易錯點20   概率與統(tǒng)計易錯點1：混淆古典概型與幾何概型;易錯點2：混淆幾何概型中的測度（長度、面積、體積）;易錯點3：科學(xué)設(shè)計變量，數(shù)形結(jié)合解決問題. 易錯點4：超幾何分布與二項分布混淆；更多免費資源，關(guān)注公眾號拾穗者的雜貨鋪易錯點5：忘記回歸直線過樣本中心致錯；易錯點6：對正態(tài)分布的性質(zhì)及意義不熟悉致錯；易錯點7：正態(tài)總體的概率密度函數(shù)為，當(dāng)時，，叫作標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體的概率密度函數(shù)，兩者在使用范圍上是不同的。題組一：古典概型1．(2021年高考全國甲卷理科)將4個1和2個0隨機(jī)排成一行，則2個0不相鄰的概率為 (　　)A． B． C． D．【答案】C【解析】將4個1和2個0隨機(jī)排成一行，可利用插空法，4個1產(chǎn)生5個空，若2個0相鄰，則有種排法，若2個0不相鄰，則有種排法，所以2個0不相鄰的概率為．故選：C．2.（2020?全國2卷）4名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有__________種.【答案】36【解析】4名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學(xué)先取2名同學(xué)看作一組，選法有：現(xiàn)在可看成是3組同學(xué)分配到3個小區(qū)，分法有：根據(jù)分步乘法原理，可得不同的安排方法種3．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷（理）)我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如．在不超過30的素數(shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是????????????? (　　)A． B． C． D．【答案】C【解析】不超過30的素數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，共有種方法，因為，所以隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的有3種選法，故概率，故選C．4．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅰ卷理科)甲、乙兩隊進(jìn)行籃球決賽，采取七場四勝制(當(dāng)一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結(jié)束)．根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主” ．設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨立，則甲隊以4：1獲勝的概率是              ．【答案】 【解析】因為甲隊以4：1獲勝，故一共進(jìn)行5場比賽，且第5場為甲勝，前面4場比賽甲輸一場，若第1場或第2場輸1場，則，若第3場或第4場輸1場，則，所以甲以4：1獲勝的概率是．題組二：幾何概型5．（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文））在區(qū)間隨機(jī)取1個數(shù)，則取到的數(shù)小于的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)“區(qū)間隨機(jī)取1個數(shù)” ，“取到的數(shù)小于”，所以．6．(2021年高考全國乙卷理科)在區(qū)間與中各隨機(jī)取1個數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率為 (　　)A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示：設(shè)從區(qū)間中隨機(jī)取出的數(shù)分別為，則實驗的所有結(jié)果構(gòu)成區(qū)域為，其面積為．設(shè)事件表示兩數(shù)之和大于，則構(gòu)成的區(qū)域為，即圖中的陰影部分，其面積為，所以．7．(2018全國卷Ⅰ)如圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊，直角邊，．的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ．在整個圖形中隨機(jī)取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為，，，則A．   B．      C．    D．【答案】C【解析】解法一： 設(shè)直角三角形的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，則區(qū)域I的面積即的面積，為，區(qū)域Ⅱ的面積，所以，由幾何概型的知識知，故選A．解法二：不妨設(shè)為等腰直角三角形，，則，所以區(qū)域I的面積即的面積，為，區(qū)域Ⅱ的面積，區(qū)域Ⅲ的面積．根據(jù)幾何概型的概率計算公式，得，，所以，，，故選A．更多免費資源，關(guān)注公眾號拾穗者的雜貨鋪 8．(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科)如圖,正方形內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱．在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點,則此點取自黑色部分的概率是????????????? (　　) (　　)A． B． C． D．【答案】  B 【解析】設(shè)正方形邊長為,則圓的半徑為,則正方形的面積為,圓的面積為．由圖形的對稱性可知,太極圖中黑白部分面積相等,即各占圓面積的一半．由幾何概型概率的計算公式得,此點取自黑色部分的概率是,選B． 秒殺解析:由題意可知,此點取自黑色部分的概率即為黑色部分面積占整個面積的比例,由圖可知其概率,故選B． 題組三：統(tǒng)計分析9．（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理））為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（    ）A．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%B．該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%C．估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D．估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間【答案】C【分析】因為頻率直方圖中的組距為1，所以各組的直方圖的高度等于頻率.樣本頻率直方圖中的頻率即可作為總體的相應(yīng)比率的估計值.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶的比率估計值為,故A正確；該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計值為,故B正確；該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比例估計值為,故D正確；該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值的估計值為(萬元)，超過6.5萬元，故C錯誤.綜上，給出結(jié)論中不正確的是C.故選：C.10．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ（理）)某地區(qū)經(jīng)過一一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖:則下面結(jié)論中不正確的是 (　　)A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少 B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半【答案】A【解析】設(shè)建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入為，建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入為．A項，種植收入37×﹣60%=14%＞0，故建設(shè)后，種植收入增加，故A項錯誤．B項，建設(shè)后，其他收入為5%×2=10%，建設(shè)前，其他收入為4%，故10%÷4%=2．5＞2，故B項正確．C項，建設(shè)后，養(yǎng)殖收入為30%×2=60%，建設(shè)前，養(yǎng)殖收入為30%，故60%÷30%=2，故C項正確．