?2020-2021學(xué)年江蘇省南京市江浦高級(jí)中學(xué)文昌校區(qū)等五校高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷
一、單選題(本題包括8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意.)
1．（5分）若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為　　
A． B． C． D．
2．（5分）已知，則　　
A． B． C． D．
3．（5分）已知、為兩條不同直線，、為兩個(gè)不同平面．下列命題中正確的是　　
A．若，，則與共面 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
4．（5分）測(cè)量河對(duì)岸某一高層建筑物的高度時(shí)，可以選擇與建筑物的最低點(diǎn)在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)和，如圖，測(cè)得，，，并在處測(cè)得建筑物頂端的仰角為，則建筑物的高度為　　

A． B． C． D．
5．（5分）已知某地、、三個(gè)村的人口戶數(shù)及貧困情況分別如圖（1）和圖（2）所示，為了解該地三個(gè)村的貧困原因，當(dāng)?shù)卣疀Q定采用分層抽樣的方法抽取戶數(shù)進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取村貧困戶的戶數(shù)分別是　　

A．100，20 B．100，10 C．200，20 D．200，10
6．（5分）皮埃爾德費(fèi)馬，法國律師和業(yè)余數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”，對(duì)數(shù)學(xué)作出了重大貢獻(xiàn)，其中在1636年發(fā)現(xiàn)了：若是質(zhì)數(shù)，且，互質(zhì)，那么的次方除以的余數(shù)恒等于1，后來人們稱該定理為費(fèi)馬小定理．依此定理，若在數(shù)集，3，5，6，中任取兩個(gè)數(shù)，其中一個(gè)作為，另一個(gè)作為，則所取兩個(gè)數(shù)符合費(fèi)馬小定理的概率為　　
A． B． C． D．
7．（5分）如圖，在三棱錐中，，，則異面直線與所成角的余弦值是　　

A． B． C． D．
8．（5分）趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的），類比“趙爽弦圖”，可類似地構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，設(shè)，則　　

A． B．
C． D．
二、多選題(本題包括4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.)
9．（5分）從甲袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，從乙袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，從兩袋各摸出一個(gè)球，下列結(jié)論正確的是　　
A．2個(gè)球都是紅球的概率為
B．2個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為
C．至少有1個(gè)紅球的概率為
D．2個(gè)球不都是紅球的概率為
10．（5分）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，則下列結(jié)論正確的是　　
A． B． C． D．
11．（5分）關(guān)于函數(shù)的描述正確的是　　
A．其圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位得到
B．在單調(diào)遞增
C．在，有2個(gè)零點(diǎn)
D．在的最小值為
12．（5分）已知在三棱錐中，，，兩兩互相垂直，，，，點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心，點(diǎn)為的外接圓的圓心，下列說法正確的是　　
A．三棱錐的體積為
B．直線與平面所成角的正切值為
C．球的表面積為
D．
三、填空題（本題包括4小題，每小題5分，共20分.）
13．（5分）已知樣本9，10，11，，的平均數(shù)是10，方差是2，則　 ?。?br /> 14．（5分）若，則　?。?br /> 15．（5分）圓錐的母線長為4，為圓錐頂點(diǎn)，點(diǎn)為母線的中點(diǎn)，從點(diǎn)處拉一條繩子，繞圓錐的側(cè)面轉(zhuǎn)一周達(dá)到點(diǎn)，這條繩子的長度最短值為，則此圓錐的表面積為 　?。?br /> 16．（5分）在中，若，且，則的值為　　
四、解答題（本題包括6小題，17題10分，其余每小題10分，共90分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
17．（10分）已知向量，．
（1）若，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若，，求向量與的夾角．
18．（12分）某校從參加某次知識(shí)競賽的同學(xué)中，選取50名同學(xué)將其成績（百分制，均為整數(shù)）分成六組：第1組，，第2組，，第3組，，第4組，，第5組，，第6組，，得到部分頻率分布直方圖（如圖），觀察圖形中的信息，回答下列問題：
（1）求分?jǐn)?shù)在，內(nèi)的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；
（2）從頻率分布直方圖中，利用組中值估計(jì)本次考試成績的平均數(shù)；
（3）已知學(xué)生成績?cè)u(píng)定等級(jí)有優(yōu)秀、良好、一般三個(gè)等級(jí)，其中成績不小于90分時(shí)為優(yōu)秀等級(jí)，若從第5組和第6組兩組學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人，求所抽取的2人中至少一人成績優(yōu)秀的概率．

