2020-2021學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知，若復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則　　A．0 B．1 C． D．22．（5分）已知與是兩個(gè)不共線的向量，為實(shí)數(shù)，若向量與向量平行，則的值為　　A．1 B． C． D．23．（5分）已知向量，，，，則　　A． B． C．0 D．14．（5分）已知復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位），則的最大值為　　A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）設(shè)，，，則有　　A． B． C． D．6．（5分）中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則下列結(jié)論不正確的是　　A． B．若，則的面積是 C． D．是鈍角三角形7．（5分）已知，，，，則的值為　　A． B． C． D．8．（5分）已知，，，，且，，若，則　　A． B． C．2 D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．（5分）下列命題中正確的是　　A．若，不共線，，，則向量，可以作為一組基底 B． 中，，則是直角三角形 C．若的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則是等腰三角形 D．對(duì)于任意向量，，都有10．（5分）下列關(guān)于復(fù)數(shù)的命題中是虛數(shù)單位），說(shuō)法正確的是　　A．若關(guān)于的方程有實(shí)根，則 B．復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限 C．是關(guān)于的方程的一個(gè)根，其中，為實(shí)數(shù)，則 D．已知復(fù)數(shù)，滿足，則11．（5分）如圖，是的中點(diǎn)，，是平行四邊形內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的是　　A．當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，， B．當(dāng)時(shí)，， C．若為定值1，則在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的軌跡是一條線段 D．當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，，12．（5分）若的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且滿足，則下列結(jié)論正確的是　　A．角一定為銳角 B． C． D．的最小值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）已知復(fù)數(shù)，，則　　．14．（5分），則　　．15．（5分）若，，，則向量與的夾角為　　．16．（5分）拿破侖定理是法國(guó)著名軍事家拿破侖波拿巴最早提出的一個(gè)幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個(gè)等邊三角形（此等邊三角形稱為拿破侖三角形）的頂點(diǎn)．”已知內(nèi)接于單位圓，以，，為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次記為，，．若，則△的面積最大值為 　　．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（10分）已知，，．求：（1）的值；（2）的值．18．（12分）已知復(fù)數(shù)滿足，的實(shí)部大于0，的虛部為2．（1）求復(fù)數(shù)；（2）設(shè)復(fù)數(shù)，，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，，點(diǎn)滿足和共線，求的值．19．（12分）已知向量，，，，若函數(shù)的最小正周期為．（1）求的值和的對(duì)稱軸方程；（2）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，的面積為，求的值．20．（12分）在直角梯形中，已知，，，，對(duì)角線交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，且滿足．（1）求的值；（2）若為線段上任意一點(diǎn)，求的最小值．21．（12分）如圖所示，是某海灣旅游區(qū)的一角，為營(yíng)造更加優(yōu)美的旅游環(huán)境，旅游區(qū)管委會(huì)決定建立面積為平方千米的三角形主題游戲樂(lè)園，并在區(qū)域建立水上餐廳．已知，．（Ⅰ）設(shè)，，用表示，并求的最小值；（Ⅱ）設(shè)為銳角），當(dāng)最小時(shí)，用表示區(qū)域的面積，并求的最小值．22．（12分）古希臘數(shù)學(xué)家普洛克拉斯曾說(shuō)：“哪里有數(shù)學(xué)，哪里就有美，哪里就有發(fā)現(xiàn)”，對(duì)稱美是數(shù)學(xué)美的一個(gè)重要組成部分，比如圓，正多邊，請(qǐng)解決以下問(wèn)題：（1）魏晉時(shí)期，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉微在《九章算術(shù)注》中提出了割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無(wú)所失矣”，割圓術(shù)可以視為將一個(gè)圓內(nèi)接正邊形等分成個(gè)等腰三角形（如圖所示），當(dāng)變得很大時(shí)，等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，運(yùn)用割圓術(shù)的思想，求的近似值（結(jié)果保留．（2）正邊形的邊長(zhǎng)為，內(nèi)切圓的半徑為，外接圓的半徑為，求證：．
