【高考真題】2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(全國乙卷)理科數(shù)學(xué)一、選擇題(共12題；共60分)1．（5分）設(shè)，則（　　）A． B． C． D．2．（5分）設(shè)集合，集合，，則（　?。?/span>A． B． C． D．3．（5分）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該零件的表面積為（　?。?/span>??A．24 B．26 C．28 D．304．（5分）已知是偶函數(shù)，則（　?。?/span>A． B． C．1 D．25．（5分）設(shè)O為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點，在區(qū)域內(nèi)隨機取一點，記該點為A，則直線OA的傾斜角不大于的概率為（　?。?/span>A． B． C． D．6．（5分）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條對稱軸，則（　?。?/span>A． B． C． D．7．（5分）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（　　）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種8．（5分）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（　?。?/span>A． B． C． D．9．（5分）已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（　?。?/span>A． B． C． D．10．（5分）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（　?。?/span>A．－1 B． C．0 D．11．（5分）設(shè)A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（　?。?/span>A． B． C． D．12．（5分）已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（　?。?/span>A． B． C． D．二、填空題(共4題；共20分)13．（5分）已知點在拋物線C：上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為　     　.14．（5分）若x，y滿足約束條件，則的最大值為　     　.15．（5分）已知為等比數(shù)列，，，則　     　.16．（5分）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是　          　.三、解答題(共5題；共60分)17．（12分）某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為，（），試驗結(jié)果如下試驗序號i12345678910伸縮率545533551522575544541568596548伸縮率536527543530560533522550576536記，記，，…，的樣本平均數(shù)為，樣本方差為，（1）（6分）求，；（2）（6分）判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果，則認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認為有顯著提高）.18．（12分）在中，已知，，.（1）（6分）求；（2）（6分）若D為BC上一點，且，求的面積.19．（12分）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點分別為D，E，O，，點F在AC上，. ??（1）（4分）證明：平面；（2）（4分）證明：平面平面BEF；（3）（4分）求二面角的正弦值.20．（12分）已知橢圓C：的離心率為，點在C上.（1）（6分）求C的方程；（2）（6分）過點的直線交C于點P，Q兩點，直線AP，AQ與y軸的交點分別為M，N，證明：線段MN的中點為定點.21．（12分）已知函數(shù).（1）（4分）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）（4分）是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.（3）（4分）若在存在極值，求a的取值范圍.四、選做題(共2題；共20分)22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線：（為參數(shù)，）.（1）（5分）寫出的直角坐標(biāo)方程；（2）（5分）若直線既與沒有公共點，也與沒有公共點，求的取值范圍．23．（10分）已知（1）（5分）求不等式的解集；（2）（5分）在直角坐標(biāo)系中，求不等式組所確定的平面區(qū)域的面積．
答案解析部分1．【答案】B【知識點】虛數(shù)單位i及其性質(zhì)；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算【解析】【解答】∵，
∴
∴
故選：B.
【分析】由虛數(shù)i的性質(zhì)化簡，依據(jù)復(fù)數(shù)除法運算計算z及其共軛復(fù)數(shù)得出答案.2．【答案】A【知識點】交、并、補集的混合運算【解析】【解答】根據(jù)題意
對A， ，則，符合題意，
對B， ，則，不符合題意，
對C，，則，不符合題意，
對D， ，則，不符合題意，
故選：A.
【分析】由交、并、補集的定義及運算，逐項判斷可得答案.3．【答案】D【知識點】由三視圖求面積、體積；簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征；棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積【解析】【解答】 如圖該幾何體是由邊長為2的正方體和邊長為1，2，2的長方體組成：
表面積為：

故選：D
【分析】 先將三視圖還原空間幾何體，再求解表面積。4．【答案】D【知識點】偶函數(shù)；函數(shù)奇偶性的判斷【解析】【解答】是偶函數(shù)，
恒成立，
不恒為0，
，解得.
當(dāng)時定義域為關(guān)于原點對稱，又滿足，為偶函數(shù)。
故選：D
【分析】根據(jù)偶函數(shù)定義進行計算，再驗證。5．【答案】C【知識點】幾何概型；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【解析】【解答】 區(qū)域表示以圓心，半徑為和半徑為組成的圓環(huán)，
直線傾斜角不大于為如下陰影部分表示的區(qū)域，其中，結(jié)合對稱性可得所求概率

