?2020-2021學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷
一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求).
1．（5分）　　
A． B． C． D．
2．（5分）已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，則該正四棱錐的體積等于　　
A． B． C． D．4
3．（5分）已知復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位），則　　
A．5 B． C．3 D．
4．（5分）設(shè)每個(gè)工作日甲、乙兩人需使用某種設(shè)備的概率分別為0.4，0.5，各人是否需使用設(shè)備相互獨(dú)立，則同一工作日至少1人需使用這種設(shè)備的概率為　　
A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9
5．（5分）設(shè)、是兩條不同的直線，、、是三個(gè)不同的平面．下列命題中正確的命題是　　
A．若，，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，，則
6．（5分）在等邊中，，向量在向量上的投影向量為　　
A． B． C． D．
7．（5分）已知，，則　　
A．1 B． C．7 D．
8．（5分）已知中，，其外接圓半徑為2，若，則角的最大值為　　
A． B． C． D．
二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分)
9．（5分）居民消費(fèi)支出是指居民用于滿足家庭日常生活消費(fèi)需要的全部支出．消費(fèi)支出包括食品煙酒、衣著、居住、生活用品及服務(wù)、交通通信、教育文化娛樂、醫(yī)療保健和其他用品及服務(wù)八大類．國(guó)家統(tǒng)計(jì)局采用分層、多階段、與人口規(guī)模大小成比例的概率抽樣方法，在全國(guó)31個(gè)?。▍^(qū)、市）的1800個(gè)縣（市、區(qū)）隨機(jī)抽選16萬個(gè)居民家庭作為調(diào)查戶．國(guó)家統(tǒng)計(jì)局公布的我國(guó)2019年和2020年全國(guó)居民人均消費(fèi)支出及構(gòu)成，如圖1和圖2所示，則下列說法中正確的有　　

A．2020年全國(guó)居民人均消費(fèi)支出中教育文化娛樂這一類的支出高于2019年
B．2020年全國(guó)居民人均消費(fèi)支出中醫(yī)療保健這一類所占比重低于2019年
C．2019年和2020年全國(guó)居民人均居住消費(fèi)在八大類中所占比重最大
D．2020年全國(guó)居民人均消費(fèi)支出低于2019年全國(guó)居民人均消費(fèi)支出
10．（5分）已知實(shí)數(shù)，，和虛數(shù)單位，定義：復(fù)數(shù)為單位復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)為伴隨復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)為目標(biāo)復(fù)數(shù)，目標(biāo)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別為實(shí)部函數(shù)和虛部函數(shù)，則正確的說法有　　
A．
B．
C．若，則，
D．若，且，則銳角的正弦值
11．（5分）設(shè)，，，是兩兩不同的四個(gè)點(diǎn)，若，，且，則下列說法正確的有　　
A．點(diǎn)可能是線段的中點(diǎn)
B．點(diǎn)可能是線段的中點(diǎn)
C．點(diǎn)，不可能同時(shí)在線段上
D．點(diǎn)，可能同時(shí)在線段的延長(zhǎng)線上
12．（5分）已知長(zhǎng)方體中，，，是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的有　　
A．當(dāng)與重合時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為
B．三棱錐的體積不變
C．直線與平面所成角不變
D．的最小值為3
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13．（5分）數(shù)據(jù)9，8，7，6，5，4，3，2，1的40百分位數(shù)是 　?。?br /> 14．（5分）已知平行四邊形中，，，，、分別為、的中點(diǎn)，則　?。?br /> 15．（5分）如圖，為測(cè)量山高，選擇和另一座山的山頂為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)．從點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角，點(diǎn)的仰角以及；從點(diǎn)測(cè)得，已知山高，則山高　?。?br />
16．（5分）甲、乙兩班參加了同一學(xué)科的考試，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成績(jī)?yōu)?6分，方差為96分；乙班的平均成績(jī)?yōu)?5分，方差為60分．那么甲、乙兩班全部90名學(xué)生的平均成績(jī)是 　　分，方差是 　　分．
四、解答題（本大題共6小題，計(jì)70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（10分）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，．
（1）求；
（2）在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為條件，然后求的面積．
18．（12分）正方體中，為棱中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面．

