【高考真題】2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(全國(guó)甲卷)文科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.(共12題；共60分)1．（5分）設(shè)全集，集合，則（　　）A． B．C． D．2．（5分）（　?。?/span>A． B．1 C． D．3．（5分）已知向量，則（　?。?/span>A． B． C． D．4．（5分）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為（　?。?/span>A． B． C． D．5．（5分）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則（　?。?/span>A．25 B．22 C．20 D．156．（5分）執(zhí)行下邊的程序框圖，則輸出的（　?。?/span>A．21 B．34 C．55 D．897．（5分）設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（　?。?/span>A．1 B．2 C．4 D．58．（5分）曲線在點(diǎn)處的切線方程為（　?。?/span>A． B． C． D．9．（5分）已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（　?。?/span>A． B． C． D．10．（5分）在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（　?。?/span>A．1 B． C．2 D．311．（5分）已知函數(shù)．記，則（　?。?/span>A． B． C． D．12．（5分）函數(shù)的圖象由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，則的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　?。?/span>A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.(共4題；共20分)13．（5分）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則的公比為　     　．14．（5分）若為偶函數(shù)，則　     　．15．（5分）若x，y滿足約束條件，則的最大值為　     　．16．（5分）在正方體中，為的中點(diǎn)，若該正方體的棱與球的球面有公共點(diǎn)，則球的半徑的取值范圍是　         　．三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(共7題；共80分)17．（12分）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）（6分）求；（2）（6分）若，求面積．18．（12分）如圖，在三棱柱中，平面．（1）（6分）證明：平面平面；（2）（6分）設(shè)，求四棱錐的高．19．（12分）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）．試驗(yàn)結(jié)果如下：對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?/span>15.2  18.8  20.2  21.3  22.5  23.2  25.8  26.5  27.5  30.132.6  34.3  34.8  35.6  35.6  35.8  36.2  37.3  40.5  43.2試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?/span>7.8  9.2  11.4  12.4  13.2  15.5  16.5  18.0  18.8  19.219.8  20.2  21.6  22.8  23.6  23.9  25.1  28.2  32.3  36.5（1）（6分）計(jì)算試驗(yàn)組的樣本平均數(shù)；（2）（6分）（ⅰ）求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表  對(duì)照組 　 　試驗(yàn)組 　 　（ⅱ）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.63520．（12分）已知函數(shù)．（1）（6分）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）（6分）若，求的取值范圍．21．（12分）已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，．（1）（6分）求；（2）（6分）設(shè)為的焦點(diǎn)，為上兩點(diǎn)，且，求面積的最小值．22．（10分）已知點(diǎn)，直線（為參數(shù)），為的傾斜角，與軸正半軸、軸正半軸分別交于，且．（1）（5分）求；（2）（5分）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求的極坐標(biāo)方程．23．（10分）已知．（1）（5分）求不等式的解集；（2）（5分）若曲線與軸所圍成的圖形的面積為2，求．
答案解析部分1．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】并集及其運(yùn)算；補(bǔ)集及其運(yùn)算【解析】【解答】，
故選：A
【分析】先計(jì)算補(bǔ)集，再求并集即得答案.2．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算【解析】【解答】，
故選：C
【分析】利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算計(jì)算由得出答案。3．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角【解析】【解答】，，，，
，，，

故選：B
【分析】由，，向量坐標(biāo)運(yùn)算分別計(jì)算，，，再利用公式得出答案。4．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式；分步乘法計(jì)數(shù)原理【解析】【解答】從4名學(xué)生中隨機(jī)選2人組織文藝匯演共有種情況，
這2名同學(xué)來(lái)自不同年級(jí)的有種情況，
2名同學(xué)來(lái)自不同年級(jí)的概率為。
故選：D
【分析】利用古典概型分別求出基本事件總數(shù)和滿足條件的基本事件個(gè)數(shù)，得出答案。5．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和【解析】【解答】為等差數(shù)列，
有，，
，
，

故選：C
【分析】利用等差中項(xiàng)公式逐步分析，由需求轉(zhuǎn)化成求。6．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】循環(huán)結(jié)構(gòu)【解析】【解答】k1234是是是否；輸出BA=A+B3821 　B=A+B51334 　k=k+1234 　故選：B
【分析】根據(jù)程序框圖流程列表，得出答案。7．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)【解析】【解答】由題意知，，
，，

