?2020-2021學(xué)年江蘇省揚州中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，計40分.每小題所給的A、B、C、D四個結(jié)論中，只有一個是正確的.）
1．（5分）集合，2，的真子集共有　　
A．5 個 B．6 個 C．7 個 D．8 個
2．（5分）已知，，，則　　
A． B． C． D．
3．（5分）已知函數(shù)滿足，則的解析式為　　
A． B．
C． D．
4．（5分）函數(shù)的值域是　　
A． B．， C．， D．，
5．（5分）函數(shù)的圖象大致是　　
A． B．
C． D．
6．（5分）若，，且，則下列不等式中恒成立的是　　
A． B． C． D．
7．（5分）已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
8．（5分）設(shè)平行于軸的直線分別與函數(shù)和的圖象相交于點，，若函數(shù)的圖象上存在點，使得為等邊三角形，則這樣的直線　　

A．不存在 B．有且只有一條 C．至少有兩條 D．有無數(shù)條
二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，有選錯的得0分，部分選對得3分.）
9．（5分）若，，，，則下列不等式正確的是　　
A． B．
C． D．
10．（5分）下列敘述中正確的是　　
A．“”是“”的充分不必要條件
B．函數(shù)的最小值是3
C．在中，“”是“為直角三角形”的充要條件
D．“”是“方程有一個正根和一個負(fù)根”的必要不充分條件
11．（5分）下列說法正確的是　　
A．若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則解析式為
B．若函數(shù)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減
C．冪函數(shù)始終經(jīng)過點和
D．若函數(shù)，則對于任意的，，有
12．（5分）般地，若函數(shù)的定義域為，，值域為，，則稱，為的“倍跟隨區(qū)間”；特別地，若函數(shù)的定義域為，，值域也為，，則稱，為的“跟隨區(qū)間”．下列結(jié)論正確的是　　
A．若，為的跟隨區(qū)間，則
B．函數(shù)不存在跟隨區(qū)間
C．若函數(shù)存在跟隨區(qū)間，則
D．二次函數(shù)存在“3倍跟隨區(qū)間”
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，多空題，第一空2分，第二空3分，共20分.）
13．（5分）命題“，”的否定是　　．
14．（5分）函數(shù)的圖象恒過定點　?。?br /> 15．（5分）已知定義在上的奇函數(shù)，則　??；不等式的解集為　?。?br /> 16．（5分）已知，，且，則的最大值為　?。?br /> 四、解答題（本大題共6小題，計70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）
17．已知：不等式的解集為集合，不等式的解集為集合．
（1）求集合和集合；
（2）求．
18．化簡求值．
（1）；
（2）．
19．已知：函數(shù)的定義域為集合，函數(shù)在，上的值域為集合．
（1）若，求；
（2）設(shè)，，若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍．
20．為了加強“平安校園”建設(shè)，有效遏制涉校案件的發(fā)生，保障師生安全，某校決定在學(xué)校門口利用一側(cè)原有墻體，建造一間墻高為3米，底面為24平方米，且背面靠墻的長方體形狀的校園警務(wù)室，由于此警務(wù)室的后背靠墻，無需建造費用，甲工程隊給出的報價為：屋子前面新建墻體的報價為每平方米400元，左右兩面新建墻體報價為每平方米300元，屋頂和地面以及其他報價共計14400元，設(shè)屋子的左右兩面墻的長度均為米．
（1）當(dāng)左右兩面墻的長度為多少時，甲工程隊報價最低？并求出最低報價；
（2）現(xiàn)有乙工程隊也要參與此警務(wù)室的建造競標(biāo)，其給出的整體報價為元，若無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊都能競標(biāo)成功，試求的取值范圍．
21．設(shè)函數(shù)且是定義域為的奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)的值；
（2）若（1），判斷函數(shù)的單調(diào)性，并簡要說明理由；
（3）在（2）的條件下，若對任意的，，存在，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．
22．設(shè)函數(shù)．
（1）當(dāng)，時，求方程的解；
（2）若為常數(shù)，且方程在區(qū)間，上有解，求實數(shù)的取值范圍．

