2020-2021學年江蘇省徐州市銅山區(qū)高一（下）期中數(shù)學試卷一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）的值為　　A．1 B． C． D．2．（5分）若復(fù)數(shù)，則　　A． B．2 C． D．3．（5分）已知，是不共線的向量，，，且，，三點共線，則　　A． B． C．或1 D．或24．（5分）在中，角，，所對的邊分別為，，，若，則的形狀為　　A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形5．（5分）若，則　　A．2 B． C． D．16．（5分）在等腰直角三角形中，，，，則　　A． B． C．3 D．7．（5分）公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖方法，發(fā)現(xiàn)了“黃金分割”．“黃金分割”是工藝美術(shù)、建筑、攝影等許多藝術(shù)門類中審美的要素之一，它表現(xiàn)了恰到好處的和諧，其比值為，這一比值也可以表示為，若，則　　A．2 B．4 C． D．8．（5分）在中，角，都是銳角，且，則的最大值是　　A． B． C． D．二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分．每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，不選或有選錯的得0分．9．（5分）1797年，丹麥數(shù)學家威塞爾首次利用坐標平面上的點來表示復(fù)數(shù)，從而使復(fù)數(shù)及其運算具有了幾何意義．若，則復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點可能在　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．（5分）若向量，滿足，，與的夾角為，則以下正確的是　　A． B． C． D．與的夾角為11．（5分）在中，角，，的對邊分別為，，，若，，則下列結(jié)論正確的是　　A． B． C． D．12．（5分）在中，，是上的兩個三等分點，若，，則下列結(jié)論中正確的有　　A． B． C． D．的長度為3三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分．13．（5分）在中，角，，的對邊分別是，，，已知，，且，則　　．14．（5分）計算　　．15．（5分）已知函數(shù)，則函數(shù)的一條對稱軸的方程為 　　．16．（5分）在平面幾何圖形中，把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．如圖，在垂美四邊形中，，，，．（1）邊的長為 　　；（2）若，分別是線段，上的點，且，則的最大值為 　　．四、解答題：本大題共6小題，共計70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知，且．（1）求的值；（2）若，求的值．18．（12分）已知向量，．（1）若與垂直，求實數(shù)的值；（2）求向量與夾角的余弦值．19．（12分）請從下列三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答：①；②；③．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足_____，，，求的面積．20．（12分）某海域的東西方向上分別有，兩個觀測點（如圖），它們相距海里．現(xiàn)有一艘輪船在點發(fā)出求救信號，經(jīng)探測得知點位于點北偏東，點北偏西，這時，位于點南偏西且與點相距海里的點有一救援船，其航行速度為30海里小時．（Ⅰ）求點到點的距離；（Ⅱ）若命令處的救援船立即前往點營救，求該救援船到達點需要的時間．21．（12分）如圖，在平面四邊形中，，，對角線與交于點，是的中點，且．（1）若，求的長；（2）若，求及的長．22．（12分）已知向量，，函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的值；（2）若不等式對所有，恒成立，求實數(shù)的范圍．
2020-2021學年江蘇省徐州市銅山區(qū)高一（下）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．【分析】利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式，把原式整理成的形式，利用特殊角的三角函數(shù)值，求得答案．【解答】解：故選：．2．【分析】根據(jù)已知條件，運用復(fù)數(shù)的運算法則，以及復(fù)數(shù)模的公式，即可求解．【解答】解：，．故選：．3．【分析】，，三點共線，可得存在實數(shù)使得，即可得出．【解答】解：，，三點共線，存在實數(shù)使得，，，解得或2．故選：．4．【分析】首先利用正弦定理和三角函數(shù)關(guān)系式的變換，進一步利用分類討論思想的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：在中，角，，所對的邊分別為，，，若，利用正弦定理得：，整理得：，化簡得：，則：，則：或，利用正弦定理整理得：．由于，所以．故選：．5．【分析】利用“弦化切”及其平方關(guān)系即可進行求解．【解答】解：，則．故選：．6．【分析】利用向量的數(shù)量積公式，轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：在等腰直角三角形中，，，，所以，，則．故選：．7．【分析】直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換和倍角公式的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：由于，，所以，所以．故選：．8．【分析】直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，三角函數(shù)的值，基本關(guān)系式的變換的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：中，角，都是銳角，且，整理得：，化簡得：；故．當且僅當時，等號成立．