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在線段上是否存在一點，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，指出點的位置；若不存在，說明理由．
某公司對項目甲進行投資，投資金額與所獲利潤之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)：項目甲投資金額百萬元所獲利潤百萬元用相關(guān)系數(shù)說明與相關(guān)性的強弱本題規(guī)定，相關(guān)系數(shù)滿足，則認為線性相關(guān)性較強；否則，線性相關(guān)性較弱；
該公司計劃用百萬元對甲，乙兩個項目進行投資，若公司利用表格中的數(shù)據(jù)建立線性回歸方程對項目甲所獲得的利潤進行預(yù)測，項目乙投資百萬元所獲得的利潤百萬元近似滿足：，求甲，乙兩個項目投資金額分別為多少時，獲得的總利潤最大．
參考公式：，相關(guān)系數(shù)．
參考數(shù)據(jù)：統(tǒng)計數(shù)據(jù)表中．我國是全球制造業(yè)大國，制造業(yè)增加值自年起連續(xù)年位居世界第一，主要產(chǎn)品量穩(wěn)居世界前列．為深入推進傳統(tǒng)制造業(yè)改造提升，全面提高傳統(tǒng)制造業(yè)核心競爭力，某設(shè)備生產(chǎn)企業(yè)對現(xiàn)有生產(chǎn)設(shè)備進行技術(shù)攻堅突破．設(shè)備生產(chǎn)的零件的直徑為單位：現(xiàn)有舊設(shè)備生產(chǎn)的零件共個，其中直徑大于的有個．現(xiàn)從這個零件中隨機抽取個．記表示取出的零件中直徑大于的零件的個數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
技術(shù)攻堅突破后設(shè)備生產(chǎn)的零件的合格率為，每個零件是否合格相互獨立．現(xiàn)任取個零件進行檢測，若合格的零件數(shù)超過半數(shù)，則可認為技術(shù)攻堅成功．求技術(shù)攻堅成功的概率及的方差；
若技術(shù)攻堅后新設(shè)備生產(chǎn)的零件直徑，從生產(chǎn)的零件中隨機取出個，求至少有一個零件直徑大于的概率．參考數(shù)據(jù)：若，則，，，，．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：為排列數(shù)，可以表示為，
故選：．
根據(jù)排列數(shù)的公式分析即可．
本題考查排列數(shù)公式，屬于基礎(chǔ)題．
2.【答案】 【解析】解：由題意，，．
故選：．
先求解，再結(jié)合條件概率公式，即可求解．
本題主要考查條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題．
3.【答案】 【解析】解：由題意得，得，
所以，
故選：．
先利用頻率和為，求出的值，然后利用期望公式求解即可．
本題主要考查了離散型隨機變量分布列的性質(zhì)，考查了均值公式，屬于基礎(chǔ)題．
4.【答案】 【解析】解：由題意知本題需要分步來解，
第一步甲同學(xué)選兩個任務(wù)進行學(xué)習(xí)，有種方法，
第二步乙同學(xué)選兩個任務(wù)，有種方法，
由乘法原理得：恰有一個任務(wù)相同的選法的種數(shù)為種．
故選：．
甲、乙同學(xué)從個任務(wù)中各選個任務(wù)進行學(xué)習(xí)可分兩步完成，第一步甲同學(xué)選兩個任務(wù)，第二步乙同學(xué)選兩個任務(wù)，兩個步驟相乘可以得到結(jié)果．
本題考查分步計數(shù)原理，屬基礎(chǔ)題．
5.【答案】 【解析】解：的展開式中，常數(shù)項為，
故選：．
根據(jù)計數(shù)原理，排列組合數(shù)公式即可求解．
本題考查計數(shù)原理，排列組合數(shù)公式，屬基礎(chǔ)題．
6.【答案】 【解析】解：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可得，
又由點在回歸方程上，其中，
所以，解得，
故，
當時，，
故估計該商場平均氣溫為的那個月取暖器銷售量約為件．
故選：．
根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，求得的值，將代入回歸方程，求得的值，得出回歸直線方程，代入時，即可求解．
本題主要考查線性回歸方程的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
7.【答案】 【解析】解：，
有以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”．
故選：．
根據(jù)已知條件，結(jié)合獨立性檢驗的定義，即可求解．
本題主要考查獨立性檢驗的定義，屬于基礎(chǔ)題．
8.【答案】 【解析】解：，，
則
，
，
，
，，
，．
故選：．
先利用基底向量表示，，再利用向量的夾角公式求解即可．