19．（12分）已知是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根．
（1）求實(shí)數(shù)，的值；
（2）設(shè)方程的另一根為，復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的向量分別是．若向量與垂直，求實(shí)數(shù)的值．
20．（12分）某大型連鎖超市隨機(jī)抽取了100位客戶，對(duì)去年到該超市消費(fèi)情況進(jìn)行調(diào)查．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這100位客戶去年到該超市消費(fèi)金額（單位：萬元）均在區(qū)間，內(nèi)，按，，，，，，，，，，，分成6組，其頻率分布直方圖如圖所示．
（1）求該頻率分布直方圖中的值，并求出這100位客戶最近一年到該超市消費(fèi)金額的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在范圍的組中值作代表）；
（2）為了解顧客需求，該超市從消費(fèi)金額在區(qū)間，和，內(nèi)的客戶中，采用分層抽樣的方法抽取5人進(jìn)行電話訪談，再?gòu)脑L談的5人中隨機(jī)選擇2人作為“幸運(yùn)客戶”，求幸運(yùn)客戶中恰有1人來自區(qū)間，的概率．

21．（12分）如圖，直角梯形中，，，，，點(diǎn)在上，且．沿將翻折到處，使得平面平面．
（1）證明：平面；
（2）求二面角的正切值．

22．（12分）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．
（1）若，求的最大值；
（2）若為鈍角，求：
①的取值范圍；
②的取值范圍．
（參考公式：

2020-2021學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求).
1．（5分）　　
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得，，再結(jié)合正弦函數(shù)的兩角和公式，即可求解．
【解答】解：，，
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，以及正弦函數(shù)的兩角和公式，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題．
2．（5分）已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，則該正四棱錐的體積等于　　
A． B． C． D．4
【分析】由已知求出正四棱錐的高，再由棱錐體積公式求解．
【解答】解：如圖，

連接、，設(shè)與相交于，連接，則為正四棱錐的高，
由正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，得，
又側(cè)棱長(zhǎng)，高，
該正四棱錐的體積等于，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱錐體積的求法，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
3．（5分）已知復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位），則　　
A．5 B． C．3 D．
【分析】根據(jù)已知條件，運(yùn)用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)模的公式，即可求解．
【解答】解：，
，
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模的公式，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題．
4．（5分）設(shè)每個(gè)工作日甲、乙兩人需使用某種設(shè)備的概率分別為0.4，0.5，各人是否需使用設(shè)備相互獨(dú)立，則同一工作日至少1人需使用這種設(shè)備的概率為　　
A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9
【分析】根據(jù)題意，設(shè)甲使用設(shè)備為事件，乙使用設(shè)備為事件，由此求出甲乙都沒有使用設(shè)備的概率，由對(duì)立事件的概率性質(zhì)分析可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)甲使用設(shè)備為事件，乙使用設(shè)備為事件，
則（A），（B），則有，，
甲乙都沒有使用設(shè)備的概率，
則同一工作日至少1人需使用這種設(shè)備的概率；
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查相互獨(dú)立事件和對(duì)立事件概率的計(jì)算，涉及互斥事件、對(duì)立事件的區(qū)別，屬于基礎(chǔ)題．
5．（5分）設(shè)、是兩條不同的直線，、、是三個(gè)不同的平面．下列命題中正確的命題是　　
A．若，，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，，則
【分析】由兩平行平面中兩直線的位置關(guān)系判定；由垂直于同一平面的兩平面的位置關(guān)系判定；由平行于同一平面的兩直線的位置關(guān)系判定；由直線與平面垂直的性質(zhì)判斷．
【解答】解：若，，，則或與異面，故錯(cuò)誤；
若，，則或與相交，故錯(cuò)誤；
若，，則或與相交或與異面，故錯(cuò)誤；
若，，則，又，則，故正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，考查空間想象能力與思維能力，是基礎(chǔ)題．
6．（5分）在等邊中，，向量在向量上的投影向量為　　
A． B． C． D．
【分析】由已知可得，，然后結(jié)合向量的基本定理及向量的數(shù)量積的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：因?yàn)?，所以，則，
設(shè)該等邊三角形的邊長(zhǎng)為，
所以，，
則向量在向量上的投影為，
故向量在向量上的投影向量為，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面向量的基本定理及向量數(shù)量積的性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題
7．（5分）已知，，則　　
A．1 B． C．7 D．
【分析】根據(jù)已知條件，先運(yùn)用二倍角公式，可得，再結(jié)合正切函數(shù)的兩角差公式，即可求解．
【解答】解：，，
，
又，
，
，
，
，解得．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)的二倍角公式，以及正切函數(shù)的兩角差公式，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題．
8．（5分）已知中，，其外接圓半徑為2，若，則角的最大值為　　
A． B． C． D．
【分析】由條件可得為正三角形，點(diǎn)與點(diǎn)在同側(cè)，則有，由正弦定理得，即有，設(shè)，整理，進(jìn)而可得的取值范圍．
【解答】解：如圖，設(shè)的外接圓圓心為，
因?yàn)榈倪?，其外接圓半徑為2，
所以為正三角形，
又因?yàn)?，所以點(diǎn)與點(diǎn)在同側(cè)，則有，
根據(jù)正弦定理，即，
則，
設(shè)，
則