故選：B
【分析】利用橢圓定義和勾股定理得出，和與乘積的關(guān)系，利用完全平方公式間的公式轉(zhuǎn)化求解。8．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【解析】【解答】，
，
即此時(shí)該切線方程的斜率為，
曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即
故選：C
【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出在的值，即為點(diǎn)處切線的斜率，由直線點(diǎn)斜式方程得出答案.9．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓相交的性質(zhì)；雙曲線的定義【解析】【解答】雙曲線定義知，，
漸近線方程為，漸近線與圓有交點(diǎn)，即與圓有交點(diǎn)
圓心到漸近線距離或（舍去），
弦長(zhǎng)。
故選：D
【分析】根據(jù)題意結(jié)合雙曲線定義求出漸近線方程，再利用點(diǎn)到直線距離公式求出弦長(zhǎng)公式求。10．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；平面與平面之間的位置關(guān)系【解析】【解答】
取中點(diǎn)O，連接，
是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，
且，
，
又，，
，
.

故選：A
【分析】通過(guò)證明，得出PO為棱錐的高，進(jìn)而利用體積公式求解。11．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【解析】【解答】，
關(guān)于對(duì)稱，
又在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
由復(fù)合函數(shù)可知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
由關(guān)于對(duì)稱得
，，
由在單調(diào)遞增得
故選：A
【分析】對(duì)二次函數(shù)對(duì)稱性分析得出復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，利用對(duì)稱性將c轉(zhuǎn)化與a、b同一單調(diào)性，從而利用單調(diào)性比較函數(shù)值大小。12．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象；誘導(dǎo)公式【解析】【解答】由題意得
作出和草圖如下：

，
此時(shí)在直線上，當(dāng)時(shí)，
，
此時(shí)在直線上，當(dāng)時(shí)，
，
此時(shí)在直線上，當(dāng)時(shí)，

由圖形及分析可知和的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.
故選：C
【分析】求出變換后的函數(shù)解析式，畫(huà)圖分析值域范圍得出交點(diǎn)個(gè)數(shù).13．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和【解析】【解答】當(dāng)時(shí)，顯然 ， 不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，
，，即，
，解得
故答案為：
【分析】利用等比數(shù)列公式代入求解。14．【答案】2【知識(shí)點(diǎn)】偶函數(shù)【解析】【解答】，
∵為偶函數(shù)
為使為偶函數(shù)，只需為偶函數(shù)，
，即
故答案為：2
【分析】先利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，由三角函數(shù)部分為偶函數(shù)，故只需二次函數(shù)部分為偶函數(shù)，從而得出的值。15．【答案】15【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃【解析】【解答】由得，
故當(dāng)直線：截距最大時(shí)，取得最大值，

根據(jù)題意畫(huà)出可行域如上圖，易得當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A時(shí)，取得最大值，
聯(lián)立，解得，即

故答案為：15
【分析】利用約束條件畫(huà)出可行域，由目標(biāo)函數(shù)分析求截距最大值。16．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】球的性質(zhì)【解析】【解答】當(dāng)球是正方形棱切球時(shí)，即分別與，，，中點(diǎn)，，，相切球橫截面如下圖：此時(shí)為直徑，半徑最小為

當(dāng)球是正方形外接球時(shí)，即球過(guò)正方體各個(gè)頂點(diǎn)，此時(shí)為直徑，半徑最大為.

綜上所述：球半徑
故答案為：
【分析】分析得當(dāng)球是正方形棱切球時(shí)半徑最小，是正方形外接球時(shí)半徑最大。17．【答案】（1）由余弦定理知，又，
∴2bccosA=2cosA
.（2）在三角形中有
由正弦定理知，
，即，