19．（12分）如圖，在五面體中，已知平面，，，，．
（1）求證：；
（2）求三棱錐的體積．

20．（12分）如圖，在四面體中，平面平面，，，，．
（1）求和平面所成角的正弦值：
（2）求二面角的正切值．

21．（12分）杭州市為迎接2022的亞運(yùn)會(huì)，規(guī)劃公路自行車比賽賽道，該賽道的平面示意圖為如圖的五邊形，運(yùn)動(dòng)員的公路自行車比賽中如出現(xiàn)故障，可以從本隊(duì)的器材車、公共器材車上或收容車上獲得幫助．比賽期間，修理或更換車輪或賽車等，也可在固定修車點(diǎn)上進(jìn)行．還需要運(yùn)送一些補(bǔ)給物品，例如食物、飲料、工具和配件．所以項(xiàng)目設(shè)計(jì)需要預(yù)留出，為賽道內(nèi)的兩條服務(wù)通道（不考慮寬度），，，，，為賽道，，，，．
（1）從以下兩個(gè)條件中任選一個(gè)條件，求服務(wù)通道的長度；
①；②．
（2）在（1）的條件下，應(yīng)該如何設(shè)計(jì)，才能使折線賽道最長（即最大），最長值為多少？

22．（12分）如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，請(qǐng)寫出值，并證明此時(shí)，平面；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（2）已知平面平面，求證：．


2020-2021學(xué)年江蘇省南京市江浦高級(jí)中學(xué)文昌校區(qū)等五校高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、單選題(本題包括8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意.)
1．（5分）若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為　　
A． B． C． D．
【分析】化簡，根據(jù)純虛數(shù)的定義列方程求出的值．
【解答】解：因?yàn)椋?br /> 由純虛數(shù)的定義知，，
解得．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡與運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題．
2．（5分）已知，則　　
A． B． C． D．
【分析】由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得的值，再利用二倍角公式求得要求式子的值．
【解答】解：，，解得，或（舍去），
則，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題．
3．（5分）已知、為兩條不同直線，、為兩個(gè)不同平面．下列命題中正確的是　　
A．若，，則與共面 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
【分析】由空間中直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系判定；由直線與平面垂直的性質(zhì)判斷．
【解答】解：若，，則或與相交或與異面，故錯(cuò)誤；
若，，則或，故錯(cuò)誤；
若，，由直線與平面垂直的性質(zhì)，可得，故正確；
若，，則或與相交，故錯(cuò)誤．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題．
4．（5分）測(cè)量河對(duì)岸某一高層建筑物的高度時(shí)，可以選擇與建筑物的最低點(diǎn)在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)和，如圖，測(cè)得，，，并在處測(cè)得建筑物頂端的仰角為，則建筑物的高度為　　

A． B． C． D．
【分析】在中利用正弦定理求得的值，在中利用直角三角形的邊角關(guān)系求得的值．
【解答】解：由題意，在中，，，
，
又，
由正弦定理得，
；
在中，，，
；
則建筑物高為．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理與直角三角形的邊角關(guān)系應(yīng)用問題，是中檔題．
5．（5分）已知某地、、三個(gè)村的人口戶數(shù)及貧困情況分別如圖（1）和圖（2）所示，為了解該地三個(gè)村的貧困原因，當(dāng)?shù)卣疀Q定采用分層抽樣的方法抽取戶數(shù)進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取村貧困戶的戶數(shù)分別是　　

A．100，20 B．100，10 C．200，20 D．200，10
【分析】利用分層抽樣、扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖直接求解．
【解答】解：由題意得，樣本容量為：，
抽取村貧困戶的戶數(shù)為：．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻數(shù)的求法，考查分層抽樣、扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
6．（5分）皮埃爾德費(fèi)馬，法國律師和業(yè)余數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”，對(duì)數(shù)學(xué)作出了重大貢獻(xiàn)，其中在1636年發(fā)現(xiàn)了：若是質(zhì)數(shù)，且，互質(zhì)，那么的次方除以的余數(shù)恒等于1，后來人們稱該定理為費(fèi)馬小定理．依此定理，若在數(shù)集，3，5，6，中任取兩個(gè)數(shù)，其中一個(gè)作為，另一個(gè)作為，則所取兩個(gè)數(shù)符合費(fèi)馬小定理的概率為　　
A． B． C． D．
【分析】基本事件總數(shù)，利用列舉法求出所取兩個(gè)數(shù)符合費(fèi)馬小定理包含的基本事件有9個(gè)，由此能求出所取兩個(gè)數(shù)符合費(fèi)馬小定理的概率．
【解答】解：在數(shù)集，3，5，6，中任取兩個(gè)數(shù)，其中一個(gè)作為，另一個(gè)作為，
基本事件總數(shù)，
所取兩個(gè)數(shù)符合費(fèi)馬小定理包含的基本事件有：
，，，，，，，，，共9個(gè)，
所取兩個(gè)數(shù)符合費(fèi)馬小定理的概率為．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題．
7．（5分）如圖，在三棱錐中，，，則異面直線與所成角的余弦值是　　