，
即，
因?yàn)?，所以?br /> 則，
所以，
則的最大值為．
故選：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，涉及正弦定理的應(yīng)用，圓的相關(guān)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化思想等，屬于中檔偏難題．
二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分)
9．（5分）居民消費(fèi)支出是指居民用于滿足家庭日常生活消費(fèi)需要的全部支出．消費(fèi)支出包括食品煙酒、衣著、居住、生活用品及服務(wù)、交通通信、教育文化娛樂、醫(yī)療保健和其他用品及服務(wù)八大類．國(guó)家統(tǒng)計(jì)局采用分層、多階段、與人口規(guī)模大小成比例的概率抽樣方法，在全國(guó)31個(gè)?。▍^(qū)、市）的1800個(gè)縣（市、區(qū)）隨機(jī)抽選16萬個(gè)居民家庭作為調(diào)查戶．國(guó)家統(tǒng)計(jì)局公布的我國(guó)2019年和2020年全國(guó)居民人均消費(fèi)支出及構(gòu)成，如圖1和圖2所示，則下列說法中正確的有　　

A．2020年全國(guó)居民人均消費(fèi)支出中教育文化娛樂這一類的支出高于2019年
B．2020年全國(guó)居民人均消費(fèi)支出中醫(yī)療保健這一類所占比重低于2019年
C．2019年和2020年全國(guó)居民人均居住消費(fèi)在八大類中所占比重最大
D．2020年全國(guó)居民人均消費(fèi)支出低于2019年全國(guó)居民人均消費(fèi)支出
【分析】觀察我國(guó)2019年和2020年全國(guó)居民人均消費(fèi)支出及構(gòu)成可判斷、、，由支出與比重可求出2020、2019年全國(guó)居民人均消費(fèi)支出，從而判斷．
【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)，2020年全國(guó)居民人均消費(fèi)支出中教育文化娛樂的支出為2032元，
2019年全國(guó)居民人均消費(fèi)支出中教育文化娛樂的支出為2513元，故錯(cuò)，
對(duì)于選項(xiàng)，2020年全國(guó)居民人均消費(fèi)支出中醫(yī)療保健這一類所占比重為，
2019年全國(guó)居民人均消費(fèi)支出中醫(yī)療保健這一類所占比重為，故對(duì)，
對(duì)于選項(xiàng)，2019年和2020年全國(guó)居民人均食品煙酒消費(fèi)在八大類中所占比重最大，故錯(cuò)，
對(duì)于選項(xiàng)，2020年全國(guó)居民人均消費(fèi)支出約為，
2019年全國(guó)居民人均消費(fèi)支出約為，故正確，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)據(jù)分析能力，關(guān)鍵在于從圖中正確提取信息，屬于基礎(chǔ)題．
10．（5分）已知實(shí)數(shù)，，和虛數(shù)單位，定義：復(fù)數(shù)為單位復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)為伴隨復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)為目標(biāo)復(fù)數(shù)，目標(biāo)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別為實(shí)部函數(shù)和虛部函數(shù)，則正確的說法有　　
A．
B．
C．若，則，
D．若，且，則銳角的正弦值
【分析】利用題中給出的信息，即可得到和，從而可判斷選項(xiàng)，，利用兩角和差公式化簡(jiǎn)，從而得到和的值，即可判斷選項(xiàng)，利用輔助角公式化簡(jiǎn)的解析式，利用角的變換以及三角恒等變換，求解，即可判斷選項(xiàng)．
【解答】解：因?yàn)椋?br /> 所以，，
故選項(xiàng)正確，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?br /> 所以，，
故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?br /> 所以，
又因?yàn)闉殇J角，則，
所以，
故，
故選項(xiàng)正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了新定義問題，涉及了復(fù)數(shù)的定義、兩角和差公式、輔助角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．