，即，
 【知識(shí)點(diǎn)】兩角和與差的正弦公式；正弦定理的應(yīng)用；余弦定理的應(yīng)用【解析】【分析】(1)由已知條件聯(lián)想利用余弦定理化簡(jiǎn)即得答案。
(2)根據(jù)已知條件結(jié)合正弦定理將邊統(tǒng)一化成角，結(jié)合內(nèi)角和與和差角公式消去角C，整理即得，再結(jié)合面積公式求解。18．【答案】（1），即，
又平面，平面，
，
由，平面，
平面，
平面，
平面平面（2）由(1)可知，，兩兩垂直，
由平面平面，平面平面知：
四棱錐的高即為到邊上的高，
，即，
，
又，，
由三棱錐知，，，
由，
故，
在中有，解得
四棱錐的高為1【知識(shí)點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算【解析】【分析】(1)要證面面垂直即正線面垂直，由已知條件分析易證平面即可證明.
(2)結(jié)合線面垂直等多個(gè)垂直條件，易分析得出四棱錐的高為到邊上的高，根據(jù)兩個(gè)含公共邊的直角三角形，由得到，由已知條件結(jié)合三棱柱結(jié)構(gòu)特點(diǎn)分析解三角形并逐步計(jì)算得出結(jié)果.19．【答案】（1）試驗(yàn)組樣本平均數(shù)：（2）（i）依題意將40只小白鼠體重?cái)?shù)據(jù)重新排列得：
7.8   9.2   11.4   12.4  13.2  15.2  15.5  16.5  18.0  18.8
18.8  19.2  19.8  20.2  20.2  21.3  21.6  22.5  22.8  23.2
23.6  23.9  25.1  25.8  26.5  27.5  28.2  30.1  32.3  32.6
34.3  34.8  35.6  35.6  35.8  36.2  36.5  37.3  40.5  43.2
中位數(shù)列聯(lián)表為：  合計(jì)對(duì)照組61420試驗(yàn)組14620合計(jì)202040（ii）由(i)知，
能有的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異。【知識(shí)點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)【解析】【分析】(1)利用求平均數(shù)公式直接代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算；
(2)(i)利用中位數(shù)定義將數(shù)據(jù)重新排列求m；
(ii)根據(jù)m值完成列聯(lián)表代入計(jì)算，再根據(jù)附表數(shù)值進(jìn)行得出結(jié)論。20．【答案】（1）當(dāng)時(shí)，，
則，
在單調(diào)遞減；（2）令
則，
，又，
，解得.
檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，，有，
即在上單調(diào)遞減，
，符合題意，
 【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【解析】【分析】(1)對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性；
(2)構(gòu)造，結(jié)合，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為并驗(yàn)證得出答案。21．【答案】（1）由題意可設(shè)，，
聯(lián)立，消y整理得：，其中，
解得或，

，，


，解得或（舍去），
∴．（2）由(1)得，C： ，，如圖，

設(shè)：，，，
直線與x軸交點(diǎn)為，
聯(lián)立，消y整理得，，
∴，，，
，，，
，
化簡(jiǎn)得
代入上式整理得，即
解得或
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即m=0時(shí)，取得最小值.【知識(shí)點(diǎn)】拋物線的應(yīng)用；直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題【解析】【分析】(1)聯(lián)立利用弦長(zhǎng)公式化簡(jiǎn)得出關(guān)于p的方程，計(jì)算可得p值；
(2)為方便聯(lián)立及避開(kāi)分類，可設(shè)直線，利用，找出的關(guān)系并求出取值范圍，表示出進(jìn)而根據(jù)范圍可求得最小值。22．【答案】（1）由參數(shù)方程，
∴，
由②÷①消參數(shù)t得：，整理為
設(shè)，則，直線過(guò)定點(diǎn)

易得，
則，
由 ，則，解得，
由 與軸正半軸、軸正半軸分別交于 ，故k<0，
∴，解得；（2）由(1)代入得直角坐標(biāo)方程為，
根據(jù)，得直線極坐標(biāo)方程.【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化；參數(shù)方程化成普通方程【解析】【分析】(1)將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程利用 建立等量關(guān)系求解 ；
(2)由(1)即得直角坐標(biāo)方程，由，得出極坐標(biāo)方程。23．【答案】（1）依題意去絕對(duì)值得

①當(dāng)時(shí)， 由，即 ，解得，∵a>0，∴此時(shí)
②當(dāng)時(shí)，由，即，解得，∵a>0，∴此時(shí)
綜上的解集是；（2）令，解得或，
當(dāng)時(shí)，
∵a>0，此時(shí)，且，故其函數(shù)圖象大致為

，，
，解得【知識(shí)點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法【解析】【分析】(1)根據(jù)和分段去絕對(duì)值求解不等死；
(2)結(jié)合a>0分析畫(huà)出草圖利用面積建立等量關(guān)系求出a。

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