故選：．二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分．每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，不選或有選錯的得0分．9．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘除法原則和復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．【解答】解：，當，且，解得，此時復(fù)數(shù)表示的點位于第一象限，當，且，解得，此時復(fù)數(shù)表示的點位于第二象限，當，且，解得，此時復(fù)數(shù)表示的點位于第一象限，當，且時，此時無解，綜上所述復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點可能在第一，二，三象限．故選：．10．【分析】，由平面向量數(shù)量積的運算法則，即可判斷；，計算 的值后，即可判斷；，計算的值，看是否等于0；，與的夾角和與的夾角相同．【解答】解：對于，，即正確；對于，，，即正確；對于，，即錯誤；對于，與的夾角和與的夾角相同，應(yīng)為，即正確．故選：．11．【分析】結(jié)合二倍角公式和正弦定理可知的值，再由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出的值；利用余弦定理可列得關(guān)于的方程，解之即可；由，可得的面積．【解答】解：，，，，對：由正弦定理知，，可得，可得，，即選項正確；對：由正弦定理知，，可得，故選項正確；對，，即，解得，或，若，則，此時，與題意不符，，故選項錯誤；對的面積，即選項錯誤．故選：．12．【分析】選項，由，結(jié)合平面向量的線性運算法則，用基底，表示即可；選項，由，結(jié)合平面向量的線性運算法則，用基底，表示即可；選項，先用基底，表示，再由，即可得解；選項，利用，計算的值，即可得解．【解答】解：選項，，即錯誤；選項，，即正確；選項，由選項知，，而，，，，即正確；選項，由選項知，，，，，是上的兩個三等分點，，即正確．故選：．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分．13．【分析】直接利用正弦定理代入數(shù)據(jù)計算即可．【解答】解：由正弦定理可得，故答案為：．14．【分析】利用兩角差的正切公式把要求的式子化為，從而求得結(jié)果．【解答】解：，故答案為：．15．【分析】先利用二倍角公式以及輔助角公式化簡的解析式，然后由正弦函數(shù)的對稱軸方程列式求解即可．【解答】解：函數(shù)，令，解得，所以函數(shù)的一條對稱軸的方程為．故答案為：（答案不唯一）．16．【分析】（1）設(shè)，由，結(jié)合平面向量的線性運算和數(shù)量積運算，可求得，再利用，兩邊平方，化簡運算即可；（2）由（1）可知四邊形為等腰梯形，設(shè)，結(jié)合平面向量的數(shù)量積運算和基本不等式，可得解．【解答】解：（1）設(shè)，由題意知，，，，即，解得，，，．（2）由（1）知，，四邊形為等腰梯形，，，不妨設(shè)，則，，當且僅當，即時，等號成立，此時的最大值為．故答案為：（1）；（2）．四、解答題：本大題共6小題，共計70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．【分析】（1）直接利用同角三角函數(shù)關(guān)系式的變換求出函數(shù)的值；（2）利用角的變換的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：（1）已知，且，所以：，故．  （2）由（1）得：，故．18．【分析】（1）根據(jù)平面向量的線性坐標運算，求得和，再結(jié)合數(shù)量積為0，即可得解；（2）寫出向量和，再由平面向量的夾角公式，即可得解．【解答】解：（1），，，，與垂直，，即，解得．（2）由題意知，，，設(shè)向量與夾角為，，故向量與夾角的余弦值為．19．【分析】利用正弦定理，結(jié)合兩角和的正弦公式求出角，再利用余弦定理求出，最后根據(jù)三角形面積公式求解即可．【解答】解：若選擇條件①：根據(jù)正弦定理，由，得，即，，又，，由余弦定理得，，解得，；若選擇條件②：根據(jù)正弦定理，由，得，，即，由于，則，，即，又，，以下同選擇條件①；若選擇條件③：根據(jù)正弦定理，由，得，即，由于，則，，又，，以下同選擇條件①．20．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，求出，（Ⅱ）在中，利用余弦定理求出，根據(jù)速度求出時間．【解答】解：（Ⅰ）由題意知海里，，，，（2分）在中，由正弦定理得，（海里）（6分）（Ⅱ）在中，，（8分）（海里），由余弦定理得，（10分）（海里），則需要的時間（小時）．（11分）答：救援船到達點需要1小時．（12分）21．【分析】（1）在，中，分別應(yīng)用余弦定理，結(jié)合，可求的值，根據(jù)即可求解的值．（2）在中，由余弦定理求得，再在中，由余弦定理可得，進而得的值，然后在中，再次利用余弦定理，即可得解；【解答】解：（1）由題意，，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因為，所以兩式相加得，即，解得，所以．（2）在中，由余弦定理知，，，化簡得，解得，是的中點，，在中，由余弦定理知，，，，，由余弦定理知，，在中，由余弦定理知，，．22．【分析】（1）代入，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標運算，即可得解；（2）令，，則，原問題等價于不等式對所有，恒成立，再參變分離，結(jié)合基本不等式求最值，即可得解．【解答】解：（1），當時，．（2），不妨令，則，此時，，，，，，，原問題等價于不等式對所有，恒成立，，，，，當且僅當，即時，等號成立，此時，，故實數(shù)的范圍為，．聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/3/11 19:19:21；用戶：高中數(shù)學6；郵箱：tdjyzx38@xyh.com；學號：42412367

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