11．（5分）設(shè)，，，是兩兩不同的四個(gè)點(diǎn)，若，，且，則下列說法正確的有　　
A．點(diǎn)可能是線段的中點(diǎn)
B．點(diǎn)可能是線段的中點(diǎn)
C．點(diǎn)，不可能同時(shí)在線段上
D．點(diǎn)，可能同時(shí)在線段的延長(zhǎng)線上
【分析】每個(gè)選項(xiàng)結(jié)合進(jìn)行分析，通過，是否有解，可解決此題．
【解答】解：若點(diǎn)可能是線段的中點(diǎn)，則，代入得，無解，錯(cuò)；
若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，代入得，解得，有解，對(duì)．
當(dāng)時(shí)滿足，此時(shí)，都與重合，與已知矛盾，對(duì)；
若點(diǎn)，同時(shí)在線段延長(zhǎng)線上，則，，則，這與矛盾，錯(cuò)．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量基本定理，考查數(shù)學(xué)抽象能力及推理能力，屬于中檔題．
12．（5分）已知長(zhǎng)方體中，，，是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的有　　
A．當(dāng)與重合時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為
B．三棱錐的體積不變
C．直線與平面所成角不變
D．的最小值為3
【分析】利用三棱錐與長(zhǎng)方體有相同的外接球，由長(zhǎng)方體的體對(duì)角線求出直徑，由球的表面積公式求解即可判斷選項(xiàng)，由平面，結(jié)合等體積法，即可判斷選項(xiàng)，由平面，結(jié)合的長(zhǎng)度是變化的，即可判斷選項(xiàng)，把矩形和△放置在同一平面內(nèi)，當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，求解即可判斷選項(xiàng)．
【解答】解：對(duì)于，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，三棱錐即為三棱錐，
又因?yàn)槿忮F與長(zhǎng)方體有相同的外接球，
所以外接球的直徑，
故外接球的表面積為，
故選項(xiàng)正確；
因?yàn)椋制矫?，平面?br /> 所以平面，
由等體積法可得，，
所以三棱錐的體積不變，
故選項(xiàng)正確；
對(duì)于，因?yàn)槠矫妫?br /> 所以點(diǎn)到平面的距離不變，
但的長(zhǎng)度由的長(zhǎng)增加到的長(zhǎng)度，
即的長(zhǎng)度是變化的，
所以直線與平面所成的角是變化的，
故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于，把矩形和△放置在同一平面內(nèi)，如圖所示，
其中，，，則，
連接交于點(diǎn)，
當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，
則，
故，所以，
由余弦定理可得，，
所以，即的最小值為3，
故選項(xiàng)正確．
故選：．

【點(diǎn)評(píng)】本題以命題的真假判斷為載體考查了空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，空間角的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等，屬于中檔題．
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13．（5分）數(shù)據(jù)9，8，7，6，5，4，3，2，1的40百分位數(shù)是 　4　．
【分析】根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算方法計(jì)算即可．
【解答】解：，可知3.6的比鄰整數(shù)是4，
數(shù)據(jù)9，8，7，6，5，4，3，2，1從小到大排列為：1，2，3，4，5，6，7，8，9，
可知其40百分位數(shù)是4．
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查百分位數(shù)計(jì)算方法，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
14．（5分）已知平行四邊形中，，，，、分別為、的中點(diǎn)，則　41　．
【分析】可畫出圖形，根據(jù)條件即可得出，，表示出，然后根據(jù)，，，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可．
【解答】解：如圖，
四邊形是平行四邊形，，分別是，的中點(diǎn)，
，，
則




