2020-2021學(xué)年江蘇省南京市鼓樓區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本小題共8小題，每小題5分，共計40分．在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置．1．（5分）已知集合是函數(shù)的定義域，是函數(shù)的定義域，則　　A．， B．， C．， D．，2．（5分）壹圓、貳圓、伍圓、拾圓的人民幣各1張，可以組成不同的幣值一共有　　A．4種 B．7種 C．15種 D．18種3．（5分）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為　　A． B． C． D．4．（5分）2021年是中國共產(chǎn)黨百年華誕．某學(xué)校社團(tuán)將舉辦慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年革命歌曲展演．現(xiàn)從《歌唱祖國》《英雄贊歌》《唱支山歌給黨聽》《毛主席派人來》這4首獨唱歌曲和《沒有共產(chǎn)黨就沒有新中國》《我和我的祖國》這2首合唱歌曲中共選出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必須是合唱歌曲，則不同的安排方法共有　　A．14種 B．48種 C．72種 D．120種5．（5分）如圖是的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下列四個判斷中，正確的是　　A．在，上是增函數(shù) B．在區(qū)間上是增函數(shù) C．的最大值是（1） D．當(dāng)時，取極小值6．（5分）一批產(chǎn)品共50件，其中有3件不合格品，從中任取5件，則恰有1件不合格品的概率是　　A． B． C． D．7．（5分）已知隨機(jī)變量，那么　　A． B． C．1 D．38．（5分）已知集合，，那么“”是“，”的　　A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．既不充分也不必要條件 D．充要條件二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的，全部選對得5分，部分選對得2分，不選或有選錯的得0分，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置．9．（5分）對于函數(shù)，若，則當(dāng)無限趨近于0時，在下列式子中無限趨近于2的式子有　　A． B． C． D．10．（5分）在復(fù)平面內(nèi)，一個平行四邊形的3個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是0，，，則第四個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)可以是　　A． B． C． D．11．（5分）已知，，，則　　A．的最小值為25 B．的最小值為 C．的最小值為 D．的最小值為12．（5分）已知定義域為的函數(shù)滿足：①，；②當(dāng)，時，，則　　A． B．， C．函數(shù)的值域為， D．，三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分．不需要寫出解答過程，請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．13．（5分）已知變量與線性相關(guān)，若，，且與的線性回歸直線的斜率為6.5，則線性回歸方程是　　．14．（5分）已知，為實數(shù)，是關(guān)于的方程的一個根，其中是虛數(shù)單位，則　　．15．（5分）某班5名同學(xué)去參加4個社團(tuán)，每人只參加1個社團(tuán)，每個社團(tuán)都有人參加，則滿足上述要求的不同方案共有 　　種．（用數(shù)字填寫答案）16．（5分）已知隨機(jī)變量，若，則　　．四、解答題：本大題共6小題，共計70分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)解答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）為了了解某中心城市人們觀看電視劇《覺醒時代》的情況，一家研究機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取出200人進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，得到下方的列聯(lián)表． 年輕人非年輕人總計已觀看《覺醒時代》12525150未觀看《覺醒時代》351550總計16040200（1）根據(jù)該列聯(lián)表，是否有的把握認(rèn)為“已觀看《覺醒時代》”與“是年輕人”有關(guān)系？（2）依據(jù)你對（1）的回答或者依據(jù)該列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，談?wù)勀愕目捶ǎ?/span>參考公式：獨立性檢驗統(tǒng)計量，其中．下面的臨界值表供參考：0.150.010.050.0250.0100.0050.0012.0722.0763.8415.0246.6357.87910.82818．