故選：C.
【分析】 畫出滿足條件的圖形區(qū)域結(jié)合幾何概型求解。6．【答案】D【知識點】正弦函數(shù)的單調(diào)性【解析】【解答】在區(qū)間單調(diào)遞增，又和是的對稱軸，，，解得，
，即，，
.
故選：D
【分析】分析題意根據(jù)單調(diào)性和對稱軸求出，，再代入求解.7．【答案】C【知識點】排列、組合的實際應(yīng)用【解析】【解答】根據(jù)題意，兩人選讀的總選法有：種，
其中，兩人選擇的讀物中都不同的選法有：種，
兩人選擇的讀物中都相同的選法有：種，
故兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法有：225-90-15=120種，
故選：C.
【分析】由事件總數(shù)減去兩人選擇的讀物均相同或均不同情形可得出答案.8．【答案】B【知識點】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺、球）【解析】【解答】如下圖，取AB中點C，連接PC，

依題意得∵∠AOB=120°，，，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴.
故選：B.
【分析】根據(jù)題意畫出草圖計算圓錐體高結(jié)合圓錐體積公式得出答案.9．【答案】C【知識點】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；解三角形【解析】【解答】如圖，取AB中點E，連接CE，DE，設(shè)AE=BE=2a

∵是以AB為斜邊的等腰直角三角形，是等邊三角形
易得，，
又∵，且二面角為，
∴，
∴在中，由余弦定理得，
∴，
∴由線面夾角定義結(jié)合直線在平面上的投影，
易分析CD在平面ABC上的投影在CE所在直線上，
即直線CD與平面ABC所成角為∠DCE
∴在中，由正弦定理得，
代入解得，
∵
∴，
∴，
故選：C.
【分析】根據(jù)題意分析面面夾角與線面夾角的平面角，結(jié)合特殊三角形及正余弦定理解三角形得出平面角的三角函數(shù)值.10．【答案】B【知識點】等差數(shù)列的通項公式；余弦函數(shù)的周期性【解析】【解答】設(shè)等差數(shù)列的首項為，由其公差為，
易得，，....，
即得，，，......，
由集合只含有兩個元素，即 ，
由上述可知不妨，且，
故，
∴，即，解得，
∴，，
故.
【分析】根據(jù)題意結(jié)合余弦函數(shù)周期性分析得出，，即可計算ab的值.11．【答案】D【知識點】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；雙曲線的應(yīng)用【解析】【解答】設(shè)，，則中點，則，

在雙曲線上則，兩式相減得，，
.
A：，，，直線：，
聯(lián)立，
，直線與雙曲線沒有兩個交點.故A錯誤；
B：，，，直線：，
聯(lián)立，
，直線與雙曲線沒有兩個交點.故B錯誤；
C：，，，直線：，
由雙曲線方程可得漸近線為，直線為漸近線
直線與雙曲線沒有兩個交點.故C錯誤；
D：，，，直線：，
聯(lián)立，
，直線與雙曲線有兩個交點.故D正確；
故選：D
【分析】設(shè)兩點分別為，，由中點公式聯(lián)想利用點差法得出兩根和與差的關(guān)系，得出，再利用點斜式計算直線方程聯(lián)立雙曲線判斷是否有兩個交點。12．【答案】A【知識點】平面向量數(shù)量積的運算；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)【解析】【解答】根據(jù)題意，由，
當(dāng)cos∠PAD夾角越小值越大，同時結(jié)合圓的對稱性，故當(dāng)PA與PC在圓O同測的圓弧上時，達到最大，
如下圖所示，連接PO，OA，OD，

