2020-2021學年江蘇省揚州大學附中東部分校高一（下）期中數(shù)學試卷一、單項選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意要求的.）1．（5分）已知直線，和平面，下列命題中正確的是　　A．若，，則 B．若，， C．若，，則 D．若，，則或2．（5分）下列命題中是假命題的是　　A．自然數(shù)集是非負整數(shù)集 B．復數(shù)集與實數(shù)集的交集是實數(shù)集 C．實數(shù)集與虛數(shù)集的交集 D．純虛數(shù)集與實數(shù)集的交集為空集3．（5分）若三條線段的長為5、6、7，則用這三條線段　　A．能組成直角三角形 B．能組成銳角三角形 C．能組成鈍角三角形 D．不能組成三角形4．（5分）設(shè)復數(shù)，在復平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于實軸對稱，，則　　A．25 B． C． D．5．（5分）如圖，在正方體中，為上底面的中心，直線與平面所成角的正切值等于　　A．2 B． C． D．6．（5分）若，，，則　　A． B． C． D．7．（5分）已知向量與的夾角為，定義為與的“向量積”，且是一個向量，它的長度，若，，則　　A． B． C．6 D．8．（5分）已知中，，則的最大值是　　A． B． C． D．二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9．（5分）利用斜二測畫法得到的下列結(jié)論中正確的是　　A．三角形的直觀圖是三角形 B．正方形的直觀圖是正方形 C．菱形的直觀圖是菱形 D．平行四邊形的直觀圖是平行四邊形10．（5分）下列命題中，錯誤的是　　A．若，，且，則 B．若，則 C．若則當且僅當且時， D．若，，且，則11．（5分）關(guān)于平面向量，下列說法中不正確的是　　A．若且，則 B． C．若，且，則 D．12．（5分）如圖，在四邊形中，，，，為邊上一點，且，為的中點，則　　A． B． C． D．三.填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．（5分）已知，，，均為銳角，則　　．14．（5分）已知正三角形的邊長為3，，，則　　．15．（5分）如圖，中國象棋的左半個棋盤上有一只“馬”，開始下棋時，它位于點，這只“馬”第一步有　　種可能的走法，　　（填“能”或“否” 從任一交叉點出發(fā)，走到棋盤上的其他任何一個交叉點．16．（5分）復數(shù)是純虛數(shù)，則　　．四、解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）在①，，②，，③，三個條件中任選一個補充在下面問題中，并加以解答．已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，_______，求的面積．18．（12分）已知，復數(shù)．（1）當為何值時，復數(shù)為實數(shù)？（2）當為何值時，復數(shù)為虛數(shù)？（3）當為何值時，復數(shù)為純虛數(shù)？19．（12分）如圖，在四棱錐中，，，，平面底面，．和分別是和的中點，求證：（Ⅰ）底面；（Ⅱ）平面；（Ⅲ）平面平面．20．（12分）已知，，，．（1）求證：；（2）求在方向上的投影向量；（3）求由這四個點作為頂點的四邊形的面積．21．（12分）已知向量，，，，記．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）在銳角中，角，，的對邊分別是，，，且滿足，求的取值范圍．22．（12分）如圖，半圓的直徑為2，為直徑延長線上的一點，，為半圓上任意一點，以為一邊作等邊三角形，設(shè)．（1）當為何值時，四邊形面積最大，最大值為多少；（2）當為何值時，長最大，最大值為多少．
