2022-2023學(xué)年江蘇省揚州大學(xué)附屬中學(xué)東部分校高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．點到直線的距離是（  ）.A． B． C． D．【答案】B【分析】利用點到直線的距離公式求距離即可.【詳解】.故選：B.2．圓心為，且經(jīng)過原點的圓的方程是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】待定系數(shù)法直接求解可得.【詳解】因為圓心為，所以設(shè)圓的方程為，因為圓經(jīng)過原點，所以，解得所以所求圓的方程為.故選：A3．直線與圓的位置關(guān)系是(    )A．相交但直線不過圓心 B．相切C．相離 D．相交且直線過圓心【答案】A【分析】要判斷圓與直線的位置關(guān)系，方法是利用點到直線的距離公式求出圓心到此直線的距離，和圓的半徑比較即可得到此圓與直線的位置關(guān)系．【詳解】由圓的方程得到圓心坐標(biāo)為，半徑，直線為，∴到直線的距離，∴圓與直線的位置關(guān)系為相交，又圓心不在直線上，故選：A．4．已知直線和直線互相平行，則a的值是（    ）A．0 B．2 C． D．【答案】B【分析】由兩直線平行直接列方程求解即可.【詳解】由題意可知，因為直線和直線互相平行，所以，解得，故選：B5．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個有趣的數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……，這就是著名的斐波那契數(shù)列，該數(shù)列的前2022項中有（    ）個奇數(shù)A．1012 B．1346 C．1348 D．1350【答案】C【分析】由斐波那契數(shù)列的前幾項分析該數(shù)列的項的奇偶規(guī)律，由此確定該數(shù)列的前2022項中的奇數(shù)的個數(shù).【詳解】由已知可得為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，因為，所以為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，…………所以為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，又故該數(shù)列的前2022項中共有1348個奇數(shù)，故選：C.6．如果方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B．C．或 D．且【答案】D【分析】依題意可得，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】解：因為方程表示焦點在軸上的橢圓，所以，即，解得且；故選：D7．已知等比數(shù)列的公比，且，，則（    ）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項公式列方程求出公比和首項，再結(jié)合通項公式求.【詳解】因為，所以，又，所以，因為，所以，所以，又，所以q＝2，所以，所以.故選：A．8．已知橢圓的上頂點為，左?右焦點分別為，連接并延長交橢圓于另一點，若，則橢圓的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的定義求得，在中，利用余弦定理求得，在中，再次利用余弦定理即可得解.【詳解】解：由題意可得，因為，所以，因為為橢圓的上頂點，所以，則，在中，，在中，，即，所以，即橢圓的離心率為.故選：C. 二、多選題9．下列說法正確的是（    ）A．直線的傾斜角取值范圍是B．若直線的斜率為，則該直線的傾斜角為C．平面直角坐標(biāo)系中的任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率D．直線的傾斜角越大，其斜率就越大【答案】AC【分析】根據(jù)直線傾斜角和斜率關(guān)系判斷各項的正誤.【詳解】A：直線傾斜角范圍為，正確；B：當(dāng)直線斜率為，則該直線的傾斜角為內(nèi)正切值為的角，錯誤；C：平面內(nèi)所有直線都有傾斜角，當(dāng)傾斜角為90°時沒有斜率，正確；D：傾斜角為銳角時斜率為正，傾斜角為鈍角時斜率為負，錯誤.故選：AC10．若橢圓的左、右焦點分別為，，則下列b的取值能使以為直徑的圓與橢圓C有公共點的是（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)給定的條件，確定以為直徑的圓半徑，再結(jié)合橢圓的性質(zhì)列出不等式求出b的范圍作答.【詳解】令橢圓的半焦距為c，則以為直徑的圓的方程為，因圓與橢圓C有公共點，則有，即，解得，顯然選項A，B，C滿足，D不滿足.故選：ABC11．已知圓，則（    ）A．若圓與軸相切，則B．若直線平分圓的周長，則C．圓的圓心到原點的距離的最小值為D．圓與圓可能外切【答案】ACD【分析】由表達式求出圓心和半徑，對A，由圓與軸相切，可得，化簡可求值；對B，可判斷圓心過直線，化簡可求；對C，結(jié)合兩點距離公式和二次函數(shù)性質(zhì)可求距離最值；對D，結(jié)合圓心距離與外切關(guān)系建立等式，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合零點存在定理即可判斷.【詳解】對于圓，圓心為，半徑，對A，圓與軸相切，則，化簡可得，故A正確；對B，若直線平分圓的周長，說明圓心過直線，將代入可得，，故B錯誤；對C，結(jié)合點到點距離公式可得圓的圓心到原點的距離，當(dāng)時取到最小值，故C正確；對D，圓的圓心為，半徑為，若圓與圓外切，則，令，函數(shù)顯然連續(xù)，，根據(jù)零點存在定理，必然存在，使得，故圓與圓可能外切，故D正確.故選：ACD12．設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，且滿足條件，，，則下列選項正確的是（    ）A． B． C．是數(shù)列中的最大項 D．