∴OA=r=1，，
∴，
∴是等腰直角三角形，∠OPA=45°，
又∵D為BC的中點，
∴OD⊥PC
由 ，設(shè)，
∴，，
∴
即
當(dāng)且僅當(dāng)
即時，.
故選：A
【分析】結(jié)合草圖分析，可設(shè)夾角，，表示出 結(jié)合二倍角與輔助角公式得出正弦型函數(shù)，從而分析得出答案.13．【答案】【知識點】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；拋物線的簡單性質(zhì)【解析】【解答】由題意得，求得，拋物線上點到準(zhǔn)線距離.
故答案為：
【分析】直接代入點坐標(biāo)求拋物線方程，利用，求拋物線上點到準(zhǔn)線距離。14．【答案】8【知識點】簡單線性規(guī)劃【解析】【解答】根據(jù)題意作出滿足不等式組表示的平面可行域，如下圖：

由，得，表示直線在y軸上的截距，
∴截距越小越大，
由上圖可只當(dāng)直線經(jīng)過點C時最大，
由解得即，此時.
故答案為：8
【分析】找出滿足題意的可行域，對目標(biāo)函數(shù)分析結(jié)合一次函數(shù)分析得出的最大值。15．【答案】【知識點】等比數(shù)列的通項公式【解析】【解答】設(shè) 首項為，公比為，
則，，
∵，，
∴，，
∴
化簡整理得，，即，
∴，
故答案為：-2.
【分析】設(shè) 首項為，公比為，由已知條件結(jié)合等差數(shù)列通項公式整理化簡得出答案.16．【答案】【知識點】函數(shù)恒成立問題；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【解析】【解答】 ∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，
∴在上恒成立，
令，故只需證
則，
則在上單調(diào)遞增，且
∴，
即，
∴，即，解得或，
又∵
∴，
故答案為：
【分析】結(jié)合題意求導(dǎo)將問題轉(zhuǎn)化成導(dǎo)函數(shù)大于0恒成立問題，重新構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析計算該函數(shù)的最小值大于0即得答案.17．【答案】（1）∵，根據(jù)圖表數(shù)值則分別為：9，6，8，-8，15，11，19，18，20，12.
∴，
.（2）由(1)得，，
∴
∴，
故認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.【知識點】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差【解析】【分析】(1)根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)與方差計算方法計算可得出答案；
(2)由(1)得出的結(jié)論代入 ， 比較二者大小即可得出相關(guān)結(jié)論；18．【答案】（1）根據(jù)題意，由余弦定理得
∴
由正弦定理，得.（2）如下圖所示，由(1)得，，，

又∵ ，
∴，，
∴，解得，
由，解得，
∴，
 【知識點】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；正弦定理；余弦定理【解析】【分析】(1)由已知條件的兩邊及夾角可先使用余弦定理計算第三邊，再根據(jù)正弦定理可得 ；
(2)根據(jù)題意結(jié)合草圖分析，計算 的面積只需結(jié)合(1)及三角基本關(guān)系求AD邊可得答案.19．【答案】（1）如圖，連接，，設(shè)，

則，
又，
且，即.
，
由∵AB=2，BC=，代入得
解得，
，即為中點，
又∵的中點分別為，
且，且，
∴且，
∴四邊形DEFO為平行四邊形，∴
又平面，平面，（2）由(1)得 ，
且在中，AB=2，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，且
∴
又∵，，
，
∴
且
∴ 平面平面BEF.（3）如圖，過點O作交AC于點M，連接DM，NF，
由(2)得，

∴ 二面角的平面角為.
∵，O為BC中點，
∴，且結(jié)合(1)， ，
∴，，
∴
在平面ABP中，AD和BE分別是△ABP的兩條中線，
∴N為△ABP的重心，
∴，
在和中，
，
根據(jù)余弦定理
代入可解得，
同理在在和中，
由余弦定理列出方程，可得，
∴，
同理，解得，
又∵，，
易得
∴，解得.
∴在△DOM中，
，
∴
∴ 二面角的平面角的正弦值為.
 【知識點】直線與平面平行的性質(zhì)；平面與平面垂直的判定；二面角的平面角及求法【解析】【分析】(1) 以條件作為切入點，考慮以，為基底從向量角度表示，并運用數(shù)量積為0確判斷點的位置，從而得出F為中點，由多個中點產(chǎn)生的中位線證明線面平行；
(2)由，故證 平面平面BEF只需再證一組線線垂直，利用已知條件的 結(jié)合勾股定理可計算邊長，進而可結(jié)合(1)證，證畢；
(3)結(jié)合(2)及二面角平面角的定義，易作將二面角轉(zhuǎn)化成平面角∠DOM，在△DOM中，結(jié)合已知條件易得其兩邊DO、OM，故求平面角的正弦值只需求第三邊DM，結(jié)合中點及各邊數(shù)據(jù)解三角形求第三邊即得答案.20．【答案】（1）將點代入橢圓得，，
又，且
解得，，，
橢圓方程為.（2）當(dāng)斜率PQ斜率不存在，此時直線與橢圓C有且僅有交點A，不符合題意；
故斜率存在，如圖，由直線過點可設(shè)：