2020-2021學年江蘇省揚州大學附中東部分校高一（下）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意要求的.）1．【分析】利用線線平行、線面平行的性質(zhì)定理和判定定理對選項分別判斷各選項即可．【解答】解：：若，，則或異面，錯誤，：若，，則與相交，異面或平行，錯誤，：若，，則或，錯誤，：若，，則或，正確．故選：．2．【分析】根據(jù)自然數(shù)集，復數(shù)集，實數(shù)集，虛數(shù)集，純虛數(shù)集元素的特征，逐一分析四個答案的真假，可得結(jié)論．【解答】解：自然數(shù)集是非負整數(shù)集，故是真命題；實數(shù)集是復數(shù)集的子集，故復數(shù)集與實數(shù)集的交集是實數(shù)集，故是真命題；實數(shù)集與虛數(shù)集無公共元素，故實數(shù)集與虛數(shù)集的交集為空集，故是假命題；純虛數(shù)集與實數(shù)集公共元素，故純虛數(shù)集與實數(shù)集的交集為空集，故是真命題故選：．3．【分析】利用余弦定理可判斷最大角，從而可得答案．【解答】解：三條線段的長為5、6、7，滿足任意兩邊之和大于第三邊，能構(gòu)成三角形，可排除；設(shè)此三角形最大角為，，，能組成銳角三角形．故選：．4．【分析】由已知求得，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．【解答】解：，且復數(shù)，在復平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于實軸對稱，，則，故選：．5．【分析】由正方體的結(jié)構(gòu)特征，過點作面，垂足為，則為直線與平面所成角，解即可得到答案．【解答】解：如圖，過點作面，垂足為，則為底面的中心，連接，則為直線與平面所成角，設(shè)正方體的棱長為2，在中，，，．故選：．6．【分析】由的范圍求出的范圍，再由平方關(guān)系求出，根據(jù)倍角的余弦公式變形求出的值．【解答】解：由，，得，，又，，，，，故選：．7．【分析】利用數(shù)量積運算和向量的夾角公式可得．再利用平方關(guān)系可得，利用新定義即可得出．【解答】解：由題意，則，，，．．即，得，由定義知，故選：．8．【分析】，利用三角形內(nèi)角和定理與誘導公式可得：，展開化為：，，．因此．可得：為銳角，為鈍角．展開代入利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：，，，，．化為．可得：為銳角，為鈍角．，當且僅當時取等號．的最大值是．故選：．二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9．【分析】根據(jù)平面圖形直觀圖的畫法規(guī)則，判斷命題的正誤即可．【解答】解：根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則可知，平行于坐標軸的直線平行性不變，平行軸的線段長度不變，平行于軸的長度減半，對于，三角形的直觀圖中，三角形的高與底邊的夾角為或，長度減少為原來的一半，依然是三角形，所以正確；對于，正方形中的直角，在直觀圖中變?yōu)?/span>或角，不是正方形，故錯誤；對于，菱形的對角線垂直平分，在直觀圖中對角線的夾角變?yōu)?/span>，所以菱形的直觀圖不是菱形，故錯誤．對于，根據(jù)平行性不變知，平行四邊形的直觀圖還是平行四邊形，故正確．故選：．10．【分析】舉例說明，，為假命題；利用復數(shù)相等的概念說明是真命題．【解答】解：對于，若，，當，時，，但，是兩個虛數(shù)，不能比較大小，故錯誤；對于，若，則，是假命題，如，，故錯誤；對于，若，則當且僅當且時，，故正確；對于，若，，且，則，是假命題，如，，故錯誤．故選：．11．【分析】利用向量數(shù)量積所具備的相關(guān)性質(zhì)逐一進行判斷即可．【解答】解：對于，若，因為與任意向量平行，所以不一定與平行，故錯；對于，向量數(shù)量積滿足分配律，故對；對于，向量數(shù)量積不滿足消去率，故錯；對于，是以為方向的向量，是以為方向的向量，故錯．故選：．12．【分析】利用向量的加法法則，先用，進而表示出．【解答】解：由知：，，故選項正確．又，，故選項正確．，，故正確．，不正確．故選：．三.填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．【分析】利用，展開，分別求出，代入中求解即可．【解答】解：，，均為銳角，，，，，，．故答案為：．14．【分析】利用已知條件求出數(shù)量積中的兩個向量，然后利用向量的數(shù)量積的運算法則求解即可．【解答】解：正三角形的邊長為3，，，可得，，則．