D項，建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入總和為（30%+28%）×2=58%×2a，經(jīng)濟(jì)收入為2，故（58%×2a）÷2a=58%＞50%，故D項正確，因為是選擇不正確的一項．故選：A．11．(2021年高考全國乙卷理科)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和．(1)求，，，；(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高)．【答案】（1）；（2）新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高．【解析】（1），，，．（2）依題意，，，更多免費資源，關(guān)注公眾號拾穗者的雜貨鋪，所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高．12．(2021年高考全國甲卷理科)甲、乙兩臺機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表： 一級品二級品合計甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200合計270130400(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少?(2)能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?附：0．0500．0100．001k3．8416．63510．828 【答案】（1）75%；60%；（2）能．【解析】（1）甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級品的頻率為,乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級品的頻率為．（2）,故能有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異． 1．兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是A． B． C． D．【答案】D【解析】兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)排成一列，因為男生和女生人數(shù)相等，兩位女生相鄰與不相鄰的排法種數(shù)相同，所以兩位女生相鄰與不相鄰的概率均是．故選D．2．為了解某地區(qū)的中小學(xué)生視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是????????????? (　　)A．簡單隨機(jī)抽樣  B．按性別分層抽樣   C．按學(xué)段分層抽樣    D．系統(tǒng)抽樣【答案】C【解析】因該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，故最合理的抽樣方法是按學(xué)段分層抽樣，故選C．3．《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為90-80+60=70，則其與該校學(xué)生人數(shù)之比為70÷100=0.7．故選C．4．根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫排放量(單位：萬噸)柱形圖。以下結(jié)論不正確的是????????????? (　　) (　　)A．逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B．2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C．2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢D．2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)【答案】D【解析】由柱形圖得，從2006年以來，我國二氧化硫排放量呈下降趨勢，故年排放量與年份負(fù)相關(guān)，故選D．5．某公司的班車在7:30，8:00，8:30發(fā)車，小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時刻是隨機(jī)的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是（   ）A.    B.    C.     D.【答案】B【解析】如圖所示，畫出時間軸：小明到達(dá)的時間會隨機(jī)的落在圖中線段中，而當(dāng)他的到達(dá)時間落在線段或時，才能保證他等車的時間不超過10分鐘根據(jù)幾何概型，所求概率．故選B．6．投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學(xué)通過測試的概率為A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312【答案】A【解析】該同學(xué)通過測試的概率為，故選A．7．我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn)．經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有個車次的正點率為，有個車次的正點率為，有個車次的正點率為，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為　   　．【答案】.更多免費資源，關(guān)注公眾號拾穗者的雜貨鋪【解析】由題意得，經(jīng)停該高鐵站的列車正點數(shù)約為，其中高鐵個數(shù)為，所以該站所有高鐵平均正點率約為．8．一批產(chǎn)品的二等品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件數(shù)，則         ．【答案】【解析】隨機(jī)變量，9．某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表(單位：天)：鍛煉人次空氣質(zhì)量等級[0，200](200，400](400，600]1(優(yōu))216252(良)510123(輕度污染)6784(中度污染)720(1)分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2，3，4的概率；(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)；(3)若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？ 人次≤400人次>400空氣質(zhì)量好  空氣質(zhì)量不好  附：，P(K2≥k)0．050  0．010 0．001k38416．63510．828 【答案】（1）該市一天的空氣質(zhì)量等級分別為、、、的概率分別為、、、；（2）；（3）有，理由見解析．【解析】（1）由頻數(shù)分布表可知，該市一天的空氣質(zhì)量等級為的概率為，等級為的概率為，等級為的概率為，等級為的概率為；（2）由頻數(shù)分布表可知，一天中到該公園鍛煉的人次的平均數(shù)為（3）列聯(lián)表如下： 人次人次空氣質(zhì)量不好空氣質(zhì)量好，因此，有的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)．10．下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位:億噸)的折線圖.(Ⅰ)由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系,請用相關(guān)系數(shù)加以說明;(Ⅱ)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量.參考數(shù)據(jù):,,,.參考公式:相關(guān)系數(shù)回歸方程中斜率和截距最小二乘估計公式分別為:,.【答案】(Ⅰ)理由見解析;(Ⅱ)1.82億噸.【解析】(Ⅰ)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得,,,,.因為與的相關(guān)系數(shù)近似為0.99,說明與的線性相關(guān)程度相當(dāng)高從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.(Ⅱ)由及(Ⅰ)得,.所以,關(guān)于的回歸方程為:.將2016年對應(yīng)的代入回歸方程得:.所以預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量將約1.82億噸.

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