（12分）我們曾用組合模型發(fā)現(xiàn)了組合恒等式，這里所使用的方法，實際上是將一個量用兩種方法分別算一次，由結(jié)果相同來得到等式，這是一種非常有用的思想方法，叫做“算兩次”，對此，我們并不陌生，例如列方程時就要從不同的側(cè)面列出表示同一個量的代數(shù)式．（1）某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生8名，外科醫(yī)生名，現(xiàn)要派3名醫(yī)生參加賑災(zāi)醫(yī)療隊，已知某內(nèi)科醫(yī)生必須參加的選法有66種，求的值；（2）化簡：．19．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，，點，分別是，的中點．（1）證明：平面；（2）已知二面角的大小為，求三棱錐的體積．20．（12分）已知一位籃球投手投中兩分球的概率為，投中三分球的概率為，每次投中兩分球、三分球分別得2分、3分，未投中均得0分，每次投籃的結(jié)果相互獨立，該投手進(jìn)行3次投籃：包括兩分球投籃1次、三分球投籃2次．（1）求“該投手投中兩分球且恰好投中三分球1次”的概率；（2）求該投手的總得分的分布列和數(shù)學(xué)期望．21．（12分）已知函數(shù)，．（1）判斷的奇偶性并說明理由；（2）如果當(dāng)，時，的最大值是6，求的值．22．（12分）已知函數(shù)，其中，是自然對數(shù)的底數(shù)，．（1）當(dāng)，時，求證：；（2）若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍．
2020-2021學(xué)年江蘇省南京市鼓樓區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題：本小題共8小題，每小題5分，共計40分．在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置．1．（5分）已知集合是函數(shù)的定義域，是函數(shù)的定義域，則　　A．， B．， C．， D．，【解答】解：集合是函數(shù)的定義域，則，是函數(shù)的定義域，則，，．故選：．2．（5分）壹圓、貳圓、伍圓、拾圓的人民幣各1張，可以組成不同的幣值一共有　　A．4種 B．7種 C．15種 D．18種【解答】解：選取1張人民幣共有種不同的情況，選取2張人民幣共有種不同的情況，選取3張人民幣共有種不同的情況，選取4張人民幣共有種不同的情況，故共有種不同的幣值．故選：．3．（5分）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為　　A． B． C． D．【解答】解：，．故選：．4．（5分）2021年是中國共產(chǎn)黨百年華誕．某學(xué)校社團(tuán)將舉辦慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年革命歌曲展演．現(xiàn)從《歌唱祖國》《英雄贊歌》《唱支山歌給黨聽》《毛主席派人來》這4首獨唱歌曲和《沒有共產(chǎn)黨就沒有新中國》《我和我的祖國》這2首合唱歌曲中共選出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必須是合唱歌曲，則不同的安排方法共有　　A．14種 B．48種 C．72種 D．120種【解答】解：因為要求最后一首歌必須是合唱歌曲，所以可先安排最后一首歌曲，有種情況，對于其他的3首歌曲沒有要求，故可從剩下的5首歌曲中選出3首進(jìn)行排序，有種情況，則不同的安排方法共有種．故選：．5．（5分）如圖是的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下列四個判斷中，正確的是　　A．在，上是增函數(shù) B．在區(qū)間上是增函數(shù) C．的最大值是（1） D．當(dāng)時，取極小值【解答】解：由圖知，當(dāng)，，時，，在，，，上是減函數(shù)，故錯誤，錯誤；同理可得，在區(qū)間上是增函數(shù)，故正確，錯誤；故選：．6．（5分）一批產(chǎn)品共50件，其中有3件不合格品，從中任取5件，則恰有1件不合格品的概率是　　A． B． C． D．【解答】解：一批產(chǎn)品共50件，其中有3件不合格品，有47件合格品，所有的取法有種，恰有1件不合格品的取法有種，故從中任取5件，則恰有1件不合格品的概率為，故選：．7．（5分）已知隨機(jī)變量，那么　　A． B． C．1 D．3【解答】解：隨機(jī)變量，．故選：．8．（5分）已知集合，，那么“”是“，”的　　A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．既不充分也不必要條件 D．充要條件【解答】解：，，，，，設(shè)，則，，，（1），，，，，是，的充分不必要條件，故選：．二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的，全部選對得5分，部分選對得2分，不選或有選錯的得0分，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置．9．（5分）對于函數(shù)，若，則當(dāng)無限趨近于0時，在下列式子中無限趨近于2的式子有　　A． B． C． D．【解答】解：因為，故選項正確；因為，故選項錯誤；因為，故選項錯誤；因為，故選項正確．故選：．10．（5分）在復(fù)平面內(nèi)，一個平行四邊形的3個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是0，，，則第四個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)可以是　　A． B． C． D．