一、單項選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應位置上．
1. 命題“”的否定是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題即可求解.
【詳解】命題“”的否定是,
故選：D
2. 求值：（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式求得結(jié)果.
【詳解】.
故選：B.
3. 一個扇形的圓心角為，面積為，則該扇形弧長為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由扇形的面積公式求得扇形的半徑，進而由弧長公式計算可得.
【詳解】設扇形的弧長為，半徑為，根據(jù)已知的扇形的圓心角，面積，
由扇形的面積公式，得，解得（負值舍去），
由弧長公式，
故選：B
4. 已知角的終邊經(jīng)過點，則的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出、，再代入計算可得.
【詳解】因為角的終邊經(jīng)過點，所以，
，
所以.
故選：A
5. 已知函數(shù)的圖象如圖所示，則可以為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】觀察函數(shù)的圖像，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，利用排除法可得選項.
【詳解】對于A，由函數(shù)圖像可知，時，，而，當時，，故A錯誤；
對于B，由函數(shù)的圖像可以看出，當時，函數(shù)有意義，而函數(shù)在無定義，故B錯誤；
對于C，函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱，即函數(shù)為奇函數(shù)，由為非奇非偶函數(shù)，故C錯誤；
對于D，是一個奇函數(shù)，時，，符合圖象，故D正確.
故選：D.
6. 已知，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.
【詳解】因為，，，
又，所以，即.
故選：C
7. 已知函數(shù)的圖象在區(qū)間上與軸有2024個交點，則的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出方程的根，再找到取最小值時的零點,求得結(jié)果即可.
【詳解】由得，
解得或，
所以或，
令,,,,,
,,當,時，
取最小值，最小值為.
故選：A.
8. 函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】變換得到，，構(gòu)造，確定函數(shù)單調(diào)遞增得到，確定，根據(jù)均值不等式計算得到答案.
詳解】，則，，即，即；
，，則，即.
設，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
故，即，
，當時，不成立，故，
等號不成立，故，ACD錯誤B正確.
故選：B
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了函數(shù)的零點問題，對數(shù)運算，均值不等式，意在考查學生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應用能力，其中構(gòu)造函數(shù)確定單調(diào)性，變換得到是解題的關(guān)鍵.
二、多項選擇題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，請把答案填涂在答題卡相應位置上．全部選對得5分，部分選對得2分，不選或有選錯的得0分．
9. 已知∈R，則下列結(jié)論正確是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】對于ABC項：根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項判斷.對于D項，使用作差法比大小.
【詳解】對于A：因為，所以，所以，故A正確；
對于B：因為，所以，兩邊同乘以得，故B正確；
對于C：因，所以，所以，又，兩式相乘得 ，故C錯誤；
對于D：,
因為，所以,所以，所以，故D正確.
故選：ABD
10. 將函數(shù)的圖像上所有點橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖像，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.
B. 函數(shù)在上單調(diào)遞增
C. 點是函數(shù)圖像的一個對稱中心
D. 當時，函數(shù)的最大值為2
【答案】BC
【解析】
【分析】先根據(jù)伸縮得出新函數(shù)判斷A選項，再根據(jù)單調(diào)性判斷B選項，代入法驗證對稱中心判斷C選項，根據(jù)值域判斷D選項.
【詳解】函數(shù)的圖像上所有點橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，,A選項錯誤;
,函數(shù)在上單調(diào)遞增,B選項正確;
當,點是函數(shù)圖像的一個對稱中心,C選項正確;
當,,,D選項錯誤.
故選:BC.
11. 關(guān)于平面向量，有下列四個命題，其中說法正確的是（ ）
A. 若，，則
B. 點，與向量同方向的單位向量為
C. 若，則與的夾角為
D. 若向量，，則向量在向量上的投影向量為
【答案】ABD
【解析】
【分析】對于A，利用向量垂直的坐標表示進行判斷；對于B，與向量同方向的單位向量為；對于C，利用兩向量夾角的余弦坐標公式求解即可；對于D，利用投影向量公式求解即可.
【詳解】對于A，，，，
因為，則，故A正確；
對于B，已知點，，，
與向量同方向的單位向量為，故B正確；
對于C，若，由得.
