2020-2021學(xué)年江蘇省泰州中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（5分）已知兩點(diǎn)，，則與向量同向的單位向量是　　A． B． C． D．2．（5分）如圖所示，正方形的邊長為1，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是　　A．6 B．8 C． D．3．（5分）求值：　　A． B． C． D．14．（5分）已知平面，直線，，下列結(jié)論正確的是　　A．若，，則 B．若，，則 C．若，，則 D．若，，則5．（5分）如圖所示，中，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則　　A． B． C． D．6．（5分）碌碡是我國古代人民發(fā)明的一種把米、麥、豆等糧食加工成粉末的器具，如圖，近似圓柱形碌碡的軸固定在經(jīng)過圓盤圓心且垂直于圓盤的木樁上，當(dāng)人或動(dòng)物推動(dòng)木柄時(shí)，碌碡在圓盤上滾動(dòng)．若人或動(dòng)物推動(dòng)木柄繞圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)一周，碌碡恰好滾動(dòng)了3圈，則該圓柱形碌碡的底面圓的半徑與其高之比為　　A． B． C． D．7．（5分）泰州基督教堂，始建于清光緒二十八年，位于泰州市區(qū)迎春東路185號(hào)，市人民醫(yī)院北院對(duì)面，總建筑面積2500多平方米．2017年被認(rèn)定為省四星級(jí)宗教活動(dòng)場所．小明同學(xué)為了估算泰州基督教堂的高度，在人民醫(yī)院北院內(nèi)找到一座建筑物，高為，在它們之間的地面上的點(diǎn)，，三點(diǎn)共線）處測得樓頂，教堂頂的仰角分別是和，在樓頂處測得塔頂的仰角為，則小明估算泰州基督教堂的高度為　　A． B． C． D．8．（5分）騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運(yùn)動(dòng)，深受大眾喜愛，如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓（前輪），圓（后輪）的直徑均為1，，，均是邊長為1的等邊三角形，設(shè)點(diǎn)為后輪上的一點(diǎn)，則在騎動(dòng)該自行車的過程中，的最大值為　　A．3 B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9．（5分）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，則下列各組條件中使得有唯一解的是　　A．，， B．，， C．，， D．，，10．（5分）已知，，是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，下列命題中正確的是　　A． B．若，則 C．非零向量和，滿足，則與的夾角為 D．11．（5分）對(duì)于，有如下命題，其中正確的有　　A．若，則是等腰三角形 B．若，則一定為直角三角形 C．若，則為銳角三角形 D．若，則一定是等邊三角形12．（5分）如圖，在長方體中，，，、分別為棱、的中點(diǎn)，則下列說法中正確的有　　A． B．直線與為相交直線 C．若是棱上一點(diǎn)，且，則、、、四點(diǎn)共面 D．平面截該長方體所得的截面可能為六邊形三、填空題（每小題5分共20分，第15題第一空2分，第二空3分）13．（5分）已知向量的夾角為，若，則　　．14．（5分）噴泉是流動(dòng)的藝術(shù)，美妙絕倫的噴泉給人以無限的享受，若不考慮空氣阻力，當(dāng)噴泉水柱以與水平方向夾角為的速度噴向空氣中時(shí)，水柱在水平方向上移動(dòng)的距離為，能夠達(dá)到的最高高度為（如圖所示，其中為重力加速度）．若，則與的比值為　　．15．（5分）在中，是邊上一點(diǎn)，且，，若是的中點(diǎn)，則　　；若，則的面積的最大值為　　．16．（5分）如圖，已知圓臺(tái)高為5，上底面半徑為3，下底面半徑為4，為的內(nèi)接三角形，且，為上一點(diǎn)，則的最小值為　　．四、解答題（本大題共6小題，共計(jì)70分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（10分）已知，，．（1）求的值；（2）求的值．18．（12分）已知向量，，．（1）求向量與夾角的正切值；（2）若，求的值．19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為側(cè)棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若，，求證：平面．20．（12分）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中．問題：在中，角，，對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，若，_____，求角的值和的最小值．21．（12分）已知四棱錐的底面是菱形．（1）求證：若，求證：平面；（2），分別是，上的點(diǎn)，若平面，，求的值；（3）若，為上一點(diǎn)，且平面，，判斷是否為等腰三角形？并說明理由．22．（12分）在中，滿足：，是的中點(diǎn)．（1）若是線段上任意一點(diǎn)，且，求的最小值；（2）若點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，且，，，求的最小值．