【解答】解：①假設(shè)平行四邊形的，，三點對應(yīng)的三個復(fù)數(shù)分別為：，，0，則，，，，，則點對應(yīng)的復(fù)數(shù)可以是，②假設(shè)平行四邊形的，，三點對應(yīng)的三個復(fù)數(shù)分別為：，0，，則，，，，，則點對應(yīng)的復(fù)數(shù)可以是，③假設(shè)平行四邊形的，，三點對應(yīng)的三個復(fù)數(shù)分別為：，0，，則，，，，，則點對應(yīng)的復(fù)數(shù)可以是．故選：．11．（5分）已知，，，則　　A．的最小值為25 B．的最小值為 C．的最小值為 D．的最小值為【解答】解：（當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立），故正確，，故時，有最小值，故錯誤，（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），，，故錯誤，（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），故正確，故選：．12．（5分）已知定義域為的函數(shù)滿足：①，；②當(dāng)，時，，則　　A． B．， C．函數(shù)的值域為， D．，【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于，，若，，則（1）（5），故對，對于，當(dāng)時，（3），故錯，對于，區(qū)間，的端點5是1的5倍，，都存在，，，使，故，又當(dāng)，時，，則有，故對，對于，當(dāng)，，，，則有，若，有，不是整數(shù)，錯誤；故選：．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分．不需要寫出解答過程，請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．13．（5分）已知變量與線性相關(guān)，若，，且與的線性回歸直線的斜率為6.5，則線性回歸方程是　　．【解答】解：設(shè)線性回歸方程為，，，與的線性回歸直線的斜率為6.5，．關(guān)于的線性回歸方程為．故答案為：．14．（5分）已知，為實數(shù)，是關(guān)于的方程的一個根，其中是虛數(shù)單位，則　0　．【解答】解：，為實數(shù)，是關(guān)于的方程的一個根，其中是虛數(shù)單位，則也是關(guān)于的方程的一個根，，，解得，．則，故答案為：0．15．（5分）某班5名同學(xué)去參加4個社團(tuán)，每人只參加1個社團(tuán)，每個社團(tuán)都有人參加，則滿足上述要求的不同方案共有 　240　種．（用數(shù)字填寫答案）【解答】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將5人分成4組，有種分組方法，②將分好的4組全排列，分別參加4個社團(tuán)，有種排法，由分步計數(shù)原理，則種方案，故答案為：240．16．（5分）已知隨機(jī)變量，若，則　0.8　．【解答】解：隨機(jī)變量，正態(tài)曲線的對稱軸是，，．故答案為：0.8．四、解答題：本大題共6小題，共計70分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)解答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）為了了解某中心城市人們觀看電視劇《覺醒時代》的情況，一家研究機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取出200人進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，得到下方的列聯(lián)表． 年輕人非年輕人總計已觀看《覺醒時代》12525150未觀看《覺醒時代》351550總計16040200（1）根據(jù)該列聯(lián)表，是否有的把握認(rèn)為“已觀看《覺醒時代》”與“是年輕人”有關(guān)系？（2）依據(jù)你對（1）的回答或者依據(jù)該列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，談?wù)勀愕目捶ǎ?/span>參考公式：獨立性檢驗統(tǒng)計量，其中．下面的臨界值表供參考：0.150.010.050.0250.0100.0050.0012.0722.0763.8415.0246.6357.87910.828【解答】解：（1），所以有的把握認(rèn)為“已觀看《覺醒時代》”與“是年輕人”有關(guān)系．（2）越來越多的年輕人關(guān)注國家發(fā)展的歷史．18．（12分）我們曾用組合模型發(fā)現(xiàn)了組合恒等式，這里所使用的方法，實際上是將一個量用兩種方法分別算一次，由結(jié)果相同來得到等式，這是一種非常有用的思想方法，叫做“算兩次”，對此，我們并不陌生，例如列方程時就要從不同的側(cè)面列出表示同一個量的代數(shù)式．（1）某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生8名，外科醫(yī)生名，現(xiàn)要派3名醫(yī)生參加賑災(zāi)醫(yī)療隊，已知某內(nèi)科醫(yī)生必須參加的選法有66種，求的值；（2）化簡：．