2020-2021學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市揚(yáng)中第二高級中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題．請把答案直接填涂在答題卡相應(yīng)位置上．1．已知復(fù)數(shù)滿足，則它的虛部為　　A． B． C． D．2．的值等于　　A．0 B． C． D．3．設(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，若向量與向量共線，則　　A． B． C． D．4．設(shè)，則　　A． B． C． D．5．輪船和輪船在中午12時(shí)，同時(shí)離開海港，兩船航行方向的夾角為，兩船的航行速度分別為，，則14時(shí)兩船之間的距離是　　A． B． C． D．6．定義運(yùn)算、若，，，則等于　　A． B． C． D．7．在中，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，為上一點(diǎn)，向量，則，滿足的關(guān)系為　　A． B． C． D．8．圭表（圭是南北方向水平放置測定表影長度的刻板，表是與圭垂直的桿）是中國古代用來確定節(jié)令的儀器，利用正午時(shí)太陽照在表上，表在圭上的影長來確定節(jié)令．已知冬至和夏至正午時(shí)，太陽光線與地面所成角分別為，，表影長之差為，那么表高為　　A． B． C． D．二、多選題：（每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，不止一項(xiàng)是符合題目要求的，請把正確的所有選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上）9．已知向量，，記向量，的夾角為，則　　A．時(shí)，為銳角 B．時(shí)，為鈍角 C．時(shí)，為直角 D．時(shí)，為平角10．在中，下列說法正確的是　　A．若，則 B．若，則 C．若，則為鈍角三角形 D．若，則11．設(shè)是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，，則　　A． B． C． D．12．在中，角，，所對的邊分別為，，，，，若滿足條件的三角形有且只有一個(gè)，則邊的可能取值為　　A．1 B． C．2 D．3三、填空題．請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上．13．設(shè)向量，，若，則　　．14．若，則　　．15．已知是方程的一個(gè)根，則　　．16．的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．已知，，則面積的最大值為　　．四、解答題．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．設(shè)實(shí)部為正數(shù)的復(fù)數(shù)，滿足，且復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第一、三象限的角平分線上．（1）求復(fù)數(shù)；（2）若為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值．18．已知，且．求：（1）的值；（2）的值．19．如圖，在四邊形中，，且．（1）求的值；（2）點(diǎn)在線段上，且，求的余弦值．20．在①；②；③這三個(gè)條件中，任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求這個(gè)三角形的周長；若問題中的三角形不存在，請說明理由．問題：是否存在，它的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且面積為，且，，______？21．已知，，設(shè)．（1）當(dāng)時(shí)，求的值域；（2）若銳角滿足（C），且不等式恒成立，求的取值范圍．22．如圖所示，公路一側(cè)有一塊空地，其中，，，市政府?dāng)M在中間開挖一個(gè)人工湖，其中，都在邊上，不與，重合，在，之間），且．（1）若在距離點(diǎn)處，求和的長度；（2）為節(jié)省投入資金，人工湖的面積盡可能小，設(shè)，試確定的值，使的面積最小，并求出最小面積．
2020-2021學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市揚(yáng)中第二高級中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題．請把答案直接填涂在答題卡相應(yīng)位置上．1．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義即可得出．【解答】解：復(fù)數(shù)滿足，則它的虛部為．故選：．2．【分析】利用誘導(dǎo)公式得出，，然后利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式得出結(jié)果．【解答】解：故選：．3．【分析】直接利用向量共線基本定理求得結(jié)果．【解答】解：設(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，若向量與向量共線，則：利用向量共線基本定理：，故選：．4．【分析】由，然后結(jié)合已知角的范圍進(jìn)行化簡即可．【解答】解：，則，．故選：．5．【分析】根據(jù)題意可畫出，其中，，，然后根據(jù)余弦定理即可求出的長，從而得出正確的選項(xiàng)．【解答】解：根據(jù)題意，輪船行駛的距離為，輪船行駛的距離為，用圖形表示如下：在中，，，，根據(jù)余弦定理得，，．故選：．6．【分析】根據(jù)新定義化簡原式，然后根據(jù)兩角差的正弦函數(shù)公式變形得到的值，根據(jù)，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出，再根據(jù)求出，利用兩邊取正切即可得到的值，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求出．【解答】解：依題設(shè)得：．，．又，．，．故選：．7．【分析】由已知可得，再由，，三點(diǎn)共線即可求解．【解答】解：由可得：，所以，因?yàn)?/span>，，三點(diǎn)共線，所以，故選：．8．【分析】由題意畫出圖形，找出線面角，設(shè)，然后求解三角形得答案．【解答】解：如圖，設(shè)表高在中，，則，，在直角三角形中，，即．故選：．