故答案為：41．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量加法和數(shù)乘的幾何意義，相等向量的定義，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
15．（5分）如圖，為測(cè)量山高，選擇和另一座山的山頂為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)．從點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角，點(diǎn)的仰角以及；從點(diǎn)測(cè)得，已知山高，則山高　?。?br />
【分析】由題意，通過解可先求出的值，解由正弦定理可求的值，在中，由，，從而可求得的值．
【解答】解：在中，，，所以．
在中，，，從而，
由正弦定理得，，因此．
在中，，，得．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題．
16．（5分）甲、乙兩班參加了同一學(xué)科的考試，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成績(jī)?yōu)?6分，方差為96分；乙班的平均成績(jī)?yōu)?5分，方差為60分．那么甲、乙兩班全部90名學(xué)生的平均成績(jī)是 　80　分，方差是 　　分．
【分析】由已知數(shù)據(jù)代入總體平均數(shù)及總體方差公式計(jì)算即可．
【解答】解：甲、乙兩班全部90名學(xué)生的平均成績(jī)是（分；
甲、乙兩班全部90名學(xué)生的方差是（分．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)據(jù)的平均分及方差算法，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
四、解答題（本大題共6小題，計(jì)70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（10分）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，．
（1）求；
（2）在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為條件，然后求的面積．
【分析】（1）根據(jù)已知條件，運(yùn)用三角函數(shù)的兩角公式，可得，再結(jié)合角的范圍，即可求解．
（2）選①，運(yùn)用正弦定理，可得，即可得，再結(jié)合正弦定理和正弦函數(shù)的兩角和公式，即可求解，選②，根據(jù)已知條件，運(yùn)用正弦定理，可得，再結(jié)合正弦定理和正弦函數(shù)的兩角和公式，即可求解．
【解答】解：（1），
，
，
，
，
，
．
（2）選①，
，
由正弦定理，可得，
，
，即，
又，
，
，，，
由正弦定理，
，
，
，
，
選②，
，
由余弦定理可得，，
，
，
，，，
由正弦定理，
，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，考查了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．
18．（12分）正方體中，為棱中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面．

【分析】（1）設(shè)與相交于點(diǎn)，連接，易知，再由線面平行的判定定理，得證；
（2）由，，知平面，再由面面垂直的判定定理，得證．
【解答】（1）證明：設(shè)與相交于點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，
為的中點(diǎn)，，
又平面，平面，
平面．

（2）證明：正方形，，
由正方體的性質(zhì)知，平面，
，
又，、平面，
平面，
平面，
平面平面．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中線與面的位置關(guān)系，熟練掌握線面平行的判定定理，線面、面面垂直的判定定理或性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感、推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．
19．（12分）已知是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根．
（1）求實(shí)數(shù)，的值；
（2）設(shè)方程的另一根為，復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的向量分別是．若向量與垂直，求實(shí)數(shù)的值．
【分析】（1）由實(shí)系數(shù)一元二次方程虛根成對(duì)原理及根與系數(shù)的關(guān)系求解與的值；
（2）求出的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得與的坐標(biāo)，再由向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系列式求得實(shí)數(shù)的值．
【解答】解：（1）是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，
是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的另一個(gè)復(fù)數(shù)根，
由根與系數(shù)的關(guān)系可得，即；
．
，；
（2）由（1）知，，，
則，，
由與垂直，可得，
解得．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查實(shí)系數(shù)一元二次方程虛根成對(duì)原理的應(yīng)用，考查向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．
20．（12分）某大型連鎖超市隨機(jī)抽取了100位客戶，對(duì)去年到該超市消費(fèi)情況進(jìn)行調(diào)查．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這100位客戶去年到該超市消費(fèi)金額（單位：萬元）均在區(qū)間，內(nèi)，按，，，，，，，，，，，分成6組，其頻率分布直方圖如圖所示．
（1）求該頻率分布直方圖中的值，并求出這100位客戶最近一年到該超市消費(fèi)金額的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在范圍的組中值作代表）；
（2）為了解顧客需求，該超市從消費(fèi)金額在區(qū)間，和，內(nèi)的客戶中，采用分層抽樣的方法抽取5人進(jìn)行電話訪談，再?gòu)脑L談的5人中隨機(jī)選擇2人作為“幸運(yùn)客戶”，求幸運(yùn)客戶中恰有1人來自區(qū)間，的概率．