【答案】ACD【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)與條件得，對選項逐一判斷，【詳解】由，，與等比數(shù)列性質(zhì)，可得，對于A，，則成立，故A正確，對于B，，則，故B錯誤，對于C，當(dāng)時，，當(dāng)時，故是數(shù)列中的最大項，故C正確，對于D，，故D正確，故選：ACD 三、填空題13．過兩點和的直線的一般式方程為________．【答案】【分析】根據(jù)直線過兩點，求得直線斜率，則可得直線方程，轉(zhuǎn)化為直線的一般式方程即可.【詳解】解：過兩點和的直線斜率則直線方程為：，即直線的一般式方程為.故答案為：.14．已知點，圓：，則過點且與圓相切的直線方程為___________.【答案】或【分析】分斜率存在與不存在，利用由圓心到切線的距離等于半徑，求解即得.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)，半徑,當(dāng)切線的斜率不存在時，，顯然到圓心的距離等于半徑，故而是圓的一條切線；當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)斜率為，，即：,由圓心到切線的距離等于半徑，得，，解得，故切線的方程為，化簡得，故答案為：或.15．已知等比數(shù)列的前n項和，則___________.【答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列前n項和的遞推公式，求出，代入即可求解.【詳解】因為等比數(shù)列的前n項和，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因為為等比數(shù)列，所以公比，則，所以，故答案為：.16．如圖，，分別是橢圓的左、右焦點，點P是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個交點，延長與橢圓交于點Q，若，則直線的斜率為_______．【答案】【分析】連接，設(shè)（），則.利用橢圓的定義表示出，由勾股定理求出，即可得到，進而求出直線的斜率.【詳解】如圖，連接.設(shè)（），則.因為，，所以，.在中，，所以，即，整理得，所以，所以直線的斜率為．故答案為：-2. 四、解答題17．已知直線l經(jīng)過兩直線：和：的交點．(1)若直線與直線垂直，求直線的方程；(2)若點，到直線的距離相等，求直線的方程．【答案】(1)；(2)或． 【分析】（1）求得兩直線的交點，結(jié)合直線的斜率，即可求得直線方程；（2）討論直線與點之間的位置關(guān)系，在不同情況下求對應(yīng)直線的方程即可.【詳解】（1）聯(lián)立直線的方程：，解得，設(shè)直線斜率為，則，所以方程為：.（2）當(dāng)在同側(cè)，則//，即，所以方程為：，即；當(dāng)在兩側(cè)，則中點在上，所以，即；綜上所述，直線的方程為或.18．已知圓，圓.(1)若圓與圓外切，求實數(shù)的值；(2)設(shè)時，圓與圓相交于兩點，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)圓心距等于半徑和，即可得到實數(shù)的值；（2）兩式相減得公共弦的方程為：，利用垂徑定理求出弦長.【詳解】（1）圓，即為，所以，圓，所以，因為兩圓外切，所以，得，化簡得，所以.（2）時，圓，即，將圓與圓的方程聯(lián)立，得到方程組兩式相減得公共弦的方程為：，得點到直線的距離.所以.19．已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列是等差數(shù)列，且，．(1)求數(shù)列，的通項公式(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．【答案】(1),(2) 【分析】（1）根據(jù)可判斷是等比數(shù)列，進而根據(jù)等差和等比數(shù)列基本量的計算即可求解通項公式,（2）根據(jù)分組求和即可求解.【詳解】（1）因為數(shù)列滿足，，，所以，數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，所以，，即數(shù)列的通項公式為，設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，解得，所以，，即數(shù)列的通項公式為（2）有（1）可知，所以，數(shù)列的前項和，即．20．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，點的軌跡為.(1)求的方程；(2)過點且傾斜角為的直線與交于兩點，求的長度.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由題知，軌跡是橢圓根據(jù)，求出 即可求解.（2）先求直線，聯(lián)立直線與橢圓方程，在運用弦長公式即可求解.【詳解】（1）由題知： ， 軌跡是以點為左?右焦點的橢圓.設(shè)軌跡的方程為，則，解得， 軌跡的方程為.（2）由題知直線為，即.聯(lián)立方程消去 整理得.設(shè)交點，則. 的長度為21．已知是數(shù)列的前項和，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用求得.（2）利用裂項求和法求得.【詳解】（1）當(dāng)時，由，得，則.當(dāng)時，有，符合上式.綜上，.（2）由（1）得，，則.22．如圖，，是橢圓：的兩個頂點，，直線的斜率為，是橢圓長軸上的一個動點，設(shè)點.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線：與，軸分別交于點，，與橢圓相交于，.證明：的面積等于的面積.【答案】(1)；(2)證明見解析. 【分析】（1）令，，應(yīng)用兩點距離公式、斜率的兩點式列方程求橢圓參數(shù)，即可得橢圓方程；（2）設(shè)，，直線為，聯(lián)立橢圓方程，由韋達定理可得，進而得到，根據(jù)三角形面積公式即可證與的面積相等.【詳解】（1）因為?是橢圓的兩個頂點，且，直線的斜率為，所以，，得，又，可得，，∴橢圓的方程為.（2）直線為，即，將其代入，消去，整理得.設(shè)，，則.記的面積是，的面積是.由題意，，，∵，∴，∵，.∴的面積等于的面積. 

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