易錯點(diǎn)14   立體幾何中的角易錯點(diǎn)1：異面直線所成的角1.求異面直線所成角的思路是：通過平移把空間兩異面直線轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的相交直線，進(jìn)而利用平面幾何知識求解，整個求解過程可概括為：一找二證三求。 2.求異面直線所成角的步驟： ①選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線，這里的點(diǎn)通常選擇特殊位置斬點(diǎn)。 ②求相交直線所成的角，通常是在相應(yīng)的三角形中進(jìn)行計算。 ③因?yàn)楫惷嬷本€所成的角?的范圍是0°＜θ?≤90°，所以在三角形中求的角為鈍角時，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角。 3.“補(bǔ)形法”是立體幾何中一種常見的方法，通過補(bǔ)形，可將問題轉(zhuǎn)化為易于研究的幾何體來處理，利用“補(bǔ)形法”找兩異面直線所成的角也是常用的方法之一。 4.利用向量，設(shè)而不找，對于規(guī)則幾何體中求異面直線所成的角也是常用的方法之一。易錯點(diǎn)2：直線與平面所成的角1.傳統(tǒng)幾何方法：①轉(zhuǎn)化為求斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的角，通過直角三角形求解。②利用三面角定理（即最小角定理）求。2.向量方法：設(shè)為平面的法向量，直線與平面所成的角為，則易錯點(diǎn)3：二面角用向量求二面角大小的基本步驟1.建立坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)與所需向量的坐標(biāo)；2.求出平面的法向量，平面的法向量3.進(jìn)行向量運(yùn)算求出法向量的夾角；4.通過圖形特征或已知要求，確定二面角是銳角或鈍角，得出問題的結(jié)果：題組一：異面直線所成的角1．（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文理）試題）在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，連接，因?yàn)?/span>∥，所以或其補(bǔ)角為直線與所成的角，因?yàn)?/span>平面，所以，又，，所以平面，所以，設(shè)正方體棱長為2，則，，所以.故選：D2.(2018全國卷Ⅱ)在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為A．   B．   C．    D．【答案】C【解析】解法一  如圖，補(bǔ)上一相同的長方體，連接，．易知，則為異面直線與所成角．因?yàn)樵陂L方體中，，，所以，，，在中，由余弦定理，得，即異面直線與所成角的余弦值為，故選C．解法二  以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．由條件可知，，，，所以，，則由向量夾角公式，得，即異面直線與所成角的余弦值為，故選C．3．(2017新課標(biāo)Ⅱ)已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為(    )A．          B．          C．       D．【答案】C【解析】如圖所示，把三棱柱補(bǔ)成四棱柱，異面直線與所成角為,，，∴．選C．4.（2015浙江）如圖，三棱錐中，，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則異面直線所成的角的余弦值是    ．【答案】【解析】如圖連接，取的中點(diǎn)，連接，則．則異面直線，所成的角為，由題意可知，，∴．又，，，∴，則．題組二：直線與平面所成的角5. 【2021年浙江卷】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【解析】（1）在中，，，，由余弦定理可得，所以，．由題意且，平面，而平面，所以，又，所以．（2）由，，而與相交，所以平面，因?yàn)?/span>，所以，取中點(diǎn)，連接，則兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系, 則,又為中點(diǎn)，所以.由（1）得平面，所以平面的一個法向量從而直線與平面所成角的正弦值為．6.（2020?北京卷）如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)．（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．【解析】（Ⅱ）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，則、、、，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，則，，則..因此，直線與平面所成角的正弦值為.7.（2020年全國2卷）如圖，已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)，過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；（2）設(shè)O為△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO＝AB，求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.【解析】（1）分別為，的中點(diǎn)，,又,,在中，為中點(diǎn)，則,又側(cè)面為矩形，,,,由，平面,平面,又，且平面，平面，平面,又平面，且平面平面, ,,又平面,平面,平面,平面平面,（2）連接,平面，平面平面,,根據(jù)三棱柱上下底面平行，其面平面，面平面,,故：四邊形是平行四邊形,設(shè)邊長是(),可得：，,為的中心，且邊長為,,故：,,,,解得：,在截取，故,且,四邊形是平行四邊形，,由（1）平面,故為與平面所成角,在，根據(jù)勾股定理可得：,直線與平面所成角的正弦值：.8.（2020年新全國1山東）如圖，四棱錐P－ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．（1）證明：l⊥平面PDC；（2）已知PD＝AD＝1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．【解析】（1）證明： 在正方形中，，因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面，又因?yàn)?/span>平面，平面平面，所以，因?yàn)樵谒睦忮F中，底面是正方形，所以且平面，所以因?yàn)?/span>所以平面；（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?/span>，則有，設(shè)，則有，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個法向量為，則根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線與平面所成角的正弦值等于，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.題組三：二面角9. 【2021年乙卷】如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點(diǎn)，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．【解析】（1）平面，四邊形為矩形，不妨以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、、，則，，，則，解得，故；（2）設(shè)平面法向量為，則，，由，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，，所以，，因此，二面角的正弦值為.10. 【2021年甲卷】已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)． （1）證明：；（2）當(dāng)為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最小?