A． B． C． D．
【分析】分別取、、的中點(diǎn)、、，連接、、、和，則，，所以即為異面直線與所成角．然后借助中位線定理、勾股定理分別求出、和的長，再在中，由余弦定理即可求出，進(jìn)而得解．
【解答】解：如圖所示，分別取、、的中點(diǎn)、、，連接、、、和，
則，，所以即為異面直線與所成角．

由題可知，和均為正三角形，所以，即為等邊三角形，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
而，，
在中，由余弦定理知，．
因?yàn)楫惷嬷本€夾角的取值范圍為，，所以異面直線與所成角的余弦值是．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線的夾角問題，通過平移的思想，將兩條異面直線平移在一個(gè)平面內(nèi)是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間立體感、邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
8．（5分）趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的），類比“趙爽弦圖”，可類似地構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，設(shè)，則　　

A． B．
C． D．
【分析】先設(shè)，根據(jù)題意可知，求出的長，延長交于，求出，的長，再由平面向量基本定理即可得出結(jié)果．
【解答】解：設(shè)，因此，
又由題意可得，
所以，
因此；
延長交于，
記，，
則，
所以；
又由題意易知，則，
在三角形中，由正弦定理可得：，
即，
因此，
，
所以，
因?yàn)?，即?br /> 整理得，
所以．
故選：．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解三角形以及平面向量基本定理，熟記正弦定理和余弦定理、以及平面向量基本定理即可，屬于常考題型．
二、多選題(本題包括4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.)
9．（5分）從甲袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，從乙袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，從兩袋各摸出一個(gè)球，下列結(jié)論正確的是　　
A．2個(gè)球都是紅球的概率為
B．2個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為
C．至少有1個(gè)紅球的概率為
D．2個(gè)球不都是紅球的概率為
【分析】設(shè)從甲袋中摸出一個(gè)紅球?yàn)槭录?，從乙袋中摸出一個(gè)紅球?yàn)槭录謩e根據(jù)概率公式計(jì)算即可．
【解答】解：設(shè)從甲袋中摸出一個(gè)紅球?yàn)槭录?，從乙袋中摸出一個(gè)紅球?yàn)槭录?br /> 則2個(gè)球都是紅球的概率為，故正確，
2個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為，故正確，
至少有1個(gè)紅球的概率為，故正確，
2個(gè)球不都是紅球的概率為，故不正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算，關(guān)鍵是明確事件之間的關(guān)系，其次靈活運(yùn)用對(duì)立事件、互斥事件的概率性質(zhì)．
10．（5分）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，則下列結(jié)論正確的是　　
A． B． C． D．
【分析】直接利用已知條件，利用正弦定理和余弦定理及三角形的面積公式求出結(jié)果．
【解答】解：由于，
則：，解得：．
由于：，，
利用正弦定理：，則：，整理得：，解得：，故正確；
由于，，可得，
解得：，或3，
若，則，可得，可得，矛盾，故錯(cuò)誤，
可得，
可得，可得，故錯(cuò)誤；
因?yàn)槿?，可得，可得，，由于，矛盾?br /> 所以，
又因?yàn)椋?br /> 則由，故正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
11．（5分）關(guān)于函數(shù)的描述正確的是　　
A．其圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位得到
B．在單調(diào)遞增
C．在，有2個(gè)零點(diǎn)
D．在的最小值為
【分析】利用三角函數(shù)的倍角公式以及輔助角公式進(jìn)行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：，
的圖象向左平移個(gè)單位得到，，故正確，
．當(dāng)，則，，此時(shí)函數(shù)不單調(diào)，故錯(cuò)誤，
．由，得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在，有2個(gè)零點(diǎn)，，，故正確，
．，則，，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為，故正確
