本試卷分為第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共150分，考試用時120分鐘．
第Ⅰ卷
本卷共9小題，每小題5分，共45分．
參考公式：
·如果事件A，B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
·如果事件A，B相互獨立，那么P(AB)＝P(A)P(B)．
·球的體積公式V＝43πR3，其中R表示球的半徑．
·圓錐的體積公式V＝13Sh，其中S表示圓錐的底面面積，h表示圓錐的高．
一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，B＝{1，2，4}，則(?UB)∪A＝( )
A．{1，3，5} B．{1，3}
C．{1，2，4}D．{1，2，4，5}
A [法一：因為U＝{1，2，3，4，5}，B＝{1，2，4}，所以?UB＝{3，5}，又A＝{1，3}，所以(?UB)∪A＝{1，3，5}．故選A．
法二：因為A＝{1，3}，所以A?(?UB)∪A，所以集合(?UB)∪A中必含有元素1，3，所以排除選項C，D；觀察選項A，B，因為5?B，所以5∈?UB，即5∈(?UB)∪A，故選A．]
2．“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分又不必要條件
B [法一：若a2＝b2，則當(dāng)a＝－b≠0時，有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，所以由a2＝b2a2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，則有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b，則有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab?a2＝b2．所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分條件．故選B．
法二：因為“a2＝b2”?“a＝－b或a＝b”，“a2＋b2＝2ab”?“a＝b”，所以本題可以轉(zhuǎn)化為判斷“a＝－b或a＝b”與“a＝b”的關(guān)系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分條件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分條件．故選B．]
3．若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，則a，b，c的大小關(guān)系為( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a(chǎn)>b>cD．b>a>c
D [因為函數(shù)f (x)＝1.01x是增函數(shù)，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b>a>1．因為函數(shù)g(x)＝0.6x是減函數(shù)，且0.5>0，所以0.60.5c．故選D．]
4．函數(shù)f (x)的圖象如圖所示，則f (x)的解析式可能為( )
A．f (x)＝5ex-e-xx2+2 B．f (x)＝5sinxx2+1
C．f (x)＝5ex+e-xx2+2D．f (x)＝5csxx2+1
D [法一：由題圖可知函數(shù)f (x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以函數(shù)f (x)是偶函數(shù)．對于A，f (x)＝5ex-e-xx2+2，定義域為R，f (－x)＝5e-x-exx2+2＝－f (x)，所以函數(shù)f (x)＝5ex-e-xx2+2是奇函數(shù)，所以排除A；對于B，f (x)＝5sinxx2+1，定義域為R，f (－x)＝5sin-xx2+1＝－5sinxx2+1＝－f (x)，所以函數(shù)f (x)＝5sinxx2+1是奇函數(shù)，所以排除B；對于C，f (x)＝5ex+e-xx2+2，定義域為R，f (－x)＝5e-x+exx2+2＝f (x)，所以函數(shù)f (x)＝5ex+e-xx2+2是偶函數(shù)，又x2＋2>0，ex＋e－x>0，所以f (x)>0恒成立，不符合題意，所以排除C；分析知，選項D符合題意，故選D．
法二：由題圖可知函數(shù)f (x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以函數(shù)f (x)是偶函數(shù)．因為y＝x2＋2是偶函數(shù)，y＝ex－e－x是奇函數(shù)，所以f (x)＝5ex-e-xx2+2是奇函數(shù)，故排除A；因為y＝x2＋1是偶函數(shù)，y＝sin x是奇函數(shù)，所以f (x)＝5sinxx2+1是奇函數(shù)，故排除B；因為x2＋2>0，ex＋e－x>0，所以f (x)＝5ex+e-xx2+2>0恒成立，不符合題意，故排除C．分析知，選項D符合題意，故選D．]
5．已知函數(shù)f (x)圖象的一條對稱軸為直線x＝2，f (x)的一個周期為4，則f (x)的解析式可能為( )
A．f (x)＝sin π2x B．f (x)＝cs π2x
