易錯點12   立體幾何中的垂直與平行在立體幾何中，點、線、面之間的位置關(guān)系，特別是線面、面面的平行和垂直關(guān)系，是高中立體幾何的理論基礎(chǔ)，是高考命題的熱點與重點之一，一般考查形式為小題(位置關(guān)系基本定理判定)或解答題(平行、垂直位置關(guān)系的證明)，難度不大。立體幾何中平行與垂直的易錯點更多免費資源，關(guān)注公眾號拾穗者的雜貨鋪易錯點1：線面平行的判定定理和性質(zhì)定理在應(yīng)用時都是三個條件，但這三個條件易混為一談；面面平行的判定定理易把條件錯誤地記為＂一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行＂而導(dǎo)致證明過程跨步太大。易錯點2：有關(guān)線面平行的證明問題中，對定理的理解不夠準確，往往忽視三個條件中的某一個。易錯點3：線面平行的判定定理和性質(zhì)定理在應(yīng)用時都是三個條件，但這三個條件易混為一談；面面平行的判定定理易把條件錯誤地記為＂一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行＂而導(dǎo)致證明過程跨步太大；題組一：基本性質(zhì)定理1．（2021年浙江卷）已知正方形，分別是的中點，則（     ）. A．直線與直線垂直，直線平面 B．直線與直線平行，直線平面 C．直線與直線相交，直線平面 D．直線與直線平行，直線平面 【答案】A 【解析】如圖，連結(jié)，平面，，平面，2．（2021新高考1卷多選題）在正三棱柱中，，點滿足，其中，，則A．當時，的周長為定值B．當時，三棱錐的體積為定值C．當時，有且僅有一個點，使得D．當時，有且僅有一個點，使得平面【答案】BD【解析】由點滿足，可知點在正方形內(nèi)．A選項，當時，可知點在線段（包括端點）上運動．中，，，，因此周長不為定值，所以選項A錯誤；B選項，當時，可知點在線段（包括端點）上運動．由圖可知，線段//平面，即點到平面的距離處處相等，的面積是定值，所以三棱錐的體積為定值，所以選項B正確；C選項，當時，分別取線段，中點為， ，可知點在線段（包括端點）上運動．很顯然若點與或重合時，均滿足題意，所以選項C錯誤．  D選項，當時，分別取線段，中點為，，可知點在線段（包括端點）上運動．此時，有且只有點與點重合時，滿足題意. 所以選項D正確．因此，答案為BD.3.（2019全國Ⅲ理8）如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則（  ）A．BM=EN，且直線BM、EN 是相交直線
B．BM≠EN，且直線BM，EN 是相交直線
C．BM=EN，且直線BM、EN 是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN 是異面直線【答案】B更多免費資源，關(guān)注公眾號拾穗者的雜貨鋪【解析】 如圖所示，聯(lián)結(jié)，.因為點為正方形的中心，為正三角形，平面平面，是線段的中點，所以平面，平面，因為是中邊上的中線，是中邊上的中線，直線，是相交直線，設(shè)，則，，所以，，
所以．故選B．4.（2019全國Ⅱ理7）設(shè)α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行           B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行     C．α，β平行于同一條直線              D．α，β垂直于同一平面【解析】 對于A，內(nèi)有無數(shù)條直線與平行，則與相交或，排除；對于B，內(nèi)有兩條相交直線與平行，則；對于C，，平行于同一條直線，則與相交或，排除；對于D，，垂直于同一平面，則與相交或，排除．故選B． 題組二：線面平行5. （2021天津卷）如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點，F為棱CD的中點．（1）求證：平面；【解析】（1）以為原點，分別為軸，建立如圖空間直角坐標系，則,,,,,,，因為E為棱BC的中點，F為棱CD的中點，所以，，所以,,,設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，因為，所以，因為平面，所以平面；6．（2017新課標Ⅱ）如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面三角形，，，是的中點．(1)      證明：直線∥平面；【解析】（1）取的中點，連結(jié)，．因為是的中點，所以，．由得，又，所以，四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，故∥平面． 7.（2019全國Ⅰ理18）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．（1）證明：MN∥平面C1DE；【解析】 （1）連
結(jié)B1C，ME．因為M，E分別為BB1，BC的中點，所以ME∥B1C，且ME=B1C．又因為N為A1D的中點，所以ND=A1D．由題設(shè)知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四邊形MNDE為平行四邊形，MN∥ED．又MN平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．  題組三線線垂直8.（2021全國甲卷理）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，分別為和的中點，為棱上的點，．（1）證明：；【解析】（1）因為是直三棱柱中和的中點，且，所以，連結(jié)，由且，則，于是，所以，，由，則，故如圖右圖所示，建立空間直角坐標系：于是設(shè)，則．于是，，由可得；9.（2021全國甲卷理）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形．分別為和的中點，．(1)略(2)已知為棱上的點，證明：．【解析】(2)取中點，連接，，，因為分別為的中點，所以，因為，所以，所以四點共面，因為側(cè)面為正方形，所以，又，所以，所以側(cè)面為正方形，又為中點，為中點，由平面幾何知識可知，又，，所以平面，而平面，所以.10．