其中，，，
直線：，令得，同理得
聯(lián)立，
消y整理得：，
，，
且，即


直線的中點是定點.【知識點】直線與圓錐曲線的綜合問題【解析】【分析】（1）將代入橢圓方程，結(jié)合離心率和列方程組求解；
（2）設(shè)直線方程，與橢圓聯(lián)立利用韋達定理計算整理得出MN中點為定值。21．【答案】（1）當(dāng)時，，
，
，且 ，
在處的切線方程為，
即（2）由，
∴，
由，
∴的定義域為，
若存在關(guān)于直線對稱，
則定義域也對稱，即，
且，即，
由得，
若，即，
∴，解得，
綜上所述，當(dāng)時， 曲線關(guān)于直線對稱.（3）由 ，
∴，
∵在存在極值 ，
∴在存在變號零點 ，
當(dāng)，整理得
令
則，
∵，同時注意到
∴
①若，則，此時在上單調(diào)遞減，結(jié)合，
∴在上單調(diào)遞減，故此時不存在變號零點 ；
②若，
i)，易得，此時在上單調(diào)遞增，結(jié)合，
∴在上單調(diào)遞增，故此時不存在變號零點 ；
ii)，令，即，則，
此時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，
結(jié)合，故成立
(或
令，其中，
則
∴在上單調(diào)遞增，，
故)
∴若在上存在變號零點，
由零點存在性定理，需證存在有；
即在且時恒成立，
故，
令，，
∴，
故在上單調(diào)遞增，且，
∴，即，
，
故存在使得在且時恒成立，
綜上，當(dāng)，在上存在變號零點，即 在存在極值.【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程【解析】【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)可求得某點出切線斜率，代入點斜式直線方程得出答案；
(2)由對稱函數(shù)定義域?qū)ΨQ得出對稱軸，根據(jù)對稱函數(shù)關(guān)系建立等式得出a值；
(3)將存在極值轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)存在變號零點問題，進一步構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)正負結(jié)合參數(shù)a分類分析及零點存在性原理檢驗變號零點的存在.22．【答案】（1）將：左右同×得：，
∵，，
∴
∴（2）將：
由得
∴方程表示圓心，半徑為2且位于第二象限的圓弧；
由(1)：，
∴表示圓心為，半徑為1且位于第一象限的圓弧；
與圖象如下圖表示

若直線過，此時，
若直線與相切，則，此時(負值舍去)，
故當(dāng)直線與，均沒有公共點，
此時【知識點】簡單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程【解析】【分析】（1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化關(guān)系左右同×即可轉(zhuǎn)化，其中應(yīng)注意其取值范圍；
（2）利用同角三角基本關(guān)系消參轉(zhuǎn)化C2，結(jié)合圖象分析交點個數(shù)，由直線與圓的位置關(guān)系求出特殊位置時m的值得出答案。23．【答案】（1）依題意可得，根據(jù)去絕對值零點分段易得
，畫出和圖形如下：

聯(lián)立，解得，，由圖形可知的解集為；（2）分析知不等式組確定的平面區(qū)域為（1）中，如下圖、  又，，，
不等式組確定的平面區(qū)域面積為8.【知識點】絕對值不等式；絕對值不等式的解法【解析】【分析】（1）討論絕對值內(nèi)的符號分段去絕對值，根據(jù)圖形聯(lián)立求交點解得不等式；
（2）結(jié)合（1）得出不等式組表示的平面區(qū)域，再求面積。

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