C．f (x)＝sin π4xD．f (x)＝cs π4x
B [對于A，f (x)＝sin π2x，最小正周期為2ππ2＝4，因為f (2)＝sin π＝0，所以函數(shù)f (x)＝sin π2x的圖象不關(guān)于直線x＝2對稱，故排除A；對于B，f (x)＝cs π2x，最小正周期為2ππ2＝4，因為f (2)＝cs π＝－1，所以函數(shù)f (x)＝cs π2x的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，故選項B符合題意；對于C，D，函數(shù)y＝sin π4x和y＝cs π4x的最小正周期均為2ππ4＝8，均不符合題意，故排除C，D．綜上，選B．]
6．已知{an}為等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，an＋1＝2Sn＋2，則a4的值為( )
A．3 B．18
C．54D．152
C [法一：因為an＋1＝2Sn＋2，所以當(dāng)n≥2時，an＝2Sn－1＋2，兩式相減得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an，所以數(shù)列{an}是公比q＝an+1an＝3的等比數(shù)列．當(dāng)n＝1時，a2＝2S1＋2＝2a1＋2，又a2＝3a1，所以3a1＝2a1＋2，解得a1＝2，所以a4＝a1q3＝2×33＝54，故選C．
法二：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為an＋1＝2Sn＋2，所以公比q≠1，且a1qn＝2a11-qn1-q＋2＝－2a11-q·qn＋2a11-q＋2，所以a1=-2a11-q0=2a11-q+2，又a1≠0，所以q＝3，a1＝2，所以a4＝a1q3＝2×33＝54，故選C．]
7．調(diào)查某種群花萼長度和花瓣長度，所得數(shù)據(jù)如圖所示．其中相關(guān)系數(shù)r＝0.824 5，下列說法正確的是( )
A．花瓣長度和花萼長度沒有相關(guān)性
B．花瓣長度和花萼長度呈負相關(guān)
C．花瓣長度和花萼長度呈正相關(guān)
D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.824 5
C [因為相關(guān)系數(shù)r＝0.824 5>0.75，所以花瓣長度和花萼長度的相關(guān)性較強，并且呈正相關(guān)，所以選項A，B錯誤，選項C正確；因為相關(guān)系數(shù)與樣本的數(shù)據(jù)有關(guān)，所以當(dāng)樣本發(fā)生變化時，相關(guān)系數(shù)也會發(fā)生變化，所以選項D錯誤．故選C．]
8．在三棱錐P-ABC中，線段PC上的點M滿足PM＝13PC，線段PB上的點N滿足PN＝23PB，則三棱錐P-AMN和三棱錐P-ABC的體積之比為( )
A．19 B．29
C．13 D．49
B [如圖，
因為PM＝13PC，PN＝23PB，所以S△PMNS△PBC＝12PM·PN·sin ∠BPC12PC·PB·sin ∠BPC＝PM·PNPC·PB＝13×23＝29，所以VP-AMNVP-ABC＝VA-PMNVA-PBC＝13S△PMN·d13S△PBC·d＝S△PMNS△PBC＝29(其中d為點A到平面PBC的距離，因為平面PMN和平面PBC重合，所以點A到平面PMN的距離也為d)．故選B．]
9．雙曲線x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2．過F2作其中一條漸近線的垂線，垂足為P．已知|PF2|＝2，直線PF1的斜率為24，則雙曲線的方程為( )
A．x28－y24＝1 B．x24－y28＝1
C．x24－y22＝1D．x22－y24＝1
D [法一：不妨取漸近線y＝bax，此時直線PF2的方程為y＝－ab(x－c)，與y＝bax聯(lián)立并解得x=a2c，y=abc，即Pa2c，abc．
因為直線PF2與漸近線y＝bax垂直，所以PF2的長度即為點F2(c，0)到直線y＝bax(即bx－ay＝0)的距離，由點到直線的距離公式得|PF2|＝bca2+b2＝bcc＝b，所以b＝2．
因為F1(－c，0)，Pa2c，abc，且直線PF1的斜率為24，所以abca2c+c＝24，化簡得aba2+c2＝24，又b＝2，c2＝a2＋b2，所以2a2a2+4＝24，整理得a2－22a＋2＝0，即(a－2)2＝0，解得a＝2．
所以雙曲線的方程為x22－y24＝1，故選D．
法二：因為過點F2向其中一條漸近線作垂線，垂足為P，且|PF2|＝2，所以b＝2，再結(jié)合選項，排除選項B，C；若雙曲線方程為x28－y24＝1，則F1(－23，0)，F(xiàn)2(23，0)，漸近線方程為y＝±22x，不妨取漸近線y＝22x，則直線PF2的方程為y＝－2(x－23)，與漸近線方程y＝22x聯(lián)立，得P433，263，則kPF1＝25，又直線PF1的斜率為24，所以雙曲線方程為x28－y24＝1不符合題意，排除A，故選D．]
第Ⅱ卷
本卷共11小題，共105分．
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分．
10．已知i是虛數(shù)單位，化簡5+14i2+3i的結(jié)果為________．
4＋i [5+14i2+3i＝5+14i2-3i2+3i2-3i＝10-15i+28i+4213＝52+13i13＝4＋i．]