2020-2021學(xué)年江蘇省揚州中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，計40分.每小題所給的A、B、C、D四個結(jié)論中，只有一個是正確的.）
1．（5分）集合，2，的真子集共有　　
A．5 個 B．6 個 C．7 個 D．8 個
【分析】若集合中有個元素，則集合中有個真子集．
【解答】解：集合，2，的真子集共有：
個．
故選：．
【點評】本題考查集合的真子集的個數(shù)的求法，考查真子集定義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．
2．（5分）已知，，，則　　
A． B． C． D．
【分析】由題意利用指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性和特殊點，判斷、、的大小關(guān)系．
【解答】解：函數(shù)在上是減函數(shù)，，
，即．
又函數(shù)在上是增函數(shù)，，
，即．
綜上，可得，
故選：．
【點評】本題主要考查指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性和特殊點，屬于基礎(chǔ)題．
3．（5分）已知函數(shù)滿足，則的解析式為　　
A． B．
C． D．
【分析】利用換元法，令，從而化簡可得從而求解．
【解答】解：函數(shù)滿足，
令，則：，
代入函數(shù)可得：，
則的解析式為：，
故選：．
【點評】本題考查了函數(shù)解析式的求法，利用了換元法，屬于基礎(chǔ)題．
4．（5分）函數(shù)的值域是　　
A． B．， C．， D．，
【分析】本題為一道基礎(chǔ)題，只要注意利用的范圍就可以．
【解答】解：函數(shù)，
，
所以原函數(shù)的值域是，，
故選：．
【點評】注意利用．
5．（5分）函數(shù)的圖象大致是　　
A． B．
C． D．
【分析】本題直接根據(jù)函數(shù)即可求出．
【解答】解：因為，，
所以，
故排除，
故選：．
【點評】本題考查了函數(shù)圖象的識別，屬于基礎(chǔ)題．
6．（5分）若，，且，則下列不等式中恒成立的是　　
A． B． C． D．
【分析】對于、、舉出反例即可，利用基本不等式即可證明是正確的．
【解答】解：，，且，，，當(dāng)且僅當(dāng)，，即時取等號．
故選：．
【點評】熟練掌握基本不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．（5分）已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【分析】由函數(shù)上上的增函數(shù)可得函數(shù)，設(shè)，，則可知函數(shù)在時單調(diào)遞增，函數(shù)在單調(diào)遞增，且（1）（1），從而可求
【解答】解：函數(shù)是上的增函數(shù)
設(shè)，
由分段函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在，單調(diào)遞增，函數(shù)在單調(diào)遞增，且（1）（1）


解可得，
故選：．
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，反比例函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，主要分段函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用 中，不要漏掉（1）（1）
8．（5分）設(shè)平行于軸的直線分別與函數(shù)和的圖象相交于點，，若函數(shù)的圖象上存在點，使得為等邊三角形，則這樣的直線　　

A．不存在 B．有且只有一條 C．至少有兩條 D．有無數(shù)條
【分析】設(shè)方程為，根據(jù)是等邊三角形計算的值，得出結(jié)論．
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)直線的方程為，
則，，，，，
設(shè)，，
是等邊三角形，
點到直線的距離為，
，
，
又，

，
解得，
故而符合條件的直線只有1條．
故選：．

【點評】本題考查了指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了指數(shù)，對數(shù)的運算問題，屬于中檔題．
二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，有選錯的得0分，部分選對得3分.）
9．（5分）若，，，，則下列不等式正確的是　　
A． B．
C． D．
【分析】取特殊值判斷，，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)判斷，即可．
【解答】解：取，，，顯然，錯誤；
對于，故，，正確，
故選：．
【點評】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，考查特殊值法的應(yīng)用，是一道常規(guī)題．