二、多選題：（每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，不止一項(xiàng)是符合題目要求的，請把正確的所有選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上）9．【分析】根據(jù)題意，有，據(jù)此結(jié)合數(shù)量積的性質(zhì)分析選項(xiàng)，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，向量，，則，依次分析選項(xiàng)：對于，當(dāng)且、不共線時(shí)，為銳角，則有，解可得，正確；對于，當(dāng)且、不共線時(shí)，為鈍角，則有，解可得且，錯(cuò)誤；對于，當(dāng)時(shí)，，即為直角，正確；對于，當(dāng)時(shí)，向量，，，有，，正確；故選：．10．【分析】由已知結(jié)合正弦定理及余弦定理可檢驗(yàn)，，然后結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系分別檢驗(yàn)，，即可判斷．【解答】解：由，正確；由，正確；由題意得一定為銳角，顯然不為直角，當(dāng)為銳角時(shí)，則為鈍角三角形，當(dāng)為鈍角時(shí)，為鈍角三角形，正確；或或，錯(cuò)誤．故選：．11．【分析】用向量做基底表示所有向量，然后進(jìn)行運(yùn)算．【解答】解：顯然成立，對，，，，，，對，，錯(cuò)，，錯(cuò)，故選：．12．【分析】直接利用余弦定理和一元二次不等式的解法的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：在中，角，，所對的邊分別為，，，，，所以，整理得：，故△，解得（舍負(fù)），或，解得．故的取值為，．故選：．三、填空題．請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上．13．【分析】根據(jù)向量垂直的條件可得關(guān)于的方程，解之可得結(jié)果．【解答】解：向量，，若，則，則，故答案為：5．14．【分析】根據(jù)二倍角的正切函數(shù)公式求出，然后利用兩角和與差公式以及特殊角的三角函數(shù)值求出結(jié)果即可．【解答】解：故答案為：15．【分析】利用實(shí)系數(shù)方程的根，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的充要條件，列出方程求解即可．【解答】解：將代入方程，有，即，即，由復(fù)數(shù)相等的充要條件，得，解得，，故．故答案為：．16．【分析】由正弦定理以及兩角和差的正切公式以及三角形的面積公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：由，則，即，由正弦定理得，，，即，，即，即，，由余弦定理得：，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，則的面積，即三角形面積的最大值為．故答案為：．四、解答題．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．【分析】（1）設(shè)，且，由條件可得①，②．由①②聯(lián)立的方程組得、的值，即可得到的值．（2）根據(jù)若為純虛數(shù)，可得，由此求得的值．【解答】解：（1）設(shè)，且，由得：①．又復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第一、三象限的角平分線上，則，即②．由①②聯(lián)立的方程組得，；或，．，，，則．（2） 為純虛數(shù)，，解得．18．【分析】（1）由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得、，再利用兩角和差的三角公式，求得的值．（2）先求得的值，結(jié)合 0，，可得的值．【解答】解：（1）已知，且， 為銳角，，，．（2）由于，結(jié)合 0，，可得．19．【分析】（1）根據(jù)題意，建立坐標(biāo)系，求出、、的坐標(biāo)，即可得、的坐標(biāo)，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算公式計(jì)算可得答案；（2）根據(jù)題意，求出的坐標(biāo)，進(jìn)而由數(shù)量積的計(jì)算公式計(jì)算可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，如圖建立坐標(biāo)系，，，，則，，，則；（2）點(diǎn)在線段上，且，則的坐標(biāo)為，，則，，則，，，．20．【分析】由，結(jié)合三角形面積公式及余弦定理進(jìn)行化簡可求，由，結(jié)合余弦定理進(jìn)行化簡可求，選①；結(jié)合三角形內(nèi)角和及正弦定理可求，，即可求解；選②；結(jié)合正弦定理可求，即可判斷；選③，結(jié)合三角形面積公式及余弦定理可求，，即可求解．【解答】解：因?yàn)?/span>，所以，即，所以，由為三角形內(nèi)角，得，因?yàn)?/span>，由余弦定理，得，化簡，得，選①；，由正弦定理，得，所以，，此時(shí)三角形的周長為；②；由正弦定理，得，所以，不存在，此時(shí)三角形不存在；③，則，所以，由余弦定理，得，所以，此時(shí)三角形的周長為．21．【分析】（1）利用向量的數(shù)量積，結(jié)合二倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的解析式，通過的范圍，求解函數(shù)的值域即可．（2）求出的大小，通過兩角和與差的三角函數(shù)以及不等式恒成立，設(shè)，推出，然后求解即可．【解答】解：（1），，．所以，當(dāng)時(shí)，，，．（2）由（C）可得，，，注意到，，設(shè)，不等式，，恒成立，注意到，當(dāng)時(shí)，，．22．【分析】（1）利用題中的條件，在中解出角的大小，進(jìn)而在三角形中計(jì)算出的長度；（2）分別在中和中，表示出，的長度，進(jìn)而表示出三角形的面積，確定最小值．【解答】解：（1）在中，其中，，，，，在中，，，在中，，在中，，；（2）設(shè)，，在中，，，在中，，，，，時(shí)，的面積最小，最小值為．聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/3/11 19:12:51；用戶：高中數(shù)學(xué)6；郵箱：tdjyzx38@xyh.com；學(xué)號：42412367

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