【解答】解：（1）內(nèi)科醫(yī)生8名，外科醫(yī)生名，現(xiàn)要派3名醫(yī)生參加賑災(zāi)醫(yī)療隊，某內(nèi)科醫(yī)生必須參加，該事件等同于從剩下7名內(nèi)科醫(yī)生，外科醫(yī)生名，派2名醫(yī)生參加賑災(zāi)醫(yī)療隊，即，解得．（2），的系數(shù)，原式可以看作展開式中的系數(shù)減，即．19．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，，點，分別是，的中點．（1）證明：平面；（2）已知二面角的大小為，求三棱錐的體積．【解答】證明：（1）、分別是、的中點，，，四邊形是平行四邊形，則平面，平面，平面；解：（2），，，，則，又是直三棱柱，平面，平面，，，平面，又平面，，則為二面角的平面角，，可得．三棱錐的體積．20．（12分）已知一位籃球投手投中兩分球的概率為，投中三分球的概率為，每次投中兩分球、三分球分別得2分、3分，未投中均得0分，每次投籃的結(jié)果相互獨立，該投手進(jìn)行3次投籃：包括兩分球投籃1次、三分球投籃2次．（1）求“該投手投中兩分球且恰好投中三分球1次”的概率；（2）求該投手的總得分的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（1）記“該投手投中兩分球1次“為事件，則（A），記“該投手第一次投中三分球“為事件，則（B），記“該投手第二次投中三分球“為事件，則（C），記“該投手投中兩分球且恰好投中三分球1次”為事件，因為每次投籃的結(jié)果相互獨立，所以，所以（D）；（2）的可能取值為0，2，3，5，6，8，則，，，，，，故的分布列為：023568所以．21．（12分）已知函數(shù)，．（1）判斷的奇偶性并說明理由；（2）如果當(dāng)，時，的最大值是6，求的值．【解答】解：（1）當(dāng)時，，，則為奇函數(shù)，當(dāng)時，（1），，（1），則不是奇函數(shù)，（1），則不是偶函數(shù)，當(dāng)時，為奇函數(shù)，當(dāng)時，是非奇非偶函數(shù)；（2），當(dāng)，即時，在上是增函數(shù)，，在，上是增函數(shù)；當(dāng)，即時，在，上是增函數(shù)，，在，上是增函數(shù)；當(dāng)，時，的最大值是（2），令，解得（舍去）或；當(dāng)，即時，在，上為增函數(shù)，令，解得或（舍去）．綜上所述．的值是1或3．22．（12分）已知函數(shù)，其中，是自然對數(shù)的底數(shù)，．（1）當(dāng)，時，求證：；（2）若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍．【解答】（1）證明：當(dāng)時，，則，令，解得，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，因為，所以（3），故；（2）解：因為，所以0是函數(shù)的一個零點，，令，可得，①當(dāng)時，大于0，則在上單調(diào)遞增，此時函數(shù)僅有一個零點，不符合題意；②當(dāng)時，由，可得，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得極小值，即最小值為，設(shè)（a），則（a），所以當(dāng)時，（a），則（a）單調(diào)遞增，當(dāng)時，（a），則（a）單調(diào)遞減，當(dāng)時，（a）取最大值，此時（a），函數(shù)只有一個零點；因為，且（a）在區(qū)間，上單調(diào)遞增，、所以當(dāng)，時，（a），即，此時，如圖所示，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時，只有一個零點，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，取，則，，因為，而，在，上單調(diào)遞減且連續(xù)，所以在，上有唯一的零點，又因為在區(qū)間上沒有零點，所以當(dāng)時，有兩個零點；當(dāng)時，因為（a）在上單調(diào)遞減，所以（a），即，此時，如圖所示，因為當(dāng)時，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時，有一個零點，設(shè)，則，，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，所以，則單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，即當(dāng)時，，故，設(shè)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，所以（1），即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，而，在，上遞增且連續(xù)，所以在，上有唯一的零點，又因為在，上沒有零點，所以當(dāng)時，有兩個零點．綜上所述，的取值范圍為，，．聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/6/14 16:40:40；用戶：13159259195；郵箱：13159259195；學(xué)號：39016604

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