10．（5分）下列敘述中正確的是　　
A．“”是“”的充分不必要條件
B．函數(shù)的最小值是3
C．在中，“”是“為直角三角形”的充要條件
D．“”是“方程有一個正根和一個負(fù)根”的必要不充分條件
【分析】根據(jù)空集性質(zhì)判斷，根據(jù)判斷，根據(jù)勾股定理及斜邊判斷，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系判斷．
【解答】解：對于，若，則，若，則是的子集，但不一定是空集，
“”是“”的充分不必要條件，故正確；
對于，，故3不是的最小值，故錯誤；
對于，在中，若，則是直角三角形，
若是直角三角形，則斜邊不一定是，故不一定成立，
故”是“為直角三角形”的充分不必要條件，故錯誤；
對于，若，不妨設(shè)，則方程沒有正根，
若方程有一個正根和一個負(fù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可知，故，
“”是“方程有一個正根和一個負(fù)根”的必要不充分條件，故正確．
故選：．
【點評】本題考查充分必要條件判斷，命題真假判斷，屬于基礎(chǔ)題．
11．（5分）下列說法正確的是　　
A．若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則解析式為
B．若函數(shù)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減
C．冪函數(shù)始終經(jīng)過點和
D．若函數(shù)，則對于任意的，，有
【分析】直接利用函數(shù)的解析式和函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：對于選項：冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則函數(shù)的解析式為，解得，整理得，故錯誤．
對于選項：函數(shù)，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，故錯誤．
對于選項：冪函數(shù)始終經(jīng)過點和，故正確．
對于選項：由于數(shù)，則對于任意的，，有，根據(jù)凸函數(shù)的性質(zhì)成立，故正確．
故選：．
【點評】本題考查的知識要點：函數(shù)的解析式和函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題型．
12．（5分）般地，若函數(shù)的定義域為，，值域為，，則稱，為的“倍跟隨區(qū)間”；特別地，若函數(shù)的定義域為，，值域也為，，則稱，為的“跟隨區(qū)間”．下列結(jié)論正確的是　　
A．若，為的跟隨區(qū)間，則
B．函數(shù)不存在跟隨區(qū)間
C．若函數(shù)存在跟隨區(qū)間，則
D．二次函數(shù)存在“3倍跟隨區(qū)間”
【分析】．在，上單調(diào)遞增，若（b），可得：，解得，即可得出函數(shù)的跟隨區(qū)間，即可判斷出正誤．2，因此不正確；
．函數(shù)在，上單調(diào)遞增，假設(shè)函數(shù)在上存在“跟隨區(qū)間” ，，則存在兩個不同實數(shù)根．由，化為：，由△，可知：此方程無解，即可判斷出正誤．
．易知在，上單調(diào)遞減，假設(shè)函數(shù)存在跟隨區(qū)間，，．則（a），（b），可得：，
，化為：，令，，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)論．
．二次函數(shù)，可得：函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．假設(shè)函數(shù)存在“3倍跟隨區(qū)間”，則，在，或，上存在兩個不等實數(shù)根．化簡解出即可判斷出結(jié)論．
【解答】解：．在，上單調(diào)遞增，若（b），可得：，解得，，為的跟隨區(qū)間，則，因此不正確；
．函數(shù)在，上單調(diào)遞增，假設(shè)函數(shù)在上存在“跟隨區(qū)間” ，，則存在兩個不同實數(shù)根．由，化為：，由△，可知：此方程無解，
因此在上不存在“跟隨區(qū)間” ，，同理可得：函數(shù)在上也不存在“跟隨區(qū)間，因此正確．
．易知在，上單調(diào)遞減，假設(shè)函數(shù)存在跟隨區(qū)間，，．則（a），（b），可得：，
，化為：，令，，則，時，；，時，；
函數(shù)與函數(shù)有兩個不同交點，則．
．二次函數(shù)，可得：函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．假設(shè)函數(shù)存在“3倍跟隨區(qū)間”，則，在，或，上存在兩個不等實數(shù)根．由，化為：，解得或，函數(shù)存在“3倍跟隨區(qū)間” ，．正確．
綜上可得：只有正確．
故選：．