【解析】因?yàn)槿庵?/span>是直三棱柱，所以底面，所以因?yàn)?/span>，，所以，又，所以平面．所以兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．所以，．由題設(shè)（）．（1）因?yàn)?/span>，所以，所以．（2）設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?/span>，所以，即．令，則因?yàn)槠矫?/span>的法向量為，設(shè)平面與平面的二面角的平面角為，則．當(dāng)時，取最小值為，此時取最大值為．所以，此時．11.（2020?全國1卷）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．【解析】（1）略；（2）過O作∥BC交AB于點(diǎn)N，因?yàn)?/span>平面，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，ON為y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的一個法向量為，由，得，令，得，所以，設(shè)平面的一個法向量為由，得，令，得，所以故，設(shè)二面角的大小為，則.12.（2020?全國3卷）如圖，在長方體中，點(diǎn)分別在棱上，且，．（1）證明：點(diǎn)在平面內(nèi)；（2）若，，，求二面角的正弦值．【解析】（1）在棱上取點(diǎn)，使得，連接、、、，在長方體中，且，且，，，且，所以，四邊形為平行四邊形，則且，同理可證四邊形為平行四邊形，且，且，則四邊形為平行四邊形，因此，點(diǎn)在平面內(nèi)；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，，，，，設(shè)平面的法向量為，由，得取，得，則，設(shè)平面的法向量為，由，得，取，得，，則，，設(shè)二面角的平面角為，則，.因此，二面角的正弦值為1．如圖在直三棱柱中，為等腰直角三角形，且，則異面直線與所成角的余弦值為（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】將直三棱柱補(bǔ)成如圖示的長方體，則底面 為正方形，邊長為1，連接 ,則,故 為所求角或其補(bǔ)角，連接,在中， ,故 ,故選：B.2．如圖，圓錐的底面直徑，其側(cè)面展開圖為半圓，底面圓的弦， 則異面直線與所成角的余弦值為（       ）A．    B．    C．    D．【答案】C【解析】圓錐底面周長為，又其側(cè)面展開圖為半圓，則圓錐母線長直角三角形中，，,，則分別取、、的中點(diǎn)M、N、P，連接、、、、又由O為中點(diǎn)，則，，則為異面直線與所成角或其補(bǔ)角.由，可知平面，則在△中，,，，則在△中，，，則則異面直線與所成角的余弦值為故選：C3．在長方體中，和與底面所成的角分別為30°和45°，異面直線和所成角的余弦值為（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】連接，則∥，所以為異面直線和所成角，因?yàn)樵陂L方體中，和與底面所成的角分別為30°和45°，所以，設(shè)，則，所以，，在中，由余弦定理得，，所以異面直線和所成角的余弦值為，故選：B4．（多選題）已知正方體，P是棱的中點(diǎn)，以下說法正確的是（       ）A．過點(diǎn)P有且只有一條直線與直線AB，都相交B．過點(diǎn)P有且只有一條直線與直線AB，都平行C．過點(diǎn)P有且只有一條直線與直線AB，都垂直D．過點(diǎn)P有且只有一條直線與直線AB，所成角均為45°【答案】AC【解析】選項(xiàng)A.過點(diǎn)P與直線AB相交的直線必在平面PAB內(nèi)，過點(diǎn)P與直線相交的直線必在平面內(nèi)，故滿足條件的直線必為兩平面的交線，顯然兩平面有唯一交線，A正確；選項(xiàng)B.若存在一條直線與，都平行，則，矛盾，B不正確；C選項(xiàng).因?yàn)?/span>，若則，若，則平面，顯然滿足條件的直線唯一，即，C正確；D選項(xiàng).取，的中點(diǎn)E，F，連PE，PF，則，，若l與直線，所成角為45°，則l與PE，PF所成角為45°，顯然的角平分線及其外角平分線均符合，D不正確.故選：AC5．《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”.在如圖所示的“陽馬”中，側(cè)棱底面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn). (1)求證：平面；(2)若平面與平面所成的二面角為，求.【解析】(1)設(shè)，，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在方向分別為，，軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，，，于是，即，又已知，而，所以平面.(2)由平面，所以是平面的一個法向量；由（1）知，平面，所以是平面的一個法向量.若面與面所成二面角的大小為，則，解得.所以，故當(dāng)面與面所成二面角的大小為時，.6．在矩形ABCD中，AB=2，AD=，E是DC中點(diǎn)，連接AE，將△ADE沿AE折起，使得點(diǎn)D移動至點(diǎn)P，滿足平面PAE⊥平面ABCE.(1)求證：AE⊥BP；(2)求二面角E-CP-B的余弦值.【解析】(1)證明：在矩形中，連接，記 在四棱錐中，線段取點(diǎn)滿足 (2)如圖所示設(shè)平面的法向量為 設(shè)平面的法向量設(shè)二面角的大小為的余弦值為7．如圖所示，在四棱錐中，底面，，，，是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若，求二面角的余弦值．【解析】(1)證明：取中點(diǎn)，連接，，如圖，則由中位線可知，又，故，而，∴四邊形是平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面.(2)∵平面，故.在直角梯形中，，，，∴.∵，∴.∴平面，平面，則，又底面，平面，則，由二面角的定義可知，即為二面角的平面角，又，，由余弦定理，8．已知三棱錐（如圖一）及其展開圖（如圖二），四邊形ABCD為邊長等于的正方形，和均為正三角形.(1)證明：平面平面ABC；(2)若點(diǎn)M在棱PA上運(yùn)動，當(dāng)直線BM與平面PAC所成的角最大時，求點(diǎn)M到平面PBC的距離.【解析】(1)證明：設(shè)AC的中點(diǎn)為O，連接BO，PO.由題意，得，，.∵在中，，O為AC的中點(diǎn)，∴，∵在中，，，，，∴.又∵，AC，平面ABC，∴平面ABC，∵平面PAC，∴平面平面ABC.(2)連接，如圖，由（1）知，，，平面PAC，∴是直線BM與平面PAC所成的角，且，∴當(dāng)OM最短時，最大，即當(dāng)M是PA的中點(diǎn)時，直線BM與平面PAC所成的角最大，設(shè)點(diǎn)M到平面PBC的距離為h，由可得,因?yàn)?/span>M是PA的中點(diǎn)，所以，∵，∴，即，即點(diǎn)M到平面PBC的距離為.9．如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，平面，，是的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若，求直線與平面所成角的大小．【解析】(1)證明：連接交于點(diǎn),連接.因?yàn)?/span> 所以.又平面，平面,所以平面.(2)解：設(shè)，因?yàn)?/span>平面，所以.因?yàn)?/span>，所以.因?yàn)?/span>.因?yàn)?/span>,又平面,所以平面,所以就是直線與平面所成的角，由題得所以直線與平面所成的角為.10．如圖，在直三棱柱中，，，，M是的中點(diǎn)，.(1)求的長；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【解析】(1)取中點(diǎn)，連接，，則，∵平面ABC，∴，又，平面，∴平面，故平面，AN即為AM在平面內(nèi)的射影，又，∴，故，∴，而，∴；(2)解：連接，由（1）知平面，故為直線與平面所成角，，，∴，即所求角的正弦值為.  