本題考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，空間向量的線性運算以及空間向量數(shù)量積的定義，利用向量求夾角的正弦值，屬中檔題．
9.【答案】 【解析】解：對于，公式中，和關(guān)系明確，屬于函數(shù)關(guān)系，不是相關(guān)關(guān)系，
相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系，故A錯誤，
對于，回歸直線恒過樣本點的中心，故B正確，
對于，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近，則兩個變量的相關(guān)性越強，故C正確，
對于，對分類變量與，它們的隨機變量越大，判斷“與有關(guān)系”的把握越大，故D錯誤．
故選：．
利用變量間相關(guān)關(guān)系的概念與性質(zhì)，可判斷、選項，由回歸直線方程的性質(zhì)，判斷選項，由分類變量的獨立性檢驗，可判斷選項．
本題主要考查線性回歸方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
10.【答案】 【解析】解：對于，服從二項分布，
則，故A正確，
對于，服從超幾何分布，
則，故B正確，
對于，的方差為，
則，故C錯誤，
對于，服從正態(tài)分布，且，
則，
所以，故D錯誤．
故選：．
對于，結(jié)合二項分布的期望公式，即可求解，
對于，結(jié)合超幾何分布的期望公式，即可求解，
對于，結(jié)合方差的線性公式，即可求解，
對于，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性，即可求解．
本題主要考查二項分布、超幾何分布的期望公式，以及方差的線性公式，正態(tài)分布的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．
11.【答案】 【解析】解：，令，則，
令，則，
，A正確，
，，
其展開式的通項公式為，
，，，B正確，
，，
令，則，C錯誤，
，，，，為負數(shù)，最大項在，，，中，
，，，，
最大項為，D正確，
故選：．
采用賦值法判斷，變形可得，寫出其展開式的通項公式判斷，求導(dǎo)數(shù)再賦值判斷，根據(jù)選項B中的通項公式，分別求得，，和的值判斷．
本題考查二項式定理的應(yīng)用，熟練掌握二項展開式的通項公式，賦值法是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．
12.【答案】 【解析】解：在正三棱柱中，底面是邊長為的等邊三角形，，為中點，
，平面，又平面，
，又，平面，
又平面，平面平面，故A正確；
如圖，建立空間直角坐標系，
則，，，，，，，
，，
，，異面直線與所成角的余弦值為，故B錯誤；
對于：設(shè)是平面的一個法向量，
點在內(nèi)包括邊界且，
設(shè)，則，，，四點共面，則，
，
則，點，，
，，，解得，
設(shè)與平面所成的角為，
，，
與平面所成的角的正弦值的最大值為，故C正確；
設(shè)，則，，
，，，，
則，，
，
當時，，故D正確．
故選：．
利用，可證平面，可證平面平面，建立空間直角坐標系，利用向量法求解判斷．
本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．
13.【答案】 【解析】解：．
故答案為：．
根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)與計算公式求解即可
本題考查了組合數(shù)公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．
14.【答案】 【解析】解：由題意可得，，解得，，
離散型隨機變量服從兩點分布，
，即隨機變量的標準差為．
故答案為：．
根據(jù)已知條件，結(jié)合兩點分布的性質(zhì)，求出，，再結(jié)合兩點分布的方差公式，即可求解．
本題主要考查兩點分布的性質(zhì)，以及兩點分布的方差公式，屬于基礎(chǔ)題．
15.【答案】 【解析】解：在長方體中，以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標系，
因為，，所以，，，，，，
設(shè)平面的法向量為：，
，
，令得：，
又，
點到平面的距離為：．
故答案為：．
建立空間直角坐標系，求平面的法向量，利用點到平面的距離公式求解即可．
本題考查了點到平面的距離公式，屬于中檔題．
16.【答案】 【解析】解：甲袋中有個白球和個紅球，從甲袋中任取個球，記取出的紅球個數(shù)為，則隨機變量服從超幾何分布，
所以由超幾何分布的數(shù)學(xué)期望得：；
甲袋任取兩個球的可能性有三種：
甲袋取出的為個白球時，則從乙袋中取出的是個紅球的概率為：；
甲袋取出的為個白球、個紅球時，則從乙袋中取出的是個紅球的概率為：；
甲袋取出的為個紅球時，則從乙袋中取出的是個紅球的概率為：
從乙袋中取出的是個紅球的概率為：．
故答案為：；．
分析可知，從甲袋中任取個球，記取出的紅球個數(shù)為，則隨機變量服從超幾何分布，由超幾何分布的數(shù)學(xué)期望得；從甲袋任取兩個球分三類情況，再計算乙袋中取出的是個紅球的概率即可．