故答案為：．15．【分析】由中國象棋中馬的走法規(guī)則可知共3種走法，而要判斷能否從任一交叉點出發(fā)，走到棋盤上的其他任何一個交叉點，只需判斷能否從該交叉點走到相鄰點即可，由此容易得出結(jié)論．【解答】解：由馬走“日”可知，若馬從出發(fā)，可到，，任意一點，共3種可能走法；要判斷能否從任一交叉點出發(fā)，走到棋盤上的其他任何一個交叉點，只需判斷能否從該交叉點走到相鄰點即可，如圖，若從出發(fā)，則可通過先到，再到，再到，說明可以走到相鄰的點，故能從任一交叉點出發(fā)，走到棋盤上的其他任何一個交叉點．故答案為：3；能．16．【分析】根據(jù)所給的復數(shù)是一個純虛數(shù)，得到實部為0，且虛部不為0，得到關(guān)于角的正弦和余弦的要求，可解結(jié)果．【解答】解：復數(shù)是純虛數(shù)，，，，，，故答案為：四、解答題（共6小題，滿分70分）17．【分析】選①時，利用三角形的內(nèi)角和定理與正弦定理，即可求得三角形的面積．選②時，利用正弦、余弦定理，也可以求出三角形的面積．選③時，利用余弦定理求出，再計算的面積．【解答】解：選①，，，，，由正弦定理得，．選②，由正弦定理得．，．又，，，．選③，，由余弦定理得，即，解得或（舍去）．又，的面積．18．【分析】（1）若復數(shù)為實數(shù)，則虛部為0，由此可求得的值；（2）若復數(shù)為虛數(shù)，則虛部不為0，由此可求得的值；（3）若復數(shù)為純虛數(shù)，則實部為0，且虛部不為0，由此可求得的值．【解答】解：（1）若復數(shù)為實數(shù)，則虛部為0，即，解得或，又當時，實部沒有意義，故；（2）若復數(shù)為虛數(shù)，則虛部不為0，即，解得且；（3）若復數(shù)為純虛數(shù)，則實部為0，且虛部不為0，即，解得或．19．【分析】（Ⅰ）根據(jù)條件，利用平面和平面垂直的性質(zhì)定理可得平面．（Ⅱ）根據(jù)已知條件判斷為平行四邊形，故有，再利用直線和平面平行的判定定理證得平面．（Ⅲ）先證明為矩形，可得①．現(xiàn)證平面，可得，再由三角形中位線的性質(zhì)可得，從而證得②．結(jié)合①②利用直線和平面垂直的判定定理證得平面，再由平面和平面垂直的判定定理證得平面平面．【解答】解：（Ⅰ），平面平面，平面平面，由平面和平面垂直的性質(zhì)定理可得平面． （Ⅱ），，，和分別是和的中點，故四邊形為平行四邊形，故有．又平面，不在平面內(nèi)，故有平面． （Ⅲ）平行四邊形中，由可得，為矩形，故有①．由平面，可得，再由可得平面，平面，故有．再由、分別為和的中點，可得，②．而和是平面內(nèi)的兩條相交直線，故有平面．由于平面，平面平面．20．【分析】（1）只要證明，即可得出．（2）在方向上的投影向量．（3）根據(jù)，可得由這四個點作為頂點的四邊形的面積．【解答】解：（1）證明：，，，，，，，．，．（2），，，，，，在方向上的投影向量，．（3），，，由這四個點作為頂點的四邊形的面積．21．【分析】（Ⅰ）利用向量的數(shù)量積公式求出的解析式，然后求值；（Ⅱ）由正弦定理將邊角的混合等式化為角的等式，利用三角函數(shù)公式化簡求出角的范圍，然后求三角函數(shù)值的范圍．【解答】解：（Ⅰ）向量，，，，記，因為，所以，所以，（Ⅱ）因為，由正弦定理得所以所以，，所以，又，所以，則，即，又，則，得，所以，又，所以的取值范圍．22．【分析】（1），為半圓上任意一點，那么是直角三角形，．三角形，三角形，兩個三角之和，可得四邊形面積，利用三角函數(shù)的有界限，即可求解最大值．（2）在中，利用正弦定理，把用三角函數(shù)關(guān)系式表示出來，利用三角函數(shù)的有界限，即可求解最大值．【解答】解：（1）由題意，在中，，三角形，三角形四邊形的面積為．，當，即時，四邊形的面積最大，故得當，四邊形的面積最大且最大值為．（2）中，．中，即，，即時，有最大值．故得當時，有最大值3．聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2022/3/11 19:20:01；用戶：高中數(shù)學6；郵箱：tdjyzx38@xyh.com；學號：42412367

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