【點評】本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)、方程與不等式的解法、新定義、反證法，看出來推理能力與計算能力，屬于難題．
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，多空題，第一空2分，第二空3分，共20分.）
13．（5分）命題“，”的否定是　，?。?br /> 【分析】根據(jù)含有量詞的命題的否定即可得到結(jié)論．
【解答】解：命題為全稱命題，則命題“，”的否定是的否定為，，
故答案為：，．
【點評】本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎(chǔ)．
14．（5分）函數(shù)的圖象恒過定點　?。?br /> 【分析】令冪指數(shù)等于零，求得、的值，可得函數(shù)的圖象經(jīng)過定點的坐標(biāo)．
【解答】解：對于函數(shù)，
令，求得，，
可得它的圖象恒過定點，
故答案為：．
【點評】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過定點問題，屬于基礎(chǔ)題．
15．（5分）已知定義在上的奇函數(shù)，則　1??；不等式的解集為　?。?br /> 【分析】先求出（1），利用函數(shù)的奇偶性即可求出的值，利用函數(shù)的奇偶性求出當(dāng)時的解析式，得到，所以在上單調(diào)遞減，又，所以不等式可化為，再分段分別求出的取值范圍，最后求并集即可．
【解答】解：定義在上的奇函數(shù)，
（1），
當(dāng)時，則，
，
又，
，即，
，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，
不等式，，
，
①當(dāng)時，，
，解得，
，
②當(dāng)時，，
，
，
綜上所述，不等式的解集為：，．
故答案為：，．
【點評】本題主要考查了求分段函數(shù)的解析式，考查了函數(shù)的奇偶性，考查了利用函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)值不等式，是中檔題．
16．（5分）已知，，且，則的最大值為　　．
【分析】，所以，即，且，，再結(jié)合基本不等式即可得到的最大值．
【解答】解：依題意，，，且，所以，，且，即，
所以，
因為，，
所以．
當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立．
故答案為：．
【點評】本題考查了基本不等式，考查學(xué)生的計算能力，正確運用基本不等式是關(guān)鍵．本題屬于難題．
四、解答題（本大題共6小題，計70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）
17．已知：不等式的解集為集合，不等式的解集為集合．
（1）求集合和集合；
（2）求．
【分析】（1）解不等式和即可得出集合，；
（2）進(jìn)行交集和補集的運算即可．
【解答】解：（1）解得；解得，
；
（2）或，
．
【點評】本題考查了一元二次不等式和分式不等式的解法，交集和補集的運算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
18．化簡求值．
（1）；
（2）．
【分析】（1）進(jìn)行分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式的運算即可；
（2）進(jìn)行對數(shù)的運算即可．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式．
【點評】考查分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、根式和對數(shù)式的運算．
19．已知：函數(shù)的定義域為集合，函數(shù)在，上的值域為集合．
（1）若，求；
（2）設(shè)，，若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍．
【分析】（1）把代入，利用根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0求解的范圍可得，求解指數(shù)函數(shù)的值域得到，取并集得答案；
（2）利用根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0求解的范圍可得，由（1）可得，再由是的必要不充分條件，得，轉(zhuǎn)化為兩集合端點值間的關(guān)系求解的范圍．
【解答】解：（1）若，由，解得，，，
令，，，則，，
原函數(shù)化為，其對稱軸，則函數(shù)在，為減函數(shù)，
，，
在，的值域為，，則，，
，．
（2）由，可得，即，，
由（1）可知，，
是的必要不充分條件，
，
，
解得，
故的取值范圍為，．
【點評】本題考查函數(shù)定義域的求法，考查充分必要條件的判斷及其應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．