（2021新高考1卷）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點．（1）證明：；【解析】（1）因為在中，，為中點，所以，因為平面平面，且平面平面，平面，，所以平面，又因為面，所以．11．(2021浙江卷)如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，，，，分別為，的中點，，． （1）證明：；更多免費資源，關(guān)注公眾號拾穗者的雜貨鋪 （2）求直線與平面所成角的正弦值．【解析】（1）因為ABCD是平行四邊形，∠ABC=120°，AB=1，所以，AB∥DC，DC=AB=1．因為M為BC中點，BC=4，所以CM=2． 在中，由余弦定理得所以，所以，所以， 因為，所以，所以． 因為，，所以，所以． 題組四：線面垂直12．（2016全國II）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，，，點E，F分別在AD，CD上，，EF交BD于點H．將沿折到的位置，．（I）證明：平面ABCD；【解析】（I）證明：∵，∴，∴．∵四邊形為菱形，∴，∴，∴，∴．∵，∴；又，，∴，∴，∴，∴，∴．又∵，∴面．13．(2018全國卷Ⅱ)如圖，在三棱錐中，，，為的中點．(1)證明：平面；【解析】(1)因為，為的中點，所以，且．連結(jié)．因為，所以為等腰直角三角形，且，．由知．由，知平面．14.（2019全國Ⅱ理17）如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）證明：BE⊥平面EB1C1； 【解析】 （1）由已知得，平面，平面，故．又，所以平面．題組五：面面垂直15.（2021新高考2卷）在四棱錐中，底面是正方形，若，，，（1）證明：平面平面； 【解析】（1）證明：取的中點，連接，，，，，，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.16（2019全國Ⅲ理19）圖1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2.（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點共面，且平面ABC⊥平面BCGE；【解析】 （1）由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG確定一個平面，從而A，C，G，D四點共面．由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE．又因為AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE．17．（2018全國卷Ⅰ）如圖，四邊形為正方形，，分別為，的中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且．(1)證明：平面平面；【解析】(1)由已知可得，⊥，⊥，所以⊥平面PEF．又平面，所以平面⊥平面．18．（2018全國卷Ⅲ）如圖，邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是 上異于，的點．(1)證明：平面平面；【解析】(1)由題設(shè)知，平面⊥平面，交線為．因為⊥，平面，所以⊥平面，故⊥．因為為上異于，的點，且為直徑，所以 ⊥．又=，所以⊥平面．而平面，故平面⊥平面．  1．已知平面，直線，滿足，，則“∥”是“∥”的A．充分不必要條件     B．必要不充分條件 C．充分必要條件      D．既不充分也不必要條件【解析】若，，∥，由線面平行的判定定理知∥．若∥，，，不一定推出∥，直線與可能異面，故“∥”是“∥”的充分不必要條件．故選A．更多免費資源，關(guān)注公眾號拾穗者的雜貨鋪2．若 是兩條不同的直線，垂直于平面 ，則“ ”是“∥”的 A．充分而不必要條件         B．必要而不充分條件C．充分必要條件             D．既不充分也不必要條件【解析】由“且”推出“或”，但由“且”可推出“”，所以“”是“”的必要而不充分條件，故選B．3．如圖，四棱錐中，底面為矩形，⊥平面，為的中點．證明：∥平面；【解析】連接交于點，連結(jié)．因為為矩形，所以為的中點．又為的中點，所以∥．平面,平面，所以∥平面．  4．如圖，直三棱柱中，分別是的中點， （Ⅰ）證明：//平面；【解析】（Ⅰ）連結(jié)，交于點O，連結(jié)DO，則O為的中點，因為D為AB的中點，所以OD∥，又因為OD平面，平面，所以 //平面；5．如圖，四棱錐中，底面為矩形，⊥平面，為的中點．證明：∥平面；【解析】（Ⅰ）連接BD交AC于點O，連結(jié)EO．因為ABCD為矩形，所以O為BD的中點．又E為PD的中點，所以EO∥PB．EO平面AEC,PB平面AEC，所以PB∥平面AEC．6．如圖，四棱錐中，⊥底面，，，，為線段上一點，，為的中點．證明平面；【解析】由已知得，取的中點，連接．由為中點知，． 又，故平行且等于，四邊形為平行四邊形，于是．因為平面，平面，所以平面．  7．如圖，三棱柱中，，，=60°．證明；【解析】取AB中點E，連結(jié)CE，，，∵AB=，=，∴是正三角形，∴⊥AB， ∵CA=CB， ∴CE⊥AB，    ∵=E，∴AB⊥面，  ∴AB⊥； 8．如圖，在四棱錐中，∥，且．證明：平面⊥平面；【解析】由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD．由于AB∥CD，故AB⊥PD，從而AB⊥平面PAD．又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD． 9．如圖，四面體中，是正三角形，是直角三角形，，．證明：平面⊥平面；【解析】由題設(shè)可得，，從而．又是直角三角形，所以取的中點，連接，，則，．又由于是正三角形，故．所以為二面角的平面角．在中，．又，所以，故．所以平面平面．10.如圖，四邊形為菱形，，是平面同一側(cè)的兩點，⊥平面，⊥平面，=2，⊥．證明：平面⊥平面；【解析】連接，設(shè)，連接．在菱形中，不妨設(shè)，由，可得，由平面，可知，，又∵，∴，，在中，可得，故．在中，可得．在直角梯形中，由，，，可得，∴，∴，∵∩=，∴平面，∵面，∴平面平面．  

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