本題主要考查超幾何分布和古典概型的問題，熟記概率的計算公式即可，屬于?？碱}型．
17.【答案】解：選條件：前三項的二項式系數(shù)之和為，即，
化簡得，解得或舍負，
故．
選條件：因為第項與第項的二項式系數(shù)相等，所以，
即，化簡得，解得．
選條件：令，有，解得．
的通項公式，
所以當，時為有理項，對應(yīng)的項分別為，，
故展開式中的有理項為與． 【解析】選條件：根據(jù)二項式系數(shù)公式，寫出前三項的系數(shù)之和，再根據(jù)組合數(shù)的計算，求解即可；
選條件：根據(jù)二項式系數(shù)公式，寫出第項和第項的系數(shù)，再根據(jù)組合數(shù)的計算，求解即可；
選條件：采用賦值法，令，可得所有系數(shù)和，從而知的值；
根據(jù)二項式展開式的通項公式，求得使的指數(shù)為整數(shù)的的值，再寫出對應(yīng)的項，即可．
本題考查二項式定理，理解二項式系數(shù)的概念，熟練掌握組合數(shù)的計算，二項式展開式的通項公式是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．
18.【答案】解：因為，，
故，，
故．
，，，
因為，
所以，即，
故，即，
故或． 【解析】根據(jù)空間向量的坐標線性運算與數(shù)量積公式，即可求解．
根據(jù)垂直的數(shù)量積表示，結(jié)合向量的坐標公式，即可求解．
本題主要考查空間向量的數(shù)量積運算，屬于基礎(chǔ)題．
19.【答案】解：先將個女生排在一起，有種排法，將排好的女生視為一個整體，與個男生進行排列，共有種排法，
由分步乘法計數(shù)原理，共有種排法；
先將個男生排好，有種排法，再在這個男生之間及兩頭的個空擋中插入個女生有種方法，
故符合條件的排法共有種；
先排甲、乙、丙以外的其他人，有種排法，由于甲、乙相鄰，故再把甲、乙排好，有種排法，
最后把排好的甲、乙這個整體與丙分別插入原先排好的人的個空擋中有種排法，
故符合條件的排法共有種． 【解析】采用捆綁法即可求解；
采用插空法即可求解；
先排甲、乙、丙以外的其他人，再把甲、乙排好，最后把排好的甲、乙這個整體與丙分別插入原先排好的人的個空擋中即可．
本題考查了排列問題的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
20.【答案】解：由題意得平面，且，
以為原點，分別以，，為，，軸正方向建系，如圖所示，
所以，
所以，
設(shè)平面的法向量，
則，即，
令，可得，所以，
因為平面，平面，
所以，
又因為，，，平面，
所以平面，
所以即為平面的法向量，
所以，
又，由圖象可得二面角為銳二面角，
所以二面角的大小為；
假設(shè)線段上存在一點，滿足題意，
設(shè)，因為，
所以，解得，
所以，則，
因為平面的法向量，
設(shè)得與平面所成角為，
所以，
解得或舍，
所以在線段上存在一點，使得與平面所成角的正弦值為，此時，即為上靠近的四等分點． 【解析】如圖建系，求得各點坐標，進而可得坐標，即可求得平面的法向量，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及判定定理，可證平面，則即為平面的法向量，根據(jù)二面角的向量求法，即可得答案．
假設(shè)存在點滿足題意，設(shè)，因為，即可求得點坐標，進而可得坐標，根據(jù)線面角的向量求法，代入公式，計算可得值，即可得答案．
本題考查二面角，線面角的求法，考查點的位置的確定，屬中檔題．
21.【答案】解：，，，，，
，
與線性相關(guān)性較強．
由可設(shè)關(guān)于的線性回歸方程為：，
，，
，
設(shè)對乙投資百萬元，
則甲項目投資百萬元，
總利潤，
時取等號，此時，
故甲，乙兩個項目投資金額分別為百萬元，百萬元時，獲得的總利潤最大． 【解析】由已知數(shù)據(jù)求出線性相關(guān)系數(shù)的值，與比較大小得結(jié)論；
先由已知數(shù)據(jù)求得與的值，可得關(guān)于的線性回歸方程，設(shè)對乙項目投資百萬元，則對甲項目投資百萬元，寫出所獲總利潤，然后利用基本不等式求最值．
本題主要考查線性回歸方程的求解，掌握最小二乘法是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．
22.【答案】解：由題意，可知可取，，，且：
；
；
；
．
所以的分布列為： 因此的數(shù)學(xué)期望，
由題意，可取的值為，，，，，，則：
；
；
．
所以技術(shù)攻堅成功的概率．
因于，所以的方差．
由，則可知，
由于，則，
所以，
所以，
則，
記從生產(chǎn)的零件中隨機取出個，至少有一個零件直徑大于為事件．
則． 【解析】先得可取，，，，再求概率從而可得分布列及數(shù)學(xué)期望；
由二項分布可求解；
利用正態(tài)分布的對稱性結(jié)合題意可得至少有一個零件直徑大于的概率．
本題主要考查離散型隨機變量及其分布列，正態(tài)分布的應(yīng)用，離散型隨機變量方差的計算等知識，屬于中等題．
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