2020-2021學(xué)年江蘇省泰州中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．【分析】利用可解決此題．【解答】解：由兩點(diǎn)，，可知與向量同向的單位向量是：，．故選：．2．【分析】根據(jù)題目給出的直觀圖的形狀，畫出對(duì)應(yīng)的原平面圖形的形狀，求出相應(yīng)的邊長，則問題可求．【解答】解：作出該直觀圖的原圖形，因?yàn)橹庇^圖中的線段軸，所以在原圖形中對(duì)應(yīng)的線段平行于軸且長度不變，點(diǎn)和在原圖形中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)和的縱坐標(biāo)是的2倍，則，所以，則四邊形的長度為8．故選：．3．【分析】把前兩項(xiàng)利用和差化積變形，進(jìn)一步求解得答案．【解答】解：．故選：．4．【分析】由空間中直線與直線、直線與平面位置關(guān)系逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得結(jié)論．【解答】解：對(duì)于，若，，則或，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若，，則或或與相交，相交也不一定垂直，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若，，則或與相交或與異面，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若，則垂直內(nèi)所有直線，垂直所有與平行的直線，又，，故正確．故選：．5．【分析】直接利用已知條件，結(jié)合向量的平行四邊形法則，推出結(jié)果即可．【解答】解：如圖所示，中，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則．故選：．6．【分析】由題意結(jié)合圓的周長公式，得到它們的半徑之比，從而求得答案．【解答】解：由題意，人推動(dòng)木柄繞圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)1周，碌碡恰好滾動(dòng)了3圈，因?yàn)閳A的周長為，所以圓盤與碌碡的半徑之比為，所以圓柱形碌碡的高與其底面圓的直徑之比約為，所以該圓柱形碌碡的底面圓的半徑與其高之比為．故選：．7．【分析】利用求得，在中運(yùn)用正弦定理可得，解，可得的值．【解答】解：在中，，解得；在中，，，所以，由正弦定理得，，解得；在中，，即估算泰州基督教堂的高度為．故選：．8．【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，然后將涉及到的點(diǎn)的坐標(biāo)求出來，其中點(diǎn)坐標(biāo)借助于三角函數(shù)表示，則所求的結(jié)果即可轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題求解．【解答】解：據(jù)題意：圓（后輪）的半徑均為，，，均是邊長為1的等邊三角形．點(diǎn)為后輪上的一點(diǎn)，如圖建立平面直角坐標(biāo)系：則，，，，．圓的方程為，可設(shè)，，所以，，，．故．故選：．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9．【分析】中，由正弦定理求出、的值，判斷有唯一解；中，由正弦定理求出，根據(jù)判斷為銳角，有唯一解；中，由正弦定理求出，根據(jù)判斷的值有2個(gè)，有兩解；中，由余弦定理求出的值只有1個(gè)，判斷有唯一解．【解答】解：對(duì)于，，，，所以，由正弦定理得，所以，，所以有唯一解；對(duì)于，，，，由正弦定理得，所以，且，所以為銳角，有唯一解；對(duì)于，，，，由正弦定理得，所以，且，所以的值有2個(gè)，有兩解；對(duì)于，，，，由余弦定理得，即，整理得，解得，只取，所以有唯一解．故選：．10．【分析】由數(shù)量積公式結(jié)合余弦值的有界性即可判斷；舉例子判斷；由三角形法則判斷；直接計(jì)算判斷．【解答】解：，故選項(xiàng)正確；顯然，不一定相等，例如當(dāng)為零向量時(shí)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)，則，，為正三角形，而由三角形法則可知，為的一半，即為，故選項(xiàng)正確；設(shè)，則是與共線的單位向量，是與共線的單位向量，，故選項(xiàng)正確．故選：．11．【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦定理的應(yīng)用，三角形形狀的判定的應(yīng)用判定、、、的結(jié)論．【解答】解：對(duì)于，故或，整理得或，故是等腰三角形或直角三角形，故錯(cuò)誤；對(duì)于，利用正弦定理：，整理得，整理得，由于，，故，故，故，所以一定為直角三角形，故正確；對(duì)于：由于，整理得，故，由于，故，故，所以為銳角三角形，故正確，對(duì)于，根據(jù)三角形的內(nèi)角的范圍和函數(shù)余弦值的取值，只有當(dāng)，關(guān)系式才成立，所以一定是等邊三角形，故正確；故選：．12．【分析】利用三垂線定理即可判斷選項(xiàng)，證明四邊形為梯形，即可判斷選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，連結(jié)，，，通過證明，即可判斷選項(xiàng)，確定截面共有五條邊，即可判斷選項(xiàng)．【解答】解：由題意可知，平面，故在平面內(nèi)的射影為，因?yàn)?/span>與不垂直，故與不垂直，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>，且，所以四邊形為梯形，則與必相交，故選項(xiàng)正確；點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且，取的中點(diǎn)，連結(jié)，，，因?yàn)?/span>，分別為和的中點(diǎn)，所以，又四邊形為平行四邊形，所以，故、、、四點(diǎn)共面，故選項(xiàng)正確；由選項(xiàng)可知，，，為截面的邊，截面又與平面以及平面相交，則可得截面的兩條邊，所以截面共有五條邊，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．