由，得，
，，
則，
則與的夾角為，故C錯誤；
對于D，若向量，，，
，則向量在向量上的投影向量為，故D正確.
故選：ABD.
12. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 是奇函數(shù)B. 的圖象關(guān)于點對稱
C. 有唯一一個零點D. 不等式的解集為
【答案】BCD
【解析】
【分析】求解的定義域，可知定義域不關(guān)于原點對稱，知A錯誤；根據(jù)解析式驗證可知，則知B正確；當時，由單調(diào)性的性質(zhì)可確定在上單調(diào)遞減，結(jié)合值域的求法可求得；結(jié)合對稱性可知在上單調(diào)遞減；利用零點存在定理可說明在有且僅有一個零點，知C正確；結(jié)合C的結(jié)論可說明時，時，；利用單調(diào)性，分別討論和在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)、兩個不同單調(diào)區(qū)間內(nèi)的情況，解不等式組可求得結(jié)果.
【詳解】對于A，由得：，即定義域為，不關(guān)于原點對稱，
為非奇非偶函數(shù)，A錯誤；
對于B，，，
，圖象關(guān)于點對稱，B正確；
對于C，當時，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
在上單調(diào)遞減；
由B知：圖象關(guān)于對稱，在上單調(diào)遞減；
當時，，，，在上無零點；
當時，，，
，使得，則在上有唯一零點；
綜上所述：有唯一一個零點，C正確；
對于D，由C知：在和上單調(diào)遞減，
又時，；
時，；
①當，即時，由得，解得，即；
②當時，不等式組無解，不合題意；
③當，即時，，，不合題意；
④當，即時，，，符合題意；
綜上所述：的解集為：，D正確.
故選：BCD.
三、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分．請把答案填涂在答題卡相應位置上．
13. 請寫出一個滿足條件①和②的冪函數(shù)，條件：①是偶函數(shù)；②為上的減函數(shù)．則________．
【答案】(答案不唯一)
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】設，根據(jù)冪函數(shù)為偶函數(shù)，則為偶數(shù)，又為上單調(diào)遞減，故 ，故可取，
故答案為：（答案不唯一）
14. 已知函數(shù)則________．
【答案】
【解析】
【分析】由及可得：，即可求得：，問題得解.
【詳解】因為，所以，
因為，所以，所以.
故答案為：
15. 點P是正方形外接圓圓O上的動點，正方形的邊長為2，則的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意求出圓的半徑，建立如圖平面直角坐標系，設，，利用平面向量線性運算和數(shù)量積的坐標表示可得，結(jié)合三角函數(shù)的有界性即可求解.
【詳解】由題意知，圓O的半徑為，
建立如圖平面直角坐標系，，
得，
設，，則，
所以
，其中，
又，所以，
則，
即的取值范圍為.
故答案為：.
16. 已知函數(shù)的圖象如圖所示，圖象與軸的交點為，與軸的交點為，最高點，且滿足．則________；將的圖象向右平移1個單位得到的圖象對應的函數(shù)為，則________．
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】根據(jù)圖象可求得最小正周期，由此可得，結(jié)合五點作圖法可求得，將代入解析式可求得點坐標，根據(jù)垂直關(guān)系可構(gòu)造方程求得的值，進而得到的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則得到的解析式，從而求出.
【詳解】由圖象可知的最小正周期，，
由五點作圖法可知：，解得，
又，，，，
即，，，
，，，又，
，，
將的圖象向右平移1個單位得到，
所以.
故答案為：；.
四、解答題：本大題共6個小題，共70分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．
17. 設，已知集合，集合．
（1）若，求；
（2）求實數(shù)的取值范圍，使_______成立．
從① ② ③中選擇一個填入橫線處并解答．
注：若選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先解分式不等式求出集合A，根據(jù)一元二次不等式的解法求出集合B，結(jié)合并集的概念和運算即可得出結(jié)果；
（2）①根據(jù)集合沒有公共元素，列出不等式求得結(jié)果；②根據(jù)補集的概念和運算求出，利用集合間的包含關(guān)系可求出對應條件的參數(shù)；③根據(jù)補集的概念和運算求出，利用集合間的包含關(guān)系可求出對應條件的參數(shù).