相關(guān)試卷

易錯點(diǎn)11 立體幾何-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)考試易錯題（新高考專用）：

這是一份易錯點(diǎn)11 立體幾何-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)考試易錯題（新高考專用），文件包含易錯點(diǎn)11立體幾何-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)考試易錯題新高考專用解析版docx、易錯點(diǎn)11立體幾何-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)考試易錯題新高考專用原卷版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共38頁， 歡迎下載使用。

易錯點(diǎn)12 立體幾何中的平行與垂直（解析版）-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)考試易錯題：

這是一份易錯點(diǎn)12 立體幾何中的平行與垂直（解析版）-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)考試易錯題，共14頁。試卷主要包含了證明，如圖，在三棱錐中，，等內(nèi)容，歡迎下載使用。

易錯點(diǎn)11 球（解析版）-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)考試易錯題：

這是一份易錯點(diǎn)11 球（解析版）-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)考試易錯題，共14頁。試卷主要包含了已如A，在四邊型中等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
  • 1.電子資料成功下載后不支持退換，如發(fā)現(xiàn)資料有內(nèi)容錯誤問題請聯(lián)系客服，如若屬實(shí)，我們會補(bǔ)償您的損失
  • 2.壓縮包下載后請先用軟件解壓，再使用對應(yīng)軟件打開；軟件版本較低時請及時更新
  • 3.資料下載成功后可在60天以內(nèi)免費(fèi)重復(fù)下載
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

  • 0

    資料籃

  • 在線客服

    官方
    微信

    添加在線客服

    獲取1對1服務(wù)

  • 官方微信

    官方
    微信

    關(guān)注“教習(xí)網(wǎng)”公眾號

    打開微信就能找資料

  • 免費(fèi)福利

    免費(fèi)福利
返回
頂部