三、填空題（每小題5分共20分，第15題第一空2分，第二空3分）13．【分析】由向量的夾角為，可得，將，展開即可求解【解答】解：向量的夾角為，可得，，．設(shè)，可得解得：故答案為：314．【分析】先表示，然后結(jié)合二倍角公式進(jìn)行化簡即可求解．【解答】解：．故答案為：．15．【分析】若為中點(diǎn)，則，，在中，由余弦定理可得，在中，可得，即可得解的值，若，作于點(diǎn)，作，可求，由余弦定理，可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得的最大值，進(jìn)而可求的最大值．【解答】解：若為中點(diǎn)，則，，在中，由余弦定理可得，即，所以，即，所以，在中，，所以，所以，若，，，由上可得，作于點(diǎn)，因?yàn)?/span>，，所以，作，，所以在邊上的高為，，所以，因?yàn)?/span>，，，所以，由余弦定理，可得，即當(dāng)時(shí)，有最大值，即，則，所以．故答案為：，．16．【分析】設(shè)在底面的投影為，建立平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)在圓上，可設(shè)，，則 即可求解．【解答】解：如圖，設(shè)在底面的投影為，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)在圓上，可設(shè)，，可得，，則由柯西不等式可得，即，，（當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．．故答案為：126．四、解答題（本大題共6小題，共計(jì)70分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．【分析】（1）由已知結(jié)合兩角和的正切公式先求，然后結(jié)合同角基本關(guān)系即可求解；（2）由已知結(jié)合同角基本關(guān)系可求以，，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式即可求解．【解答】解：（1）因?yàn)?/span>，所以，所以；（2）因?yàn)?/span>，，所以，所以，，因?yàn)?/span>，，所以，所以．18．【分析】（1）先代入數(shù)量積求出夾角的余弦，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求解結(jié)論，（2）直接根據(jù)向量垂直的條件即可求得結(jié)論．【解答】解（1）因?yàn)?/span>，所以．設(shè)向量與的夾角，則，解得．又，，所以，故．（2）因?yàn)?/span>，所以，即，解得．19．【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，推導(dǎo)出，由此能證明平面．（2）推導(dǎo)出，，，，由此能證明平面．【解答】證明：（1）連接，交于點(diǎn)，連接，四邊形是平行四邊形，，為側(cè)棱的中點(diǎn)，，平面，平面，平面．（2）為中點(diǎn)，，，，，，平面，平面，，平面．20．【分析】選擇條件①，利用誘導(dǎo)公式及兩角和的余弦公式可求得角的值，再由余弦定理和基本不等式即可求得的最小值；選擇條件②，利用二倍角公式和誘導(dǎo)公式可求得角的值，再由余弦定理和基本不等式即可求得的最小值；選擇條件③，利用正弦定理及兩角和的正弦公式可求得角的值，再由余弦定理和基本不等式即可求得的最小值．【解答】解：選擇條件①，可得，即，即，因?yàn)?/span>，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以，由余弦定理，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以,所以，即的最小值為．選擇條件②，可得，即，解得或（舍，因?yàn)?/span>，所以，由余弦定理，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以,所以，即的最小值為．選擇條件③，由正弦定理可得，即，因?yàn)?/span>，所以，即，因?yàn)?/span>，所以，由余弦定理，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以,所以，即的最小值為．21．【分析】（1）設(shè)，推導(dǎo)出，，，由此能證明平面．（2）過作交于，連接，推導(dǎo)出，從而，，，共面，進(jìn)而，四邊形是平行四邊形，，由此能求出結(jié)果．（3）由平面，知，平面，，從而，，，，進(jìn)而，，，由此推導(dǎo)出不可能為等腰三角形．【解答】解：（1）證明：設(shè)，四邊形是菱形，，，，，，平面，平面，平面．（2）過作交于，連接，在菱形中，，，，，，，共面，平面，平面，平面平面，，四邊形是平行四邊形，，，．（3）不可能為等腰三角形，理由如下：由平面，可知，，，、平面，平面，平面，，，，，，，，在菱形中，若，則是等邊三角形，為中點(diǎn)，，，不可能為等腰三角形．22．【分析】（1）設(shè)，則，把所求轉(zhuǎn)化為含的函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)得解；（2）設(shè)，則，再利用基本不等式得解．【解答】解：（1），，設(shè)，則，而，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值；（2）設(shè)，則，，，則，同理，可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，的最小值為4．聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/3/11 19:13:41；用戶：高中數(shù)學(xué)6；郵箱：tdjyzx38@xyh.com；學(xué)號(hào)：42412367

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