C．曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都不超過(guò)2 D．過(guò)曲線上的任一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積最大值為2【解答】解：根據(jù)圖形可得，曲線有四條對(duì)稱軸，，，即錯(cuò)；由，可得，即圓與曲線相切于點(diǎn)，，，，，，，內(nèi)切于圓，故曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最大值為，即正確；又圓位于第一象限的整點(diǎn)只有，但，所以曲線在第一象限不過(guò)整點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性可得，曲線在二三四象限也不過(guò)整點(diǎn)；又顯然在曲線上，所以曲線只過(guò)一個(gè)整點(diǎn)，故正確；設(shè)曲線上的任一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則過(guò)該點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積；由可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即正確．故選：．12．（5分）已知數(shù)列滿足，其中，0，，下列說(shuō)法正確的是　　A．當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列 B．當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列 C．當(dāng)時(shí)，數(shù)列是常數(shù)列 D．?dāng)?shù)列總存在最大項(xiàng)【解答】解：數(shù)列滿足，其中，0，，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故正確；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，，，數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列不是等差數(shù)列，故錯(cuò)誤；時(shí)，，，是等差數(shù)列，又，，從而是常數(shù)，故正確；由以上討論知時(shí)，最大值是，時(shí)，，，時(shí)，，數(shù)列最大值為，時(shí)，，，即，，有最大項(xiàng)，故正確．故選：．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）若，則與向量同方向的單位向量的坐標(biāo)為 　，，　．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)要求向量為，且，，，又由為單位向量，則，又由，解可得：，故要求向量為，，；故答案為：，，．14．（5分）小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)家中墻壁上燈光的邊界類(lèi)似雙曲線的一支．如圖，為雙曲線的頂點(diǎn)，經(jīng)過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)，該雙曲線的漸近線相互垂直，，，，雙曲線的焦點(diǎn)位于直線上，則該雙曲線的焦距為 　　．【解答】解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)該雙曲線的方程為．因?yàn)闈u近線相互垂直，所以．由題意知，解得，，故該雙曲線的焦距為．故答案為：．15．（5分）已知數(shù)列滿足，且，，則的值為 　　．【解答】解：數(shù)列滿足，且，，，，，，，，是周期為6的周期數(shù)列，，．故答案為：．16．（5分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線過(guò)點(diǎn)且與拋物線交于，兩點(diǎn)，以為圓心的圓交線段于，兩點(diǎn)（從上到下依次為，，，，若，則該圓的半徑的取值范圍是 　，　．【解答】解：由拋物線的焦的方程可得焦點(diǎn)，設(shè)以為圓心的圓的半徑為，可知，，，設(shè)直線的方程為：，，，，，則，，聯(lián)立，整理可得：，可得，，，，，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，故答案為，．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知直線與直線的交點(diǎn)在第一、三象限的角平分線上．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若點(diǎn)在直線上且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）根據(jù)題意，第一、三象限的角平分線為，則，解可得，即的坐標(biāo)為，點(diǎn)也在直線上，則有，解可得；（2）根據(jù)題意，由（1）的結(jié)論，，即直線的方程為上，設(shè)的坐標(biāo)為，，，若，則，變形可得：，解可得，即的坐標(biāo)為．18．（12分）已知函數(shù)，從下列兩個(gè)條件中選擇一個(gè)使得數(shù)列成等比數(shù)列．條件1：數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列；條件2：數(shù)列是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解答】解：（1）若選擇條件1：數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，則，即，可得，不是常數(shù)．若選擇條件2：數(shù)列是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列，則，即，可得，，數(shù)列成等比數(shù)列．數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2），，，兩式作差，可得，則．19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，底面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，二面角的余弦值為．（1）求的長(zhǎng)；（2）求異面直線與所成角的余弦值；（3）求直線與平面所成角的正弦值．【解答】解：（1）取中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，0，，，0，，，2，，，1，，，，，，2，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，由，取，得，，；取平面的一個(gè)法向量為，0，．由題意，得，，解得，因?yàn)辄c(diǎn)為棱的中點(diǎn)，所以；（2），，，，1，，設(shè)異面直線與所成角為，則，；（3）由（1）知平面的一個(gè)法向量為，，，又，1，，設(shè)直線與平面所成角為，則．20．（12分）已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）是否存在正實(shí)數(shù)，使得不等式對(duì)一切正整數(shù)都成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）由，假設(shè)其變形為，則有，所以，又．所以，即；（2）由（1），所以，令，則，所以，所以是遞減數(shù)列，所以，所以使得不等式 一切正整數(shù)都成立，則，即，因?yàn)?/span>為正實(shí)數(shù)，所以．21．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)．（1）若，求直線的方程；（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意滿足條件的實(shí)數(shù)，都有，為常數(shù)），求的值．【解答】解：（1）因?yàn)?/span>，，所以，則直線方程為，設(shè)，，，，聯(lián)立可得，則△，得，且，因?yàn)?/span>，所以，，，，所以，則，所以，解得，所以直線方程為，即；（2）設(shè)，，，，聯(lián)立可得，則△，得，且，，所以，，因?yàn)?/span>，所以，可得，即，所以，即，解得或，當(dāng)時(shí)，直線恒過(guò)點(diǎn)，此時(shí)不存在，故本題應(yīng)只有唯一解，此時(shí)，，即有．22．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為．點(diǎn)是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，且在第一象限．記△的面積為，當(dāng)時(shí)，．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，，的延長(zhǎng)線分別交橢圓于點(diǎn)，，記△和△的面積分別為和．（?。┣笞C：存在常數(shù)，使得成立；（ⅱ）求的最大值．【解答】解：（1）聯(lián)立，所以，所以，所以，所以，即，所以，解得，，，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)，，，，，，，，直線與直線的斜率均不為零，因?yàn)?/span>，，設(shè)直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立，得，所以，因?yàn)?/span>，，所以，所以，由，得，即，所以，，，所以，所以，所以，，，所以（ⅰ）證明：，所以存在常數(shù)，使得成立．（ⅱ），所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，取等號(hào)，所以的最大值為．聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/8/4 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