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用輔助角公式先進(jìn)行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性，最值性以及圖象變換關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，難度不大．
12．（5分）已知在三棱錐中，，，兩兩互相垂直，，，，點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心，點(diǎn)為的外接圓的圓心，下列說法正確的是　　
A．三棱錐的體積為
B．直線與平面所成角的正切值為
C．球的表面積為
D．
【分析】計(jì)算棱錐的體積判斷，計(jì)算判斷，計(jì)算外接球半徑，再計(jì)算球的表面積判斷，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判斷．
【解答】解：對(duì)于，，，，平面，
，故正確；
對(duì)于，，，，平面，
為與平面所成角，而，故正確；
對(duì)于，由于，，兩兩垂直，故三棱錐的外接球也是棱長分別為3，4，5的長方體的外接球，
設(shè)外接球半徑為，則，，
外接球的表面積為，故正確；
對(duì)于，若點(diǎn)為的外接圓的圓心，則平面，又平面，
，故錯(cuò)誤．
故選：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了棱錐與外接球的位置關(guān)系，考查線面垂直的判斷與線面角計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
三、填空題（本題包括4小題，每小題5分，共20分.）
13．（5分）已知樣本9，10，11，，的平均數(shù)是10，方差是2，則　96?。?br /> 【分析】根據(jù)平均數(shù)與方差的定義，求出與的值，即可得出的值．
【解答】解：，10，11，，的平均數(shù)是10，
，
即①；
又方差是2，
，
即②；
由①②聯(lián)立，
解得或；
．
故答案為：96．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)平均數(shù)與方差的計(jì)算公式進(jìn)行解答，是基礎(chǔ)題．
14．（5分）若，則　?。?br /> 【分析】由題意利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式、兩角和差的三角公式，計(jì)算求得的值．
【解答】解：若，，
平方可得，則，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查誘導(dǎo)公式、二倍角公式、兩角和差的三角公式，屬于基礎(chǔ)題．
15．（5分）圓錐的母線長為4，為圓錐頂點(diǎn)，點(diǎn)為母線的中點(diǎn)，從點(diǎn)處拉一條繩子，繞圓錐的側(cè)面轉(zhuǎn)一周達(dá)到點(diǎn)，這條繩子的長度最短值為，則此圓錐的表面積為 　?。?br /> 【分析】設(shè)底面圓半徑為，由母線長求出側(cè)面展開扇形的圓心角，利用余弦定理求出從點(diǎn)拉一繩子圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)的最短距離，列方程求出的值，再計(jì)算圓錐的表面積．
【解答】解：設(shè)底面圓半徑為，由母線長為4，
所以側(cè)面展開扇形的圓心角為；
將圓錐側(cè)面展開成一個(gè)扇形，從點(diǎn)拉一繩子圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)，
最短距離為，如圖所示：在中，
，解得，
所以，所以圓錐的表面積為．
故答案為：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的側(cè)面展開圖應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是中檔題．
16．（5分）在中，若，且，則的值為　　
【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及兩角和的正弦公式，二倍角公式化簡可得，進(jìn)而根據(jù)正弦定理即可計(jì)算得解．
【解答】解：因?yàn)椋?br /> 又因?yàn)椋?br /> 所以，可得，
所以由正弦定理可得，即的值為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及兩角和的正弦公式，二倍角公式以及正弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
四、解答題（本題包括6小題，17題10分，其余每小題10分，共90分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
17．（10分）已知向量，．
（1）若，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若，，求向量與的夾角．
【分析】（1）由已知結(jié)合向量數(shù)量積的性質(zhì)的坐標(biāo)表示即可求解；
（2）由已知結(jié)合向量夾角公式的坐標(biāo)表示即可求解．
【解答】解：（1）因?yàn)椋?br /> 所以，
所以，
所以，
（2）由題意可得，，，
，
，