【小問1詳解】
因為
所以.
因為，
所以.
所以
【小問2詳解】
①，又，
或，
或.
②，，又
或，
或.
③，，又
或
或
18. 已知．
（1）若為第一象限角，求；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由誘導公式以及同角平方和關(guān)系即可求解，
（2）由弦切互化以及齊次式即可求解.
【小問1詳解】
得即
又聯(lián)立解得或
因為為第一象限角，所以．
【小問2詳解】
由（1）知得． ．
．
． ．
19. 已知，．
（1）求；
（2）若，且，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及兩角差的余弦公式即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，結(jié)合兩角和的正弦公式及三角函數(shù)的特殊值對應特殊角注意角的范圍即可求解.
【小問1詳解】
由，得．
，


．
【小問2詳解】
由，得，
由，得，
．
又
20. 如圖，在平行四邊形中，，，．
（1）若，求的值；
（2）若，，求邊的長．
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平面向量線性運算法則及平面向量基本定理求出，，即可得解；
（2）設長為，根據(jù)數(shù)量積的運算律得到方程，解得即可.
【小問1詳解】
在平行四邊形中，，,
所以，
又，，，.
【小問2詳解】
設長為，
，
，或（舍去），即.
21. 水培植物需要一種植物專用營養(yǎng)液，已知每投放且個單位的營養(yǎng)液，它在水中釋放的濃度克/升隨著時間天變化的函數(shù)關(guān)系式近似為，其中，若多次投放，則某一時刻水中的營養(yǎng)液濃度為每次投放的營養(yǎng)液在相應時刻所釋放的濃度之和，根據(jù)經(jīng)驗，當水中營養(yǎng)液的濃度不低于克/升時，它才能有效．
（1）若只投放一次4個單位的營養(yǎng)液，則有效時間最多可能持續(xù)幾天？
（2）若先投放2個單位的營養(yǎng)液，6天后再投放個單位的營養(yǎng)液，要使接下來的4天中，營養(yǎng)液能夠持續(xù)有效，試求的最小值．
【答案】（1）6天 （2）2
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定函數(shù)，列出不等式求解作答.
（2）求出兩次投放營養(yǎng)液在水中釋放的濃度，由已知列出恒成立的不等式，分離參數(shù)借助均值不等式求出最值作答.
【小問1詳解】
因為一次投放4個單位的營養(yǎng)液，所以水中釋放的營養(yǎng)液濃度為， ．
當時，，解得； ．
當時，，解得； ．
綜上求得，
所以一次投放4個單位的營養(yǎng)液，則有效時間可持續(xù)6天． ．
【小問2詳解】
設從第一次投放起，經(jīng)過x（）天后，濃度為 ．
因為，所以，
所以即
所以
當且僅當，即時，等號成立，所以
答：為使接下來的4天中能夠持續(xù)有效m的最小值為2
22. 已知函數(shù)的圖象過點，函數(shù)，函數(shù)．
（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；
（2）若存在兩不相等的實數(shù)，使，且，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）奇函數(shù)；證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)奇偶性的定義判斷的奇偶性；
（2）根據(jù)條件知且，原問題等價于不等式在有解，令轉(zhuǎn)化為在有解即可.
【小問1詳解】
函數(shù)的圖象過點，，解得，函數(shù)的解析式為；，
，解得，
的定義域為，其定義域關(guān)于原點對稱，
又，，
故為定義域內(nèi)的奇函數(shù).
【小問2詳解】
函數(shù)都是上的增函數(shù)，
是定義域內(nèi)的增函數(shù)，
，且為定義在的奇函數(shù)，
且，
原問題等價于不等式在有解，
，
令，，則，
令，可知，則，
構(gòu)造函數(shù)，，
設，則
由得，所以，所以在為增函數(shù)，
同理可證在為減函數(shù).
由，可得，所以，
所以在上有解，
當時，，因此在有解．
取，則，從而．
因此在上有解．函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，所以，即
故實數(shù)的取值范圍為．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：對的處理方法是，從而將用表示，換元后將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)處理.

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