11．在2x3-1x6的展開式中，x2的系數(shù)是________．
60 [法一：二項式2x3-1x6展開式的通項公式Tk＋1＝C6k(2x3)6-k-1xk＝-1k26-kC6kx18-4k，令18－4k＝2，解得k＝4，所以x2的系數(shù)為-14×22×C64＝60．
法二：將二項式2x3-1x6看成6個多項式2x3-1x相乘，要想出現(xiàn)x2項，則先在2個多項式中分別取2x3，然后在余下的多項式中都?。?x，相乘，即C622x32×C44-1x4＝60x2，所以x2的系數(shù)為60．]
12．過原點O的一條直線與圓C：(x＋2)2＋y2＝3相切，交曲線y2＝2px(p>0)于點P，若|OP|＝8，則p的值為________．
6 [由題意得直線OP的斜率存在．設(shè)直線OP的方程為y＝kx，因為該直線與圓C相切，所以-2k1+k2＝3，解得k2＝3．將直線方程y＝kx與曲線方程y2＝2px(p>0)聯(lián)立，得k2x2－2px＝0，因為k2＝3，所以3x2－2px＝0，解得x＝0或2p3，設(shè)P(x1，y1)，則x1＝2p3，又O(0，0)，所以|OP|＝1+k2|x1－0|＝2×2p3＝8，解得p＝6．]
13．甲、乙、丙三個盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為5∶4∶6．這三個盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為40%，25%，50%．現(xiàn)從三個盒子中各取一個球，取到的三個球都是黑球的概率為________；將三個盒子中的球混合后任取一個球，是白球的概率為________．
120 35 [法一：設(shè)A＝“從甲盒子中取一個球，是黑球”，B＝“從乙盒子中取一個球，是黑球”，C＝“從丙盒子中取一個球，是黑球”，由題意可知P(A)＝40%＝25，P(B)＝25%＝14，P(C)＝50%＝12，現(xiàn)從三個盒子中各取一個球，取到的三個球都是黑球的概率為P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝25×14×12＝120．設(shè)D1＝“取到的球是甲盒子中的”，D2＝“取到的球是乙盒子中的”，D3＝“取到的球是丙盒子中的”，E＝“取到的球是白球”，由題意可知P(D1)＝55+4+6＝13，P(D2)＝45+4+6＝415，P(D3)＝65+4+6＝25，P(E|D1)＝1－25＝35，P(E|D2)＝1－14＝34，P(E|D3)＝1－12＝12，所以P(E)＝P(D1E＋D2E＋D3E)＝P(D1E)＋P(D2E)＋P(D3E)＝P(D1)P(E|D1)＋P(D2)P(E|D2)＋P(D3)P(E|D3)＝13×35＋415×34＋25×12＝35．
法二：設(shè)甲、乙、丙三個盒子中的球的個數(shù)分別為5，4，6，其中甲盒子中黑球的個數(shù)為2，白球的個數(shù)為3；乙盒子中黑球的個數(shù)為1，白球的個數(shù)為3；丙盒子中黑球的個數(shù)為3，白球的個數(shù)為3．則從三個盒子中各取一個球，共有5×4×6種結(jié)果，其中取到的三個球都是黑球有2×1×3種結(jié)果，所以取到的三個球都是黑球的概率為2×1×35×4×6＝120；將三個盒子中的球混合在一起共有5＋4＋6＝15(個)球，其中白球共有3＋3＋3＝9(個)，所以混合后任取一個球，共有15種結(jié)果，其中取到白球有9種結(jié)果，所以混合后任取一個球，是白球的概率為915＝35．]
14．在三角形ABC中，∠A＝π3，|BC|＝1，D為線段AB的中點，E為線段CD的中點，若設(shè)AB＝a，AC＝b，則AE可用a，b表示為________；若BF＝13BC，則AE·AF的最大值為________．
14a＋12b 1324 [因為E為CD的中點，所以AE＝12AD＋12AC，因為D為AB的中點，所以AD＝12AB，所以AE＝14AB＋12AC，又AB＝a，AC＝b，所以AE＝14a＋12b．
因為BF＝13BC，所以AF-AB＝13(AC-AB)，即AF＝23AB＋13AC＝23a＋13b，所以AE·AF＝14a+12b·23a+13b＝16a2＋512a·b＋16b2．在三角形ABC中，∠A＝π3，|BC|＝1，設(shè)三角形ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則a＝1，|a|＝c，|b|＝b，所以a·b＝bc cs π3＝bc2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cs π3，即1＝b2＋c2－bc，所以b2＋c2＝bc＋1，所以AE·AF＝16a2＋512a·b＋16b2＝16c2＋524bc＋16b2＝16(bc＋1)＋524bc＝38bc＋16．
法一：在三角形ABC中，由正弦定理得bsinB＝csinC＝1sin π3＝233，所以b＝233sin B，c＝233sin C，bc＝43sin B sin C＝43sin B sin π3+B＝43sin B32csB+12sinB＝23(3sin B cs B＋sin2B)＝2332sin2B+1-cs2B2＝23sin 2B-π6+12＝23sin 2B-π6＋13，因為0

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