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量數(shù)量積的性質(zhì)的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．
18．（12分）某校從參加某次知識(shí)競賽的同學(xué)中，選取50名同學(xué)將其成績（百分制，均為整數(shù)）分成六組：第1組，，第2組，，第3組，，第4組，，第5組，，第6組，，得到部分頻率分布直方圖（如圖），觀察圖形中的信息，回答下列問題：
（1）求分?jǐn)?shù)在，內(nèi)的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；
（2）從頻率分布直方圖中，利用組中值估計(jì)本次考試成績的平均數(shù)；
（3）已知學(xué)生成績?cè)u(píng)定等級(jí)有優(yōu)秀、良好、一般三個(gè)等級(jí)，其中成績不小于90分時(shí)為優(yōu)秀等級(jí)，若從第5組和第6組兩組學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人，求所抽取的2人中至少一人成績優(yōu)秀的概率．

【分析】（1）由頻率分布直方圖求出分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率值，補(bǔ)全頻率分布直方圖即可；
（2）利用組中值即可計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；
（3）利用列舉法求出基本事件數(shù)，計(jì)算所求的概率值．
【解答】解：（1）由頻率分布直方圖求出分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率為
，
且，
補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖，如圖所示
（2）利用組中值估計(jì)本次考試成績的平均數(shù)為
；
（3）第5組人數(shù)為，記為、、、；
第6組兩組人數(shù)為，記為、、；
從這7人中隨機(jī)抽取2人，基本事件是：
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、共21種，
求所抽取的2人中至少一人成績優(yōu)秀的基本事件是：
、、、、、、、、、、、、、、共15種，
故所求的概率為．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是中檔題．
19．（12分）如圖，在五面體中，已知平面，，，，．
（1）求證：；
（2）求三棱錐的體積．

【分析】（1）先證明平面，再利用線面平行的性質(zhì)，證明；
（2）在平面內(nèi)作于點(diǎn)，證明是三棱錐的高，即可求三棱錐的體積．
【解答】（1）證明：因?yàn)?，平面，平面?br /> 所以平面，（3分）
又平面，平面平面，
所以．（6分）
（2）解：在平面內(nèi)作于點(diǎn)，
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br /> 又，平面，，
所以平面，
所以是三棱錐的高．（9分）
在直角三角形中，，，所以，
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br /> 又由（1）知，，且，所以，所以，（12分）
所以三棱錐的體積．（14分）

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的判定與性質(zhì)，考查三棱錐的體積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
20．（12分）如圖，在四面體中，平面平面，，，，．
（1）求和平面所成角的正弦值：
（2）求二面角的正切值．

【分析】（1）取中點(diǎn)，連接、，推導(dǎo)出即為和平面所成的角．由此能求出和平面所成角的正弦值．
（2）過點(diǎn)作，垂足為．推導(dǎo)出，平面，，從而為二面角的平面角．由此能求出二面角的正切值．
【解答】解：（1）取中點(diǎn)，連接、，
，，
又平面平面，平面，平面平面，
平面．
即為和平面所成的角．在中，，，，
又為中點(diǎn)，．
，，
，，
平面，平面，
．
在中，，，，
．
，
即和平面所成角的正弦值為．
（2）過點(diǎn)作，垂足為．
平面，平面，，
又，平面，，
平面，
又平面，，
為二面角的平面角．
在中，，，．
在中，，
二面角的正切值為2．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面角的正弦值、二面角的正切值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
21．（12分）杭州市為迎接2022的亞運(yùn)會(huì)，規(guī)劃公路自行車比賽賽道，該賽道的平面示意圖為如圖的五邊形，運(yùn)動(dòng)員的公路自行車比賽中如出現(xiàn)故障，可以從本隊(duì)的器材車、公共器材車上或收容車上獲得幫助．比賽期間，修理或更換車輪或賽車等，也可在固定修車點(diǎn)上進(jìn)行．還需要運(yùn)送一些補(bǔ)給物品，例如食物、飲料、工具和配件．所以項(xiàng)目設(shè)計(jì)需要預(yù)留出，為賽道內(nèi)的兩條服務(wù)通道（不考慮寬度），，，，，為賽道，，，，．
（1）從以下兩個(gè)條件中任選一個(gè)條件，求服務(wù)通道的長度；
①；②．
（2）在（1）的條件下，應(yīng)該如何設(shè)計(jì)，才能使折線賽道最長（即最大），最長值為多少？

【分析】（1）選擇①，由正弦定理求出，利用勾股定理求解角．
選擇②由正弦定理求解，在中，由余弦定理求出即可．
（2）在中，由余弦定理，結(jié)合基本不等式求解即可．
【解答】（1）解：選擇①，在中，由正弦定理：，
又，所以，
在中，；
選擇②，在中，由正弦定理：，
在中，由余弦定理：
即：，解得（負(fù)值舍去）
（2）解：在中，由余弦定理：，，
當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故時(shí)，折線賽道最長，最長值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，是中檔題．
22．（12分）如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，請(qǐng)寫出值，并證明此時(shí)，平面；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（2）已知平面平面，求證：．

【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，則，由此推導(dǎo)出在線段上存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，平面．
（2）過作并交于點(diǎn)，推導(dǎo)出平面，．，從而平面．由此能證明．
【解答】（1）解：在線段上存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，平面．
證明如下：連接，交于點(diǎn)，連接，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，
又當(dāng)，即點(diǎn)是的中點(diǎn)，由中位線定理得，
平面，平面，
平面．
（2）證明：過作并交于點(diǎn)，
又平面平面，平面，平面平面，
平面，又平面，．
在直三棱柱中，平面，平面，
，又平面，平面，，
平面．
又平面，．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的判斷與證明，考查線線垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布
日期：2021/8/23 17:50:56；用戶：高中數(shù)學(xué)12；郵箱：sztdjy76@xyh.com；學(xué)號(hào)：26722394

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