2020-2021學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．【分析】由題意利用純虛數(shù)的定義，求得的值．【解答】解：，若復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則，，求得，故選：．2．【分析】根據(jù)題意即可得出，從而可得出，然后解出即可．【解答】解：不共線，，又向量與平行，根據(jù)共線向量基本定理得：存在實(shí)數(shù)，使，根據(jù)平面向量基本定理得：，解得．故選：．3．【分析】根據(jù)，代入的坐標(biāo)即可得出，，，從而可得出，然后即可解出的值．【解答】解：，，，，，，，，解得．故選：．4．【分析】先設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，然后結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義及圓的性質(zhì)可求．【解答】解：設(shè)，由，故所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，的幾何意義是圓上點(diǎn)到的距離，而與的距離為，圓的半徑，根據(jù)圓的性質(zhì)可知，最大值為．故選：．5．【分析】先結(jié)合輔助角及二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合正弦函數(shù)及正切函數(shù)的性質(zhì)即可比較大?。?/span>【解答】解：，，，則．故選：．6．【分析】利用正弦定理即可判斷；由余弦定理，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算即可判斷和；由已知可求得，進(jìn)而利用三角形的面積公式即可判斷．【解答】解：因?yàn)?/span>，由正弦定理可得，，故正確；可得，故，故錯(cuò)誤；可得為鈍角，可得正確；若，可得，又，則的面積，故正確；故選：．7．【分析】由已知結(jié)合同角基本關(guān)系可求，，然后結(jié)合二倍角公式求出，再由兩角差的正切公式求，結(jié)合角的范圍可求．【解答】解：因?yàn)?/span>，，所以，，，，因?yàn)?/span>，，所以，，，，所以，則，所以．故選：．8．【分析】利用函數(shù)在，上單調(diào)性及，為函數(shù)的零點(diǎn)分析出，然后結(jié)合同角三角關(guān)系及和差角，二倍角公式可求．【解答】解：因?yàn)?/span>，，，，且，，令，則，所以在，上恒成立，故在，上單調(diào)遞增，且是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?/span>，且，，故是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，故，所以，解得或（舍，故選：．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．【分析】利用向量共線定理與平面向量的基底即可判斷選項(xiàng)；由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算即可判斷選項(xiàng)；由正弦定理及三角恒等變換即可判斷選項(xiàng)；由向量的數(shù)量積運(yùn)算即可判斷選項(xiàng)．【解答】解：對(duì)于，若，不共線，，，則，向量與共線，故向量，不可以作為一組基底，故錯(cuò)誤；對(duì)于，中，，即，所以，即，故是直角三角形，故正確；對(duì)于，因?yàn)?/span>，由正弦定理可得，又，所以，即，即，所以，即，所以是等腰三角形，故正確；對(duì)于，對(duì)任意向量，，，，故正確．故選：．10．【分析】設(shè)實(shí)根為，代入方程可求得值，可判斷選項(xiàng)；根據(jù)等式求出，可判斷選項(xiàng)；把代入方程可求得值，可判斷選項(xiàng)；舉例可判斷選項(xiàng)．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)，設(shè)實(shí)根為，代入方程可得：，，解得：，故對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)，，，在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，故錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)，由題意得：，，解得：，故對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)，取，，滿足，但，故錯(cuò)．故選：．11．【分析】利用三角形法則以及三點(diǎn)共線的性質(zhì)和平面向量基本定理對(duì)應(yīng)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)求解即可．【解答】解：選項(xiàng)：因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，則，所以，則，所以，，故正確；選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段上，故，故錯(cuò)誤，選項(xiàng)：當(dāng)為定值1時(shí)，，，三點(diǎn)共線，又是平行四邊形內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，故的軌跡是一條線段，故正確，選項(xiàng)：當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，，所以，故正確，故選：．12．【分析】選項(xiàng)，結(jié)合誘導(dǎo)公式、二倍角公式對(duì)已知等式化簡(jiǎn)可得，從而知為鈍角；選項(xiàng)，由和余弦定理，可得解；選項(xiàng)，結(jié)合選項(xiàng)的結(jié)論，再根據(jù)同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系、正弦定理和余弦定理，可推出，從而得解；選項(xiàng)，結(jié)合選項(xiàng)的結(jié)論，再由三角形的內(nèi)角和定理與正切的兩角和公式，可推出，然后由基本不等式，得解．【解答】解：，，即，，又，一定為鈍角，即選項(xiàng)錯(cuò)誤；由余弦定理知，，化簡(jiǎn)得，，即選項(xiàng)正確；，，即選項(xiàng)正確；，為鈍角，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)取得最大值，即選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式即可直接求解．