【分析】（1）由頻率分布直方圖面積之和為1求解，再由加權(quán)平均數(shù)公式求平均數(shù)即可，
（2）先由分層抽樣的方法確定消費(fèi)金額在區(qū)間，和，內(nèi)的客戶的人數(shù)，再由古典概率模型求解即可．
【解答】解：（1），，
，
這100位客戶最近一年到該超市消費(fèi)金額的平均數(shù)為0.466萬元，
（2）采用分層抽樣的方法抽取5人進(jìn)行電話訪談，則從消費(fèi)金額在區(qū)間，和，內(nèi)的客戶中分別抽取2人，3人；
記區(qū)間，內(nèi)的客戶為，，區(qū)間，內(nèi)的客戶為1，2，3，
則樣本空間，，，，，，，12，13，，，共10種情況，
記 “幸運(yùn)客戶中恰有1人來自區(qū)間，”，則共6種情況，
故（A），
即幸運(yùn)客戶中恰有1人來自區(qū)間，的概率為0.6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，同時(shí)考查了古典概率模型與分層抽樣的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
21．（12分）如圖，直角梯形中，，，，，點(diǎn)在上，且．沿將翻折到處，使得平面平面．
（1）證明：平面；
（2）求二面角的正切值．

【分析】（1）先證明為矩形，從而得到，則，再利用面面垂直的性質(zhì)定理，可證平面；
（2）過作，垂足為，連結(jié)，利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理證明，，由二面角的平面角的定義可知，即為二面角的平面角，在三角形中，利用邊角關(guān)系求解即可．
【解答】（1）證明：因?yàn)椋?，所以，?br /> 又因?yàn)?，所以為平行四邊形?br /> 又，所以為矩形，
則，故，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面；
（2）解：在平面內(nèi)，過作，垂足為，連結(jié)，
由（1）可知，平面，
又平面，所以，
因?yàn)椋?，平面，?br /> 則平面，
又平面，所以，
又因?yàn)椋?br /> 則即為二面角的平面角，
由（1）可知，，，，
又，
所以，
則，
又在中，，，
所以，
故二面角的正切值為．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面垂直的判定以及二面角的求解，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直的判定定理，二面角的平面角的定義，考查了邏輯推理能力與運(yùn)算能力，屬于中檔題．
22．（12分）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．
（1）若，求的最大值；
（2）若為鈍角，求：
①的取值范圍；
②的取值范圍．
（參考公式：
【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合余弦定理，即可求解．
（2）由已知條件，可推得，成立，再結(jié)合均值不等式，即可求解．
（3）根據(jù)已知條件，運(yùn)用正弦定理，可得，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換，可得，再根據(jù)的取值范圍，即可求解．
【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，
由余弦定理定理可得，，
，
的最大值為．
（2）由三角形的性質(zhì)，可得，
又，
，
是鈍角，
存在，，使得，
，
，成立，
，
，
，
（3），
由正弦定理，可得，
，
，
，
，
由三角函數(shù)的二倍角可得，，
，
，
，
，
的取值范圍為．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正余弦定理，以及三角函數(shù)的恒等變換，需要學(xué)生較強(qiáng)的綜合能力，且本題計(jì)算量大，屬于難題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布
日期：2021/8/23 17:46:48；用戶：高中數(shù)學(xué)12；郵箱：sztdjy76@xyh.com；學(xué)號(hào)：26722394

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