20．為了加強“平安校園”建設(shè)，有效遏制涉校案件的發(fā)生，保障師生安全，某校決定在學(xué)校門口利用一側(cè)原有墻體，建造一間墻高為3米，底面為24平方米，且背面靠墻的長方體形狀的校園警務(wù)室，由于此警務(wù)室的后背靠墻，無需建造費用，甲工程隊給出的報價為：屋子前面新建墻體的報價為每平方米400元，左右兩面新建墻體報價為每平方米300元，屋頂和地面以及其他報價共計14400元，設(shè)屋子的左右兩面墻的長度均為米．
（1）當(dāng)左右兩面墻的長度為多少時，甲工程隊報價最低？并求出最低報價；
（2）現(xiàn)有乙工程隊也要參與此警務(wù)室的建造競標(biāo)，其給出的整體報價為元，若無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊都能競標(biāo)成功，試求的取值范圍．
【分析】（1）設(shè)甲工程隊的報價為元，則，化簡后，利用均值不等式即可求得最小值；
（2）由題意知，對任意的，恒成立，參變分離后，得恒成立，再令，，結(jié)合均值不等式求出的最小值即可得解．
【解答】解：（1）設(shè)甲工程隊的報價為元，而，

，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以當(dāng)左右兩側(cè)墻的長度為4米時，甲工程隊的報價最低，為28800元．
（2）由題意知，對任意的，恒成立，
即，從而恒成立，
令，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以．
【點評】本題考查函數(shù)的實際應(yīng)用，主要利用了均值不等式求函數(shù)的最值，還涉及參變分離法和換元法，考查學(xué)生的邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．
21．設(shè)函數(shù)且是定義域為的奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)的值；
（2）若（1），判斷函數(shù)的單調(diào)性，并簡要說明理由；
（3）在（2）的條件下，若對任意的，，存在，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得；即，驗證即可得答案；
（2）根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分析可得答案；
（3）根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，可以變形為；結(jié)合的范圍，分析可得答案．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，則；
即，解可得，
此時，經(jīng)檢驗是奇函數(shù)．
故；
（2）根據(jù)題意，由（1）的結(jié)論，，（1），分析可得，
則，則函數(shù)在上增函數(shù)；
（3）根據(jù)題意，
，
變形可得；
對任意的，，存在，，則有，則有，
又由，，則，
存在，，則．
【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的性質(zhì)以及應(yīng)用，關(guān)鍵是求出的值，屬于中檔題．
22．設(shè)函數(shù)．
（1）當(dāng)，時，求方程的解；
（2）若為常數(shù)，且方程在區(qū)間，上有解，求實數(shù)的取值范圍．
【分析】（1）原方程即為：，解得即可，
（2）問題即方程在，上有解，分類求出的值域即可．
【解答】解：（1）當(dāng)，時，，所以方程即為：，
解得：或（舍，所以；
（2）方程在區(qū)間，上有解，即方程在，上有解；
設(shè)，
當(dāng)時，則，，，且在，上單調(diào)增，
所以，（2），
則當(dāng)時，原方程有解，則；
當(dāng)時，，
在，上單調(diào)增，在，上單調(diào)減，在，上單調(diào)增；
①當(dāng)，即時，，（2），
則當(dāng)則當(dāng)時，原方程有解，則；
②當(dāng)，即時，，
，
則當(dāng)時，原方程有解，則；
③當(dāng)時，，
（2），，
當(dāng)，即當(dāng)時，，
則當(dāng)時，原方程有解，則；
當(dāng)，即則時，，
則當(dāng)時，原方程有解，則；
綜上，當(dāng)時，實數(shù)的取值范圍為，；
當(dāng)時，實數(shù)的取值范圍為；
當(dāng)時，實數(shù)的取值范圍為，．
【點評】本題考查了分段函數(shù)的值域問題，及分類討論思想，屬于中檔題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布
日期：2021/2/23 14:18:43；用戶：高中數(shù)學(xué)12；郵箱：sztdjy76@xyh.com；學(xué)號：26722394

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