【解答】解：因?yàn)?/span>，，則．故答案為：1．14．【分析】結(jié)合同角基本關(guān)系對(duì)所求式子弦化切，代入即可求解．【解答】解：因?yàn)?/span>，則．故答案為：．15．【分析】設(shè)向量與的夾角為，根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，即可求出和的值．【解答】解：設(shè)向量與的夾角為，因?yàn)?/span>，，所以，由，得，即，解得，又，，所以向量與的夾角為．故答案為：．16．【分析】根據(jù)拿破侖三角形的性質(zhì)，可以設(shè)三角形的兩條直角邊為，，然后三角形的邊，分別用，表示出來(lái)，然后結(jié)合，利用余弦定理即可表示出的長(zhǎng)度，最后利用基本不等式求出邊長(zhǎng)的最大值，則面積的最大值可求．【解答】解：如圖在中，設(shè)直角邊，，由題意知，做出拿破侖三角形如圖，連接，，由等邊三角形外心的性質(zhì)可知：，同理，，在△中，由余弦定理得，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），故．所以△的面積最大值為．故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．【分析】（1）利用兩角和差公式打開，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式可求的值；（2）根據(jù)二倍角公式求出，，利用兩角和差公式打開，可得的值．【解答】解：（1），即，化簡(jiǎn)：①②．由①②解得或，．（2），．，那么：，．18．【分析】（1）由已知結(jié)合復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式及復(fù)數(shù)的概念即可求解；（2）結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義可求，，的坐標(biāo)，然后結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示可求．【解答】解：（1）設(shè)，，為實(shí)數(shù)），由得，，因?yàn)?/span>的實(shí)部大于0，的虛部，所以，，，所以，；（2），，，所以，，，，因?yàn)?/span>和共線，，，所以，所以．19．【分析】（1）由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，再由倍角公式降冪，利用兩角和的正弦化積，結(jié)合周期求得，再由正弦函數(shù)的對(duì)稱性可得的對(duì)稱軸方程；（2）由（1）及可得，再由三角形的面積公式和余弦定理，即可得到所求值．【解答】解：（1）由，，，得．的最小正周期為，，得，．由，得，．的對(duì)稱軸方程為，；（2）由，得，即，又，，，，又的面積為，，則，又，由余弦定理，得，，．20．【分析】方法一（1）根據(jù)，，得到；再把轉(zhuǎn)化為進(jìn)一步整理即可得到結(jié)論；（2）令，結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)論求出的值；再把所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于，的二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；方法二以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系；（1）直接求出兩個(gè)向量的坐標(biāo)代入求解即可；（2）設(shè)，把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：方法一（1）在梯形中，因?yàn)?/span>，，所以，；（2）令，則，即，令，則，，所以當(dāng)時(shí)，有最小值．方法二（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系；則，，，；則，由相似三角形易得．設(shè)，則，．得．則，．（2）設(shè)，顯然，，所以當(dāng)時(shí)，有最小值．21．【分析】（Ⅰ）設(shè)，，利用余弦定理求得的值，可得的解析式，再利用基本不等式求得的最小值．（Ⅱ）中，由正弦定理求得的值，中，由正弦定理可得的值，根據(jù)區(qū)域的面積，利用正弦函數(shù)的值域求得區(qū)域的面積的最小值．【解答】解：（Ⅰ），，，，．中，利用余弦定理可得，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，故當(dāng)時(shí)，取得最小值為．（Ⅱ）設(shè)為銳角），當(dāng)最小時(shí)，，，，中，由正弦定理可得，，中，由正弦定理可得，根據(jù)區(qū)域的面積，故當(dāng)，即時(shí)，區(qū)域的面積取得最小值為．22．【分析】（1）將一個(gè)單位元分成120個(gè)扇形，這120個(gè)扇形對(duì)應(yīng)的等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，然后結(jié)合扇形面積公式可求；（2）結(jié)合銳角三角函數(shù)定義及二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可證明．【解答】（1）解：將一個(gè)單位元分成120個(gè)扇形，每個(gè)扇形的圓心角為，因?yàn)檫@120個(gè)扇形對(duì)應(yīng)的等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，所以，所以；（2）證明：設(shè)為內(nèi)切圓的圓心，，分別為內(nèi)切圓半徑，則，，所以，，中，，即，所以，此時(shí)，即，所以，所以．聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/3/11 19:17:15；用戶：高中數(shù)學(xué)6；郵箱：tdjyzx